2024届陕西省铜川市高三第二次质量检测数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学试题（理）一、选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，所以.故选：B.2.已知复数，则=（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗，则.故选：A.3.从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗这九个数字中任取两个，有种取法，和为质数有，共14种情况，因此所求概率为.故选：C.4.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍〖答案〗B〖解析〗设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为；设体积扩大倍后的底面半径为，则，，其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍.故选：B.5.已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为中点为P，所以，又，所以，所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.故选：C.6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.-2 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数是定义在上的奇函数，且时，所以，故C项正确.故选：C.7.设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗依题意有，则为等边三角形，又轴，所以．故选：A．8.在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（）A.28 B.20 C.18 D.12〖答案〗A〖解析〗根据题意得，，解得或（舍），则.故选：A.9.已知函数且满足，则的最小值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知可得，即，所以关于对称，故，，所以，又，所以时，取最小值为．故选：A．10.已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，令，，则，所以在上恒成立，所以在上为减函数，因为，且在上单调性递增；所以，所以，所以，所以，即．故选：A.11.正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边AB的比为，则PA与平面ABCD所成角的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据正棱锥的性质，易知球心在正棱锥的高线上，设球心为O，在平面ABCD内的射影为H，，取M为BC中点，则，且.作于E，设球的半径为r，则，，，因为，，所以，所以，即，整理可得.连接，则，所以.因为平面，所以即为直线PA与平面ABCD所成的角，所以，PA与平面ABCD所成角的正切值为.故选：D．12.已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，，直线l的方程为，其中，联立得．∴，，由，得，即，∴，即，∴，整理得，∴离心率．故选：C．二、填空题13.已知向量，且，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，又，所以，解得，所以，故.故〖答案〗为：.14.已知锐角满足，，则__________.〖答案〗〖解析〗均为锐角，，，.故〖答案〗为：.15.如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为______个.(用含n的代数式表示)〖答案〗〖解析〗由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为.故〖答案〗为：16.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗，即，对恒成立，令，当时，，，故符合题意，当时，，，在上，不合题意，故．故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17.清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：回老家不回老家总计50周岁及以下5550周岁以上1540总计100（1）根据统计完成以上列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；（2）能否有99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关？参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）补全表格如下：回老家不回老家总计50周岁及以下5556050周岁以上152540总计2080100该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为；（2）∵，∴有99.9%把握认为是否回老家祭祖与年龄有关．18.在中，内角的对边分别为，，，．（1）证明：；（2）若，当A取最大值时，求的面积．（1）证明：∵，则，可得，∴，又∵，则，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得.（2）解：由（1）可得：，即，则，当且仅当，即时，取最大值，此时，则，∵，则，可得，故．19.如图，在三棱锥中，侧面底面ABC，且为等边三角形，，，D为PA的中点．（1）求证：；（2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明：如图，取AC中点E，连接DE，BE，∵为等边三角形，∴，又侧面底面ABC，底面ABC，侧面底面，∴平面PAC．∵平面PAC，∴，又D，E分别为PA，AC中点，∴，又，∴，∵，DE，平面BDE，∴平面BDE，又平面BDE，∴；（2）解：以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设等边的边长为4，∴，，，，，∴，，，设平面PBC的法向量为，则，即，则可取，∴，∴直线BD与平面PBC所成角的正弦值为．20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于、两点，直线与椭圆相交于、两点，点为线段的中点，点为线段的中点，证明：直线过定点．（1）解：设点，的坐标分别为、，由题意有解得故椭圆的标准方程为；（2）证明：设直线的斜率为，可得直线的斜率为，设点的坐标为，点的坐标为，直线的方程为，联立方程消除后有，有，可得，，同理，，由对称性可知直线所过的定点必定在轴上，设点的坐标为，有，有，化简得，解得，故直线过定点．21.已知函数．（1）若，求在点处的切线方程；（2）若（）是的两个极值点，证明：．（1）解：当时，，则，，，所以在处切线方程为,即；（2）证明：由，可知，因为（）是的极值点,所以方程的两个不等的正实数根，所以，，则．