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高级中学名校试卷PAGEPAGE2辽宁省朝阳市建平县2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.已知复数满足(为虚数单位),则在复平面内复数所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗复数在复平面内复数所对应的点为,位于第四象限.故选:D.2.已知集合,则()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合,则.故选:C.3.已知向量,若,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知,解得,所以,所以故选:D.4.已知为偶函数,则实数()A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗因为为偶函数,所以,,,,即,则,即,则,即,故.故选:B.5.“函数的图象关于对称”是“,”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗当函数的图象关于对称时,有,,得,,易知,所以“函数的图象关于对称”是“,”的必要不充分条件.故选:B.6.“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长,达到峰值之后开始下降;而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式,抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值(亿吨)()后开始下降,其二氧化碳的排放量(亿吨)与时间(年)满足函数关系式,若经过7年,二氧化碳的排放量为(亿吨).已知该地区近过植树造林、节能减排等形式,能抵消自身产生的二氧化碳排放量为(亿吨),则该地区要能实现“碳中和”,至少需要经过()(参考数据:)A.38年 B.42年 C.46年 D.48年〖答案〗B〖解析〗由题意,由题意,即,解得,令,即,故,即,可得,即,即该地区要能实现“碳中和”,至少需要经过42年.故选:B.7.如图,在四棱锥中,,,平面,,,,则()A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图,连接.由已知,,得.因为平面,所以,且,且平面,所以平面,平面,可得,同理可得.易证,所以,在中,,,所以,因为平面,平面,则,则.故选:D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为,过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点,记点关于轴的对称点为点,若,则双曲线的离心率为()A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗设,连接,与轴交于点,由对称性可知,又,所以是正三角形,且.因为,所以,所以,所以,所以,又点在直线上,故,所以,所以.故选:B.二、选择题9.某组数据方差的计算公式为,则()A.样本的容量是3 B.样本的中位数是3C.样本的众数是3 D.样本的平均数是3〖答案〗BCD〖解析〗依题意,样本数据为,因此样本容量为7,中位数为3,众数为3,平均数,故A错误,BCD正确.故选:BCD10.设函数的最大值为1,最小值为-3,若的图象相邻的两条对称轴间的距离为,将的图象向上平移1个单位长度,再向右平移个单位长度,得到函数的图象,则()A.B.在内恰有3个零点C.的图象关于点对称D.在上单调递增〖答案〗BCD〖解析〗由题意知,解得,的最小正周期为,即,所以,故.由,得,所以当且仅当,即时,,故在内恰有3个零点,故A错误,B正确;由,得,所以,故C正确;由,得,所以在上单调递增,故D正确.故选:BCD.11.已知抛物线的焦点为为抛物线上一点,且,过的直线交于两点,是坐标原点,则()A.抛物线的准线方程为B.的最小值为4C.若,则的面积为D.若,则的方程为〖答案〗BC〖解析〗由抛物线定义知,,所以,故的方程为,所以的准线方程为,故A错误;设(异于原点),又,,所以,所以,当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为4,故B正确;设直线的方程为,联立消去并整理,得,所以,因为,易求得,所以的面积,故C正确;由以上可得,又,,所以,所以,所以,即,解得或(舍去),所以,所以,解得,故直线的方程为,即或,故D错误.故选:BC12.已知,且,则下列说法正确的是()A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由,可得,又,所以,解得.