2023-2024学年重庆市部分学校高一下学期第一次月考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2重庆市部分学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量，则（）A.1 B.2 C.6 D.1或者2〖答案〗D〖解析〗由已知，又，所以，解得1或者2.故选：D.2.在中，是的中点，是的中点，若，则（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗中，是的中点，是的中点，则，所以，所以.故选：B.3.若复数是纯虚数，则（）A. B.且 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得：，解得或，又，所以.故选：A.4.若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，所以.故选：A.5.如果复数z满足，那么的最大值是（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗设复数、在复平面内对应的点分别为，复数在复平面对应点为：，由可知：复数z在复平面内对应的点，到两点的距离之和为2，而，所以点在线段上，故，则，当时，的最大值为.故选：D.6.在中，，则的最大角与最小角的和是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗结合，不妨设，，，根据大边对大角可知：，由余弦定理可得：，又因为，所以，所以，所以的最大角与最小角之和为.故选：C.7.复数的共轭复数的虚部是（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，，所以，其共轭复数为，虚部为.故选：B.8.在中，，，则的形状为（）A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形C.等边三角形 D.等腰（非等边）三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以为等腰非等边三角形.故选：D.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.满足下列条件的三角形有两个解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗BD〖解析〗对于A，，又，只有一解，不合题意；对于B，，又，则有两解，符合题意；对于C，，则不存在，无解，不合题意；对于D，，又，则有两解，符合题意.故选：BD.10.锐角三角形的内角分别是A，B，C，.则下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，函数在上单增，且，所以，正确；对于B，因为函数在上单调递减，且，所以，错误；对于C和D，因为锐角三角形，可得，则，因为，所以，又在上单调递增，所以，同理可得，所以，故C正确，D错误.故选：AC.11.如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（）A.是定值B.是定值C.是定值D.是定值〖答案〗ABD〖解析〗根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：不妨设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为；则可得，且；易知；所以对于A选项，，为定值，即A正确；对于B选项，，为定值，所以B正确；对于C选项，易知表达式中不能表示成只含有边长和半径的式子，即与有关，故其不是定值，所以C错误；对于D选项，，为定值，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在中，，，，且O是的外心，则______.〖答案〗〖解析〗如图所示，过点作的垂线，垂足为，则在方向上的投影向量为，因为为的外心，所以，所以.故〖答案〗为：.13.若满足条件，，的有两个，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗在中，由正弦定理得：，因有两解，即给定x值，由求出的角B有两个，它们互补，当时，，角B唯一确定，只有一解，则，即有，而当时，是直角三角形，只有一解，有两解，则必有，即，有，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.14.已知关于的方程的两个复数根记为，则__________.〖答案〗〖解析〗由韦达定理可得，，故.故〖答案〗为：.四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知向量与夹角为60°，＝1，．（1）求及；（2）求.解：（1）由题设，则（2）由，所以.16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.（1）求角A；（2）若，，求的面积.解：（1）因为向量，且，所以，由正弦定理可知：，又，所以，所以，则，又，所以.（2）因为，，，由余弦定理可得，可得，解得或（舍），所以的面积为.17.在中，.（1）求的大小；（2）求的取值范围.解：（1）因为，所以由余弦定理可得，所以，又，所以.（2）因为，所以，因为，所以，所以，所以，即的取值范围为.18.如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．（1）求的值；（2）求面积的最小值，并指出相应的的值．解：（1）延长交与，由是正三角形的中心，得为的中点，则，由，，得，又三点共线，所以，即．（2）是边长为1的正三角形，则，，由，则，，，解得，，设，则，则，当且仅当，即时取等号，所以当，即时，取得最小值．