2022-2023学年山东省青岛市九校联盟高二下学期期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2山东省青岛市九校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据空间直角坐标系的对称性可得关于yOz平面的对称点的坐标为，故选：C.2.若4名教师报名参加乡村志愿支教活动，可以从A，B，C这3个学校中选报1个，则不同的报名方式有（）A.16种 B.24种 C.64种 D.81种〖答案〗D〖解析〗每位教师报名都有3种选择，则4名教师报名方式有（种）.故选：D.3.质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度为（）A.16m/s B.36m/s C.64m/s D.81m/s〖答案〗B〖解析〗由，得，∴质点M在时的瞬时速度为36m/s.故选：B.4.抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由抛物线的准线方程为，焦点，因为抛物线上一点的纵坐标为2，根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.故选：B.5.圆上的点到直线的最大距离是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圆化为标准方程得，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为所以圆上的点到直线的最大距离为.故选:C.6.从8名女护士和4名男医生中，抽取3名参加支援乡镇救护工作，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A.112 B.32 C.56 D.12〖答案〗A〖解析〗∵从8名女护士，4名男医生中选出3名，∴每个个体被抽到的概率是，根据分层抽样要求，应选出名女护士，名男医生，∴不同的抽取方法数为种.故选：A.7.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意可得，，，设，则，当时，，单调递减，又，所以，即，即.故选：D.8.若函数存在增区间，则实数的取值范围为A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A.焦点为 B.渐近线方程为C.离心率e为 D.焦点到渐近线的距离为〖答案〗BC〖解析〗由方程可知则焦点为，渐近线方程为，即离心率为，焦点到渐近线的距离为故选：BC10.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，令，可得，所以A正确；含的项为，故，所以B错误；令，可得，又因为，故，所以C正确；令，可得，又由，故，所以D正确.故选：ACD.11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详析九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）A.B.第2023行的第1012个和第1013个数最大C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3〖答案〗ABD〖解析〗A选项，，，故A正确；B选项，由图可知：第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B正确；C选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第7个数字是84，故C错误；D选项，依题意：第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确.故选：ABD.12.已知函数，则下列结论错误的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数只有极大值没有极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则t的最小值为2〖答案〗BD〖解析〗对于A中，由，可得，解得，所以A正确；对于B中，由，令时，可得，当时，或，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B错误；对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是，可得函数大致图象，所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误.故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则曲线在处的切线方程为_________.〖答案〗〖解析〗，则，又，所以曲线在处的切线方程为，即.故〖答案〗为：.14.正项等比数列中，，是方程的两个根，则_________.〖答案〗〖解析〗，是方程的两个根，由韦达定理可得，正项等比数列中，有，所以.故〖答案〗为：15.盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________．〖答案〗〖解析〗记事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；则；，；，，.故〖答案〗为：.16.已知函数，其导函数记为，则__________.〖答案〗2〖解析〗函数，则，显然为偶函数，令，，，所以为奇函数，又为偶函数，所以，，所以.故〖答案〗为：2.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.设数列是公差为的等差数列，已知，（1）求数列的通项公式；（2）若，且的前n项和为，求.解：（1）因为数列是公差为的等差数列，且，所以，则或.又，，∴.（2）由（1）可得，，∴18.设函数．（1）求的单调区间；（2）当时，求的取值范围．解：（1）因为定义域为，所以，因为，所以，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19.2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：（1）2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；（2）3名宇航员互不相邻的概率；（3）2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.解：（1）第一步，先排2名航天科学家，第二步，再排3名宇航员，所以总共有（种）.（2）先排2名航天科学家，然后再插入3名宇航员，所以总共有（种），5人排成一排一共（种），所以所求的概率为：.（3）①当2名航天科学家之间有3名宇航员时，；②当2名航天科学家之间有2名宇航员时，，故.20.设椭圆：的离心率为，且短轴长为.（1）求椭圆C的方程；（2）若在y轴上的截距为2的直线与椭圆C分别交于A，B两点，O为坐标原点，且直线OA，OB的斜率之和等于12，求直线AB的方程解：（1）由题可得，由有，，解得，故所求椭圆方程为：.（2）由题意可知直线的斜率存在，设：，，，联立，或，∴，，∴，，故直线AB的方程为.21.如图，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，．（1）求证：平面ACF；（2）在线段PB上是否存在一点H，使得CH与平面ACF所成角的正弦值为？若存在，求出线段PH的长度；若不存在，请说明理由．解：（1）依题意，在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧棱，底面ABCD为直角梯形，其中，，，，以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，故可设，由于，所以平面.