浙江省临平萧山联考2023-2024学年高二上学期期末数学试题

2023学年第一学期期末学业水平测试高二数学试题卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔再答题卷指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3．考试结束后，只需上交答题卷．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为或，，则.故选：D2.已知，为虚数单位，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法化简复数，利用复数的模长公式可求得的值.【详解】因为，则，故.故选：C.3.已知平面向量，，且，则（）A. B.0 C.1 D.【答案】A【解析】【分析】首先求出、的坐标，再根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可.【详解】因为，，所以，，因为，所以，解得.故选：A4.已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的性质：双曲线左支上的点到右焦点的距离：可确定双曲线离心率的取值范围.详解】由题意：.故选：A5.已知，，则（）A. B. C.或 D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得出，解方程，可得出的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得的值.【详解】因为，则，由已知可得，解得，故.故选：D.6.数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当较大时，（，常数）．利用以上公式，可以估算的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依题意可得，，两式相减，根据对数的运算法则计算可得.【详解】依题意可得，，两式相减可得.故选：B7.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】依题意可得，利用充分条件、必要条件的定义判断可得答案．【详解】，则，，所以，所以由不能推出，充分性不成立；反之，成立，即必要性成立；，则“”是“”的必要不充分条件．故选：B．8.已知圆与直线，过上任意一点向圆引切线，切点为和，若线段长度的最小值为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】推导出垂直平分，分析可知，当取最小值时，取最小值，此时，，利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，解之即可.【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示：由圆的几何性质可知，，因为，，，所以，，所以，，则，设，则为的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，所以，当取最小值时，取最小值，由，可得，所以，的最小值为，当与直线垂直时，取最小值，则，因为，解得.故选：D.【点睛】方法点睛：本题考查圆的切点弦长的计算，一般方法有如下两种：（1）求出切点弦所在直线的方程，然后利用勾股定理求解；（2）利用等面积法转化为直角三角形斜边上的高，作为切点弦长的一般求解.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为，则（）A.B.这组数据的中位数为4C.若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为5D.这组数据的第70百分位数为5.5【答案】ACD【解析】【分析】根据平均数求出值，再根据百分位的性质求出结果．【详解】由题意得，解得，故A正确；将这组数据从小到大排列为3，3，4，4，4，5，5，6，6，7，则中位数，故B错误；若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的平均数变为，故C正确；因为，所以这组数据的第百分位数为，故D正确．故选：ACD．10.在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，下面说法正确的是（）A.B.C.是锐角三角形D.最大内角是最小内角的倍【答案】AC【解析】【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断BC选项；利用二倍角的余弦公式可判断D选项.【详解】对于A，由正弦定理可得，A对；对于B，由余弦定理可得，，，所以，，B错；对于C，因为，则为最大角，又因为，则为锐角，故为锐角三角形，C对；对于D，由题意知，为最小角，则，因为，则，则，D错.故选：AC.11.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，面，，点E是棱上一点（不包括端点），F是平面内一点，则（）A.一定不存在点E，使平面B.一定不存在点E，使平面C.以D为球心，半径为2的球与四棱锥的侧面的交线长为D.的最小值【答案】ACD【解析】【分析】建立坐标系，利用空间向量判断A，B，把展开到同一平面内计算判断D，求出球面与的交线，再借助对称计算判断C即可.【详解】对于A，在四棱锥中，面，因为面，所以，因为底面是正方形，所以，以为原点，射线分别为轴非负半轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，设，，显然面的一个法向量为，而，即不垂直，所以与平面不平行，故A正确；对于B，又，所以，即，若，则，所以存在点，使得，又平面，所以平面，故B错误；对于C，由题意球面与的交线如图中圆弧，而，所以，所以圆弧的弧长为，故C正确；对于D，由于面，面，所以，而，面，所以面，又面，所以，同理，且，把展开到同一平面内，要使取得最小值，当且仅当点在上，且，如图，因为，所以由勾股定理得，所以，而，所以，所以，故D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键.12.已知函数，的零点分别为、，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，利用图象的对称性可判断A选项；由化简可判断B选项；由基本不等式可判断C选项；利用不等式的基本性质可判断D选项.【详解】对于函数，可得，可得，则，所以，函数的图象关于直线对称，由，得，由，得，作出函数、、的图象如下图所示：由对称性可知，点、关于直线对称，对于A选项，，，A对；对于B选项，由，可得，所以，，故，B对；对于C选项，若，由可得，则，这与即矛盾，所以，，，C对；对于D选项，因为，，由不等式的基本性质可得，D错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解本题的关键分析出函数的图象关于直线对称，以及同底数的指数函数和对数函数的对称性来得出等量关系，再利用不等式的基本性质求解.