2020-2021学年泉州市高二年级上册期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年泉州市高二上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.各项均为正数的数列舸J•，糜多满足：：%点=场%刈#%鼠^=晶遍出紫L，解屈激那么

（）

A.W嫡:酰/静鼠=魄僦:谕，兔微B.三硼纪'蹲;海海.＞魄:％二露

C.：玉牌纪嫌:梦晚＞嗯题:,：静,馥D.3w＜：搬：；好晚＞碉蠲「:嵬

2.三棱锥尸一ABC中，M是棱BC的中点，若丽=%”+y通+z前（居y,zCR）,则％+y+z的

值为（）

A.—1B.0C.-D.1

3.如果直线2%+y=0与直线％+my-1=0垂直，那么m的值为（）

A.-2B.—|C.~D.2

22

4.已知椭圆巳+3=1（。＞6＞0）的左、右焦点分别为6,尸2,且|&BI=2c,若椭圆上存在点M

azoz

使得AMF1F2中，sin,=sin竿三则该椭圆离心率的取值范围为（）

A.（0,V2-l）B.（今1）C.（0,f）D.（V2-l,l）

5,已知等比数列｛&J的前几项和.凡,=蜜"一敏，贝IUf小：W机…带：城等于（）

A.赞-瞭B二徵fc.那yD.

6.设抛物线y=：/上的一点p到无轴的距离是%则点P到该抛物线焦点的距离为（）

A.3B.4C.5D.6

7.如图，平行六面体48CD—2送1的。1中，侧棱长为3,底面是边长为2的菱形,N41aB=120°,

N&a。=60。，点E在棱上，贝1ME+QE的最小值为（）

DiCl

A.V21B.5C.2V5D.7

8,设冢、荒、区是非零向量，则下列说法中正确是

A.细,题”ff；=旗：,葡:■.碱B.1一1,三卜#同

C.若:新颔=砌，寓，则融=/:D.若:碱郴鼠碱赭冬:，则题而•：

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）

9.已知数列｛即｝的前几项和为s小且s九一。九=（九一1）2,.=£■,则（）

2*9

A.Sn=nB.an=2n

C.数列｛,｝是递增数列D.数列｛,｝的最小值为普

ol

2

10.已知双曲线的方程矶亍一y2=i,则下列说法正确的是（）

A.E的虚轴长为1

B.E的渐近线方程为丫=±3%

C.E的焦距为2次

D.E的渐近线上的点到右焦点的距离的最小值为1

22

11.双曲线二-匕=1的左右焦点分别为尻，F点P在双曲线上，下列结论正确的是（）

9162,

A.该双曲线的离心率为J

B.该双曲线的渐近线方程为y=±1X

C.点P到两渐近线的距离的乘积为等

D.若P&LPF2，则APF/z的面积为32

12.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了偷经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠

军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图①，已知球的体积为野，托盘由边长为4的正三角形铜

片沿各边中点的连线向上折叠成直二面角而成，如图②.则下列结论正确的是()

A.经过三个顶点4B,C的球的截面圆的面积为g

B,平面8C77/平面ADE

C.直线AD与平面DEF所成的角为方

D.球面上的点离球托底面DEF的最小距离为b+日-1

三、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知圆修:=糜询*吸过坐标原点，则圆心C到直线肥:黄色=1距离的最小

幽：砺

值等于一

14.若豆=(2,-1,0)5=(3,—4,7)且(43+b)la,则2的值是.

15.(1)um=3"是"直线/1：2(m+l)x+(m-3)y+7-5m=0与直线/2：(6-3)x+2y—5=

0垂直”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必

要”)

(2)抛物线V=2,V3上的一点到焦点的距离为1,则点M的纵坐标为

(3)双曲线=-1'=1(“>(),力>0)的渐近线为正方形。4BC的边。4OC所在的直线，点B为

a'b1

该双曲线的焦点，若正方形。A8C的边长为2,则“=.

(4)数/(%)=x2+2x,集合4={(%,y)|/(x)+/(y)<2],B={(x,y)|/(x)</(y)},则由4nB

的元素构成的图形的面积是.

2

16.数列中，的=1,前几项和S九=nan,则的=.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知等比数列｛的J的各项均为正数，且2al+3a2=1.送=9a2a6

(1)求数列｛时｝的通项公式；

(2)设b=log3al+log3a2+…+log3an,求数列｛*｝的前几项和七；

un

(3)在(2)的条件下，求使等；＞(7-2n)与恒成立的实数k的取值范围.

18.已知过点4(0,1)且斜率为k的直线与圆C：(久一2)2+(y—3)2=1相交于“、可两点.

(1)求实数k的取值范围；

(2)求证：俞•丽为定值.

19.如图，已知点尸(0,1),直线m：y=-1,P为平面上的动点，过

点P作nt的垂线，垂足为点Q,且而•评=而•丽.IF

(1)求动点P的轨迹c的方程；尸

(2)(理)过轨迹C的准线与y轴的交点M作直线M与轨迹C交于不同两

点4、B,且线段4B的垂直平分线与y轴的交点为。(0,%)，求V。的取值范围；

(3)(理)对于(2)中的点4、B,在y轴上是否存在一点0,使得A4BD为等边三角形？若存在，求出点。

的坐标；若不存在，请说明理由.