19.在中，内角所对的边分别为，已知，边上的中线长为6.（1）若，求；（2）求面积的最大值.解：（1）由有，故，由正弦定理可得，故，即，又，故，若，则，故，则为直角三角形，设，则，则，解得，故.（2）由（1）可得，则，设，则，由余弦定理可得，即，由可得，故，故，当时取得最大值，为.重庆市部分学校2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知向量，则（）A.1 B.2 C.6 D.1或者2〖答案〗D〖解析〗由已知，又，所以，解得1或者2.故选：D.2.在中，是的中点，是的中点，若，则（）A. B. C. D.1〖答案〗B〖解析〗中，是的中点，是的中点，则，所以，所以.故选：B.3.若复数是纯虚数，则（）A. B.且 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得：，解得或，又，所以.故选：A.4.若，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，所以，，所以.故选：A.5.如果复数z满足，那么的最大值是（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗设复数、在复平面内对应的点分别为，复数在复平面对应点为：，由可知：复数z在复平面内对应的点，到两点的距离之和为2，而，所以点在线段上，故，则，当时，的最大值为.故选：D.6.在中，，则的最大角与最小角的和是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗结合，不妨设，，，根据大边对大角可知：，由余弦定理可得：，又因为，所以，所以，所以的最大角与最小角之和为.故选：C.7.复数的共轭复数的虚部是（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因为，，所以，，所以，其共轭复数为，虚部为.故选：B.8.在中，，，则的形状为（）A.直角三角形 B.三边均不相等的三角形C.等边三角形 D.等腰（非等边）三角形〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以，所以，即，又，所以，所以，所以为等腰非等边三角形.故选：D.二、多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分，在每个给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.满足下列条件的三角形有两个解的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，〖答案〗BD〖解析〗对于A，，又，只有一解，不合题意；对于B，，又，则有两解，符合题意；对于C，，则不存在，无解，不合题意；对于D，，又，则有两解，符合题意.故选：BD.10.锐角三角形的内角分别是A，B，C，.则下列不等式中成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗对于A，函数在上单增，且，所以，正确；对于B，因为函数在上单调递减，且，所以，错误；对于C和D，因为锐角三角形，可得，则，因为，所以，又在上单调递增，所以，同理可得，所以，故C正确，D错误.故选：AC.11.如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（）A.是定值B.是定值C.是定值D.是定值〖答案〗ABD〖解析〗根据题意，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如下图所示：不妨设正方形边长为，圆的半径为，点坐标为；则可得，且；易知；所以对于A选项，，为定值，即A正确；对于B选项，，为定值，所以B正确；对于C选项，易知表达式中不能表示成只含有边长和半径的式子，即与有关，故其不是定值，所以C错误；对于D选项，，为定值，故D正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12.在中，，，，且O是的外心，则______.〖答案〗〖解析〗如图所示，过点作的垂线，垂足为，则在方向上的投影向量为，因为为的外心，所以，所以.故〖答案〗为：.13.若满足条件，，的有两个，则的取值范围是______.〖答案〗〖解析〗在中，由正弦定理得：，因有两解，即给定x值，由求出的角B有两个，它们互补，当时，，角B唯一确定，只有一解，则，即有，而当时，是直角三角形，只有一解，有两解，则必有，即，有，所以的取值范围是.故〖答案〗为：.14.已知关于的方程的两个复数根记为，则__________.〖答案〗〖解析〗由韦达定理可得，，故.故〖答案〗为：.四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15.已知向量与夹角为60°，＝1，．（1）求及；（2）求.解：（1）由题设，则（2）由，所以.16.已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且.（1）求角A；（2）若，，求的面积.解：（1）因为向量，且，所以，由正弦定理可知：，又，所以，所以，则，又，所以.（2）因为，，，由余弦定理可得，可得，解得或（舍），所以的面积为.17.在中，.（1）求的大小；（2）求的取值范围.解：（1）因为，所以由余弦定理可得，所以，又，所以.（2）因为，所以，因为，所以，所以，所以，即的取值范围为.18.如图，已知点是边长为1的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边于点，设，其中．（1）求的值；（2）求面积的最小值，并指出相应的的值．解：（1）延长交与，