当时,,则,又,所以,所以此时,故A错误;令,则,当时,单调递增,当时,单调递减,所以,即,由知,所以,所以,故正确;由可得,可得(时取等号),因为,所以,所以,故C正确;因为,所以.令,则,令,所以,令,所以,所以在上单调递增,所以,所以,所以在上单调递增,所以1,所以,故D正确.故选:BCD.三、填空题13.若直线是曲线的一条切线,则实数______.〖答案〗〖解析〗由题可知,设的切点为,则切线斜率为,可得,解得.故〖答案〗为:.14.已知等比数列的前项和为,若,,则______.〖答案〗80〖解析〗由等比数列的性质可知,,,成等比数列,又,,所以,所以,,所以.故〖答案〗为:.15.现有3名男生,3名女生和2名老师站成一排照相,2名老师分别站两端,且3名女生互不相邻,则不同的站法为______.〖答案〗288〖解析〗根据题意,分3步进行:第一步,2名老师分别站两端,有种站法;第二步,先安排3名男生,有种站法,男生排好后,有4个空位可选;第三步,将3名女生安排在4个空位中的3个,有种站法,所以不同的站法有.故〖答案〗为:28816.已知正方体的棱长为2,M为空间中任意一点,且,当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为____________.〖答案〗〖解析〗如图,因为,所以在一个平面内,点M的轨迹是以A,D为焦点的椭圆.又因为,所以该椭圆的长轴长为4,短轴长为,故点M的轨迹是以A,D为焦点的椭球表面.设AD的中点为L,要使三棱锥的体积最大,即到平面ABD的距离最大,所以当平面,且平面ABD时,三棱锥A-MBD的体积最大.此时由椭圆短半轴长知,且△MAD为等边三角形,设其中心为S,三棱锥A-MBD的外接球的球心为O,△ABD的外心为K,连接OK,OB,OS,则,,所以球半径,此时三棱锥A-MBD外接球的表面积.故〖答案〗为:.四、解答题17.已知数列是递增的等比数列,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.解:(1)因为数列是递增的等比数列,所以,所以,解得,所以公比,所以.(2)由(1)知,,所以.18.在中,内角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若点是线段上的一点,且的面积为,求的周长.解:(1)因为,由正弦定理得,又,所以,所以,所以,又,所以,所以,所以.(2)因为的面积为,所以,得.因为,所以,所以,所以在中,由余弦定理得,所以,所以,所以周长.19.如图,在三棱锥中,是的中点,是的中点,点在线段上,且.(1)求证:平面;(2)若平面,且,求直线与平面所成角的余弦值.(1)证明:过点作交于点,过点作交于点,则.因为是的中点,是的中点,所以,因为,所以,则,所以四边形平行四边形,所以,又平面平面,所以平面.(2)解:以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系,设,则,,所以.设平面的法向量为,则即令,得,设直线与平面所成角为,则,所以,故直线与平面所成角的余弦值为.20.由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素,地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前,鸟类平均每年灭绝一种,兽类平均每年灭绝一种,但是自工业社会以来,地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的倍.所以保护动物刻不容缓,全世界都在号召保护动物,动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物,禁止猎杀和捕食野生动物,某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”,从某市市民中随机抽取名进行调查,得到统计数据如下表:保护动物意识强保护动物意识弱合计男性女性合计(1)根据以上数据,依据小概率值的独立性检验,能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联?(2)将频率视为概率,现从该市女性的市民中用随机抽样的方法每次抽取人,共抽取次.记被抽取的人中“保护动物意识强”的人数为,若每次抽取的结果是相互独立的,求的分布列和数学期望.参考公式:,其中.附:解:(1)零假设为保护动物意识的强弱与性别无关联.由题意,,所以根据小概率值的独立性检验,我们推断不成立,即认为保护动物意识的强弱与性别有关联.(2)由题意可知:在女性的市民中抽到人,抽中“保护动物意识强”的女性市民的概率为,所以的所有可能取值为、、、、,由题意可知,,,,,,,所以的分布列为所以.21.已知在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,,离心率,为椭圆上任意一点,面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)若斜率为的直线与圆相切,且与椭圆相交于,两点,若弦长的取值范围为,求的取值范围.