要证成立，只需证，即证，即证，即证，即证，设，则，即证，令，则，所以在上单调递减，则，所以，故．（二）选考题选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线，分别交于A，B两点（异于极点），求线段AB的长度．解：（1）曲线（为参数），消去参数得，将代入，得曲线的极坐标方程为，由得，∴，∴曲线的直角坐标方程为；（2）易知直线l的极坐标方程为，代入曲线，的极坐标方程得，，∴．选修4-5：不等式选讲23.已知，函数的最小值为2，证明：（1）；（2）．证明：（1）由于，则，当且仅当取等号，故的最小值为，所以，当且仅当，时取等号.（2）由（1）知，所以，所以，当且仅当，即时取等号．陕西省铜川市2024届高三第二次质量检测数学试题（理）一、选择题1.若集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意知，，所以.故选：B.2.已知复数，则=（）A. B.2 C. D.3〖答案〗A〖解析〗，则.故选：A.3.从这九个数字中任取两个，这两个数的和为质数的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗这九个数字中任取两个，有种取法，和为质数有，共14种情况，因此所求概率为.故选：C.4.已知一个圆柱的高不变，它的体积扩大为原来的倍，则它的侧面积扩大为原来的（）A.倍 B.倍 C.倍 D.倍〖答案〗B〖解析〗设圆柱的高为，底面半径为，则其体积，侧面积为；设体积扩大倍后的底面半径为，则，，其侧面积变为，，即侧面积扩大为原来的倍.故选：B.5.已知A，B是：上的两个动点，P是线段的中点，若，则点P的轨迹方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为中点为P，所以，又，所以，所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为.故选：C.6.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A.-2 B.2 C. D.〖答案〗C〖解析〗因为函数是定义在上的奇函数，且时，所以，故C项正确.故选：C.7.设F为抛物线的焦点，点P在抛物线上，点Q在准线l上，满足轴．若，则（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗依题意有，则为等边三角形，又轴，所以．故选：A．8.在递增等比数列中，其前项和为，且是和的等差中项，则（）A.28 B.20 C.18 D.12〖答案〗A〖解析〗根据题意得，，解得或（舍），则.故选：A.9.已知函数且满足，则的最小值为（）A. B. C.1 D.2〖答案〗A〖解析〗由已知可得，即，所以关于对称，故，，所以，又，所以时，取最小值为．故选：A．10.已知函数满足（其中是的导数），若，，，则下列选项中正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得，令，，则，所以在上恒成立，所以在上为减函数，因为，且在上单调性递增；所以，所以，所以，所以，即．故选：A.11.正四棱锥内有一球与各面都相切，球的直径与边AB的比为，则PA与平面ABCD所成角的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据正棱锥的性质，易知球心在正棱锥的高线上，设球心为O，在平面ABCD内的射影为H，，取M为BC中点，则，且.作于E，设球的半径为r，则，，，因为，，所以，所以，即，整理可得.连接，则，所以.因为平面，所以即为直线PA与平面ABCD所成的角，所以，PA与平面ABCD所成角的正切值为.故选：D．12.已知斜率为的直线l经过双曲线的右焦点F，交双曲线C的右支于A，B两点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设，，直线l的方程为，其中，联立得．∴，，由，得，即，∴，即，∴，整理得，∴离心率．故选：C．二、填空题13.已知向量，且，则___________.〖答案〗〖解析〗因为，，所以，又，所以，解得，所以，故.故〖答案〗为：.14.已知锐角满足，，则__________.〖答案〗〖解析〗均为锐角，，，.故〖答案〗为：.15.如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，按图中结构第n个图的化学键和原子的个数之和为______个.(用含n的代数式表示)〖答案〗〖解析〗由图，第1个图中有6个化学键和6个原子；第2个图中有11个化学键和10个原子；第3个图中有16个化学键和14个原子，观察可得，后一个图比前一个图多5个化学键和4个原子，则第n个图有个化学键和个原子，所以总数为.故〖答案〗为：16.已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围为________．〖答案〗〖解析〗，即，对恒成立，令，当时，，，故符合题意，当时，，，在上，不合题意，故．故〖答案〗为：三、解答题（一）必考题17.清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，是传统的重大春祭节日，扫墓祭祀、缅怀祖先，是中华民族自古以来的优良传统．某社区进行流动人口统计，随机抽取了100人了解他们今年是否回老家祭祖，得到如下不完整的列联表：回老家不回老家总计50周岁及以下5550周岁以上1540总计100（1）根据统计完成以上列联表，并根据表中数据估计该社区流动人口中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率；（2）能否有99.9%的把握认为回老家祭祖与年龄有关？参考公式：，其中．参考数据：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）补全表格如下：回老家不回老家总计50周岁及以下5556050周岁以上152540总计2080100该社区中50周岁以上的居民今年回老家祭祖的概率为；（2）∵，∴有99.9%把握认为是否回老家祭祖与年龄有关．18.在中，内角的对边分别为，，，．（1）证明：；（2）若，当A取最大值时，求的面积．（1）证明：∵，则，可得，∴，又∵，则，由正弦定理可得：，由余弦定理可得：，整理得.（2）解：由（1）可得：，即，则，当且仅当，即时，取最大值，此时，则，∵，则，可得，故．19.如图，在三棱锥中，侧面底面ABC，且为等边三角形，，，D为PA的中点．（1）求证：；（2）求直线BD与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明：如图，取AC中点E，连接DE，BE，∵为等边三角形，∴，又侧面底面ABC，底面ABC，侧面底面，∴平面PAC．∵平面PAC，∴，又D，E分别为PA，AC中点，∴，又，∴，∵，DE，平面BDE，∴平面BDE，又平面BDE，∴；（2）解：以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设等边的边长为4，∴，，，，，∴，，，设平面PBC的法向量为，则，即，则可取，∴，∴直线BD与平面PBC所成角的正弦值为．20.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）相互垂直且斜率存在的直线，都过点，直线与椭圆相交于、两点，直