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.过、两点的直线的斜率为_______．【答案】【解析】【分析】利用两点间的斜率公式可得出直线的斜率.【详解】由已知可得.故答案为：.14.在直三棱柱中，，，，，则该直三棱柱的外接球的表面积为_______．【答案】【解析】【分析】将直三棱柱补成长方体，求出该直三棱柱的外接球的直径，利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】因为，，，则，则，将直三棱柱补成长方体，如下图所示：所以，直三棱柱的外接球直径为，因此，该直三棱柱的外接球的表面积为.故答案为：.15.已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】先把函数化成的形式，再根据函数在给定区间上的值域求的取值范围.【详解】因为.又.因为.故答案为：16.已知双曲线：的右顶点，右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点P，直线PF与C的一个交点为Q，，且，则C的离心率为________．【答案】【解析】【分析】先根据条件：，可确定点坐标，再根据条件：可确定点坐标，依据在双曲线上可求出双曲线的离心率.【详解】如图：因为，，设.由所以：.所以点坐标为.，所以轴.过作轴的垂线，过作轴的垂线，相交于点.则，又，所以，可得点的坐标为，因为在双曲线上，所以或（舍去）.故答案为.【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率，常见的方法有两种：（1）求出，，利用求出离心率；（2）根据条件得到关于，，的齐次式，结合和，解方程可得的值.四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第1822题每题12分，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）化简函数的解析式，可得出函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；（2）由求出的取值范围，再利用正弦型函数的单调性可求得函数在上的最大值.【小问1详解】解：因为，则，故函数的最小正周期为.【小问2详解】解：当时，，所以，函数在上单调递增，故.18.如图，在中，已知，，，，分别为，上的两点，，，相交于点．（1）求的值；（2）求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）用、表示，再根据数量积的定义及运算律计算可得；（2）用、表示、，根据数量积的运算律求出，即可得证.【小问1详解】因为，所以，所以，所以；【小问2详解】因为，所以，所以，所以，即，所以．19.树人中学从参加普法知识竞赛的1000同学中，随机抽取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组后得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：（1）补全频率分布直方图，并估计本次知识竞赛成绩的众数；（2）如果确定不低于88分的同学进入复赛，问这1000名参赛同学中估计有多少人进入复赛；（3）若从第一组，第二组和第六组三组学生中分层抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25的概率．【答案】（1）补全频率分布直方图见解析；估计众数为.（2）（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积之和为1，求出组的频率，可补全频率分布直方图，由此估计本次知识竞赛成绩的众数；（2）由频率分布直方图求出成绩不低于88的频率，由此估计进入复赛的人数；（3）根据分层抽样求出各组抽取人数，再用古典概型求出所抽取的2人成绩之差的绝对值小于25个概率.【小问1详解】组的频率为：.所以补全频率分布直方图为：因为组对应的小矩形最高，所以估计本次知识竞赛成绩的众数为.【小问2详解】由频率分布直方图得分数不低于分的频率为：.所以这名参赛同学中估计进入复赛的人数为：.【小问3详解】从第一组，第二组和第六组三组同学中分层抽取人，因为第一、二、六组的频率之比为，所以第一组抽取人，第二组抽取人，第六组抽取人.设这人分别为：，从这6人中任选2人的抽法有：基本事件总数，所抽取的人成绩之差的绝对值小于包含的基本事件有：基本事件个数个数.所以所抽取的人成绩之差的绝对值小于的概率为.20.如图，在多面体中，四边形是边长为正方形，，，，平面平面．（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）连接、，推导出，利用面面垂直的性质可得出平面，可得出，推导出平面，可得出，利用正方形的性质可得出，可得出平面，再利用线面垂直的性质可证得结论成立；（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面所成锐角的余弦值.【小问1详解】证明：连接、，因为四边形为正方形，则，，因为，，，，则，由余弦定理可得，所以，，则，则，因为平面平面，平面平面，，平面，则平面，因为平面，则，因为，、平面，则平面，因为平面，则，因为，、平面，则平面，因为平面，则.【小问2详解】解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，，则，取，可得，所以，，因此，平面与平面所成锐角的余弦值为.21.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，且满足．当点在圆上运动时，的轨迹为．（1）求曲线的方程；（2）点，过点作斜率为的直线交曲线于点，交轴于点．已知为的中点，是否存在定点，对于任意都有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，且点【解析】【分析】（1）设点、，则，根据平面向量的坐标运算可得出，代入等式化简可得出曲线的方程；（2）记，则直线的方程可化为，将该直线方程与曲线的方程联立，求出点的坐标，进而求出点的坐标，求出及点的坐标，根据可求出直线的方程，即可得出直线所过定点的坐标，即为所求的点.【小问1详解】解：设点、，则，因为，则，则，所以，，因为点在圆，则，所以，，整理可得.因此，曲线的方程为.【小问2详解】解：存在，理由见解析.记，则直线的方程为，联立可得，解得，则，故点，所以点，则，因为，则，在直线中，令，可得，即点，所以，直线的方程为，所以，存在定点，使得.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.22.已知函数和的定义域分别为和，若