解:(1)由已知面积,所以当点为短轴顶点时,的面积最大为,又椭圆的离心率,且,解得,,所以椭圆的方程为;(2)设直线的方程为,,,由直线与圆相切,可得,得,联立,消去并整理得,恒成立,则,.所以,,因为的取值范围为,则,解得,所以,因为,则,所以,所以的取值范围为.22.已知函数.(1)若,求证:;(2)若,试判断函数在区间上的零点的个数,并说明理由.(参考数据:)(1)证明:若,则,又,所以.令,所以,令,解得,令,解得,所以在上单调递减,在上单调递增,所以,所以,当且仅当时,等号成立,当时,,所以,即.(2)解:由题意知,令,所以,所以当时,,所以.令,所以,所以在上单调递增,又,所以存在,使得,所以当时,,当时,,所以当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,又,所以存在,使得,存在,使得.所以当时,,即,当时,,即,当时,,即,所以在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,所以,当且时,,所以在区间上有一个零点,在区间上有一个零点.综上,函数在区间上恰有2个零点.辽宁省朝阳市建平县2024届高三上学期期末数学试题一、选择题1.已知复数满足(为虚数单位),则在复平面内复数所对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗复数在复平面内复数所对应的点为,位于第四象限.故选:D.2.已知集合,则()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗集合,则.故选:C.3.已知向量,若,则与夹角的余弦值为()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意知,解得,所以,所以故选:D.4.已知为偶函数,则实数()A. B.1 C. D.2〖答案〗B〖解析〗因为为偶函数,所以,,,,即,则,即,则,即,故.故选:B.5.“函数的图象关于对称”是“,”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗当函数的图象关于对称时,有,,得,,易知,所以“函数的图象关于对称”是“,”的必要不充分条件.故选:B.6.“碳达峰”是指二氧化碳的排放不再增长,达到峰值之后开始下降;而“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式,抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量达到峰值(亿吨)()后开始下降,其二氧化碳的排放量(亿吨)与时间(年)满足函数关系式,若经过7年,二氧化碳的排放量为(亿吨).已知该地区近过植树造林、节能减排等形式,能抵消自身产生的二氧化碳排放量为(亿吨),则该地区要能实现“碳中和”,至少需要经过()(参考数据:)A.38年 B.42年 C.46年 D.48年〖答案〗B〖解析〗由题意,由题意,即,解得,令,即,故,即,可得,即,即该地区要能实现“碳中和”,至少需要经过42年.故选:B.7.如图,在四棱锥中,,,平面,,,,则()A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图,连接.由已知,,得.因为平面,所以,且,且平面,所以平面,平面,可得,同理可得.易证,所以,在中,,,所以,因为平面,平面,则,则.故选:D.8.已知双曲线的左、右焦点分别为,过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点,记点关于轴的对称点为点,若,则双曲线的离心率为()A. B.2 C. D.〖答案〗B〖解析〗设,连接,与轴交于点,由对称性可知,又,所以是正三角形,且.因为,所以,所以,所以,所以,又点在直线上,故,所以,所以.故选:B.二、选择题9.某组数据方差的计算公式为,则()A.样本的容量是3 B.样本的中位数是3C.样本的众数是3 D.样本的平均数是3〖答案〗BCD〖解析〗依题意,样本数据为,因此样本容量为7,中位数为3,众数为3,平均数,故A错误,BCD正确.故选:BCD10.设函数的最大值为1,最小值为-3,若的图象相邻的两条对称轴间的距离为,将的图象向上平移1个单位长度,再向右平移个单位长度,得到函数的图象,则()A.B.在内恰有3个零点C.的图象关于点对称D.在上单调递增〖答案〗BCD〖解析〗由题意知,解得,的最小正周期为,即,所以,故.由,得,所以当且仅当,即时,,故在内恰有3个零点,故A错误,B正确;由,得,所以,故C正确;由,得,所以在上单调递增,故D正确.故选:BCD.11.已知抛物线的焦点为为抛物线上一点,且,过的直线交于两点,是坐标原点,则()A.