（2）存在，理由如下：设，，，，依题意与平面所成角的正弦值为，即，，解得或.，即的长为或，使与平面所成角的正弦值为.22.已知函数.（1）判断在上的单调性；（2）若，求证：.解：（1）因为，所以，因为，设，则在上是增函数，所以.所以时，单调递减；时，，单调递增，所以在上是减函数，在上是增函数.（2）由(1)知，因为，所以，因为在上是增函数，且，，所以存在，使得，即，且时，，，递增，时，，递减，所以时.设，则，所以在上是增函数，.即.山东省青岛市九校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.空间直角坐标系中，已知，则点A关于yOz平面的对称点的坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗根据空间直角坐标系的对称性可得关于yOz平面的对称点的坐标为，故选：C.2.若4名教师报名参加乡村志愿支教活动，可以从A，B，C这3个学校中选报1个，则不同的报名方式有（）A.16种 B.24种 C.64种 D.81种〖答案〗D〖解析〗每位教师报名都有3种选择，则4名教师报名方式有（种）.故选：D.3.质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在时的瞬时速度为（）A.16m/s B.36m/s C.64m/s D.81m/s〖答案〗B〖解析〗由，得，∴质点M在时的瞬时速度为36m/s.故选：B.4.抛物线上一点的纵坐标为2，则点与抛物线焦点的距离为（）A.2 B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由抛物线的准线方程为，焦点，因为抛物线上一点的纵坐标为2，根据抛物线的定义，可得点与抛物线焦点的距离为.故选：B.5.圆上的点到直线的最大距离是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圆化为标准方程得，圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为所以圆上的点到直线的最大距离为.故选:C.6.从8名女护士和4名男医生中，抽取3名参加支援乡镇救护工作，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A.112 B.32 C.56 D.12〖答案〗A〖解析〗∵从8名女护士，4名男医生中选出3名，∴每个个体被抽到的概率是，根据分层抽样要求，应选出名女护士，名男医生，∴不同的抽取方法数为种.故选：A.7.已知，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意可得，，，设，则，当时，，单调递减，又，所以，即，即.故选：D.8.若函数存在增区间，则实数的取值范围为A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗若函数不存在增区间，则函数单调递减，此时在区间恒成立，可得，则，可得，故函数存在增区间时实数的取值范围为．故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知双曲线的方程为：，则下列说法正确的是（）A.焦点为 B.渐近线方程为C.离心率e为 D.焦点到渐近线的距离为〖答案〗BC〖解析〗由方程可知则焦点为，渐近线方程为，即离心率为，焦点到渐近线的距离为故选：BC10.已知，则（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗由，令，可得，所以A正确；含的项为，故，所以B错误；令，可得，又因为，故，所以C正确；令，可得，又由，故，所以D正确.故选：ACD.11.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详析九章算法》一书中展示了二项式系数表，数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论正确的是（）A.B.第2023行的第1012个和第1013个数最大C.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为第9行的第7个数D.第34行中从左到右第14个数与第15个数之比为2：3〖答案〗ABD〖解析〗A选项，，，故A正确；B选项，由图可知：第行有个数字，如果是奇数，则第和第个数字最大，且这两个数字一样大；如果是偶数，则第个数字最大，故第2023行的第1012个和第1013个数最大，故B正确；C选项，第6行，第7行，第8行的第7个数字分别为：1，7，28，其和为36；第9行第7个数字是84，故C错误；D选项，依题意：第34行第14个数字是，第34行第15个数字是，所以，故D正确.故选：ABD.12.已知函数，则下列结论错误的是（）A.函数存在两个不同的零点B.函数只有极大值没有极小值C.当时，方程有且只有两个实根D.若时，，则t的最小值为2〖答案〗BD〖解析〗对于A中，由，可得，解得，所以A正确；对于B中，由，令时，可得，当时，或，所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是，所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B错误；对于C中，当时，，根据B可知，函数的最小值是，可得函数大致图象，所以当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；对于D中，由B知函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其中，当时，即在区间时，可得，所以D错误.故选：BD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，则曲线在处的切线方程为_________.〖答案〗〖解析〗，则，又，所以曲线在处的切线方程为，即.故〖答案〗为：.14.正项等比数列中，，是方程的两个根，则_________.〖答案〗〖解析〗，是方程的两个根，由韦达定理可得，正项等比数列中，有，所以.故〖答案〗为：15.盒中有个红球，个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是_________．〖答案〗〖解析〗记事件：第一次抽取的是黑球；事件：第二次抽取的是黑球；则；，；，，.故〖答案〗为：.16.已知函数，其导函数记为，则__________.〖答案〗2〖解析〗函数，则，显然为偶函数，令，，，所以为奇函数，又为偶函数，所以，，所以.故〖答案〗为：2.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.设数列是公差为的等差数列，已知，（1）求数列的通项公式；（2）若，且的前n项和为，求.解：（1）因为数列是公差为的等差数列，且，所以，则或.又，，∴.（2）由（1）可得，，∴18.设函数．（1）求的单调区间；（2）当时，求的取值范围．解：（1）因为定义域为，所以，因为，所以，所以当时，当时，所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由（1）可得在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值即最小值，所以，又，，又，所以，所以.19.2022年4月16日3名宇航员在太空历经大约半年时间安全返回地球，返回之后3名宇航员与2名航天科学家从左到右排成一排合影留念.求：（1）2名航天科学家站在左、右两端总共有多少种排法；（2）3名宇航员互不相邻的概率；（3）2名航天科学家之间至少有2名宇航员的概率.解：（1）第一步，先排2名航天科学家，第二步，再排3名宇航员，所