抛物线的准线方程为B.的最小值为4C.若,则的面积为D.若,则的方程为〖答案〗BC〖解析〗由抛物线定义知,,所以,故的方程为,所以的准线方程为,故A错误;设(异于原点),又,,所以,所以,当且仅当,即时,等号成立,故的最小值为4,故B正确;设直线的方程为,联立消去并整理,得,所以,因为,易求得,所以的面积,故C正确;由以上可得,又,,所以,所以,所以,即,解得或(舍去),所以,所以,解得,故直线的方程为,即或,故D错误.故选:BC12.已知,且,则下列说法正确的是()A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗由,可得,又,所以,解得.当时,,则,又,所以,所以此时,故A错误;令,则,当时,单调递增,当时,单调递减,所以,即,由知,所以,所以,故正确;由可得,可得(时取等号),因为,所以,所以,故C正确;因为,所以.令,则,令,所以,令,所以,所以在上单调递增,所以,所以,所以在上单调递增,所以1,所以,故D正确.故选:BCD.三、填空题13.若直线是曲线的一条切线,则实数______.〖答案〗〖解析〗由题可知,设的切点为,则切线斜率为,可得,解得.故〖答案〗为:.14.已知等比数列的前项和为,若,,则______.〖答案〗80〖解析〗由等比数列的性质可知,,,成等比数列,又,,所以,所以,,所以.故〖答案〗为:.15.现有3名男生,3名女生和2名老师站成一排照相,2名老师分别站两端,且3名女生互不相邻,则不同的站法为______.〖答案〗288〖解析〗根据题意,分3步进行:第一步,2名老师分别站两端,有种站法;第二步,先安排3名男生,有种站法,男生排好后,有4个空位可选;第三步,将3名女生安排在4个空位中的3个,有种站法,所以不同的站法有.故〖答案〗为:28816.已知正方体的棱长为2,M为空间中任意一点,且,当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为____________.〖答案〗〖解析〗如图,因为,所以在一个平面内,点M的轨迹是以A,D为焦点的椭圆.又因为,所以该椭圆的长轴长为4,短轴长为,故点M的轨迹是以A,D为焦点的椭球表面.设AD的中点为L,要使三棱锥的体积最大,即到平面ABD的距离最大,所以当平面,且平面ABD时,三棱锥A-MBD的体积最大.此时由椭圆短半轴长知,且△MAD为等边三角形,设其中心为S,三棱锥A-MBD的外接球的球心为O,△ABD的外心为K,连接OK,OB,OS,则,,所以球半径,此时三棱锥A-MBD外接球的表面积.故〖答案〗为:.四、解答题17.已知数列是递增的等比数列,.(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和.解:(1)因为数列是递增的等比数列,所以,所以,解得,所以公比,所以.(2)由(1)知,,所以.18.在中,内角的对边分别为,且.(1)求角的大小;(2)若点是线段上的一点,且的面积为,求的周长.解:(1)因为,由正弦定理得,又,所以,所以,所以,又,所以,所以,所以.(2)因为的面积为,所以,得.因为,所以,所以,所以在中,由余弦定理得,所以,所以,所以周长.19.如图,在三棱锥中,是的中点,是的中点,点在线段上,且.(1)求证:平面;(2)若平面,且,求直线与平面所成角的余弦值.(1)证明:过点作交于点,过点作交于点,则.因为是的中点,是的中点,所以,因为,所以,则,所以四边形平行四边形,所以,又平面平面,所以平面.(2)解:以为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,过且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系,设,则,,所以.设平面的法向量为,则即令,得,设直线与平面所成角为,则,所以,故直线与平面所成角的余弦值为.20.由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素,地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前,鸟类平均每年灭绝一种,兽类平均每年灭绝一种,但是自工业社会以来,地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的倍.所以保护动物刻不容缓,全世界都在号召保护动物,动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物,禁止猎杀和捕食野生动物,某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”,从某市市民中随机抽取名进行调查,得到统计数据如下表:保护动物意识强保护动物意识弱合计男性女性合计(1)根据以上数据,依据小概率
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