20.在四棱锥P-4BCD中，PA1平面ABCD,PA=273,DC//AB,

Z.DAB=90°,AB=3,AD=CD=2,M是棱PD的中点.\\\

(1)求异面直线DP与BC所成的角的余弦值；

(2)求4M与平面PBC所成的角的大小；

(3)在棱PB上是否存在点Q,使得平面Q4D与平面4BCD所成的锐二面角的大小为60。？若存在，求出

4Q的长；若不存在，说明理由.

21.设数列｛即｝,对任意n€N*都有(kn+b)(ai+%)+p=2(曰+a2…+%),(其中k、2p是常

数).

(1)当k=0,b=3,p=-4时，求的+a2++—Hcin；

(2)当k=1,b=0,p=0时，若=3,=15,求数列｛a"的通项公式；

(3)若数列｛&J中任意(不同)两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.当k=1,

b=0,p=。时，设分是数列｛厮｝的前几项和，a2-ai=2,试问：是否存在这样的“封闭数

1111111

列”｛%｝,使得对任意几GN*,都有土。0,且石<—+—+—</若存在，求数列｛a九｝

的首项内的所有取值；若不存在，说明理由.

22.已知两点P(-1,0),直线PG,QG相交于点G,且它们的斜率之积是3,设点G的轨迹为E.

(1)求曲线E的方程；

(2)过定点F(2,0)的直线交曲线E于C两点，直线PB、PC分别交直线x=|于点M,N,试判断以线

段MN为直径的圆是否过点F,并说明理由.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：试题分析：取:%=1:飓I=鬟，则演g=盘啊书:％=窗:罢书:1=卷,

依次得到数列艇前的各项为1,2,5,11,27...,

取年=＞逼=2，则露=，'#饕％=寒#鬟阳=4

依次得到数列侬蠹的各项为1,2,4,8,16...,

由上可知存在懒僵激*,使得碉*黜褊魂旅声鬼渊，…

则由珥q=X«*«k=»:%#-y=3*3®，

•・•数列翻（比为递增数列，

由鼠的=lu*&久：==蠹k

而:％食—1*：孤海询价电一碌!闻

口碱承勒一%M海,鼠+玲一露的，

口累加得：；%一』＞冤一跟我

口腿冷鼠#，

即:飓1M嵬.

故选：C.

2.答案：B

解析：

本题考查向量加法法则的应用，考查空间想象能力，属于基础题.

利用向量加法法则直接求解.

解：••三棱锥P-28C中，M是棱BC的中点，

]

■■.PM=PA+AB+BM=-AP+AB+-BC

]

=-AP+AB+-(AC-AB)

=-AP+-AB+-AC,

22

PM=xAP+y~AB+zJ?(x,y,zGR),

ii

.*.%+y+z=—1H----1--=0.

z22

故选：B.

3.答案：A

解析：解：直线2%+y=0与直线%+my-1=0垂直，

则lx2+mXl=0,

解得zn=-2.

故选：A.

根据两直线垂直的条件列方程求出血的值.

本题考查了两直线垂直的应用问题，是基础题.

4.答案:D

NM&F2=NMF2&=IMF/==n；

解析：解：设a,B，m,\MF2\

在AMF1F2中，由正弦定理有：急二言;

sinz.MF1F2__sinz.MF2F1则c_m_2a-n

ac7ari九'

解得：n=上一；

a<a+C；

由于-c<\MF2\

即(a+c)(a—c)<2a2<(a+c)2；

又Q2一02<2a2成立；则有鱼。<a+c;

离心率：V2-1<e<1;

故选：D.

在AMF1F2中，由正弦定理结合条件有：?=需=牛笄再由|“尸21的范围可求出离心率；

Ct\1V1尸21|/Wr*2|

本题考查正弦定理，椭圆的几何性质，离心率的范围的求法，属于中档题.

5.答案：D

解析:试题分析:•••等比数列5｝的前ri项和鼠=瞥-侬，:a=l,:%，=警巴.•倒广=邮'..鹏J=限七

端普W魔等于重；一：赞=3罩T一重:，故选D

考点：本题考查了等比数列的求和

点评：熟练掌握等比数列的概念及求和公式是解决此类问题的关键，属基础题

6.答案：C

解析：

本题主要考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题.

由题意可得点P的纵坐标为4,由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线y=-1

的距离，由此求得结果.

解：由于抛抛物线y=上的一点p到%轴的距离是4,

故点尸的纵坐标为4.

再由抛物线y=1/的准线为y=-1,

结合抛物线的定义可得：点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，

故点P到该抛物线焦点的距离是4-(-1)=5,

故选C.

7.答案：A

解析：

本题考查线段和最小值的求法.

将面GCBB1，8把441打开，连接46，AC,贝何的为AE+C】E的最小值，由此利用题设条件能求出

结果.

解：将面GCBBi，8/441打开，

连接AG，AC,贝IL4cl为4E+GE的最小值,

平行六面体中，侧棱长为3,底面是边长为2的菱形，^ArAB=120°,乙4遇。=60。

•••乙ABC=120°,4ACB=30°,ZXCQ=90°,AB=BC=2

在三角形ABC中由余弦定理得4c=2V3,

2

C±A=CC+AC2=32+12=21,

CrA=V2T>

故AE+GE的最小值为历.

故选：A.

8.答案：D

解析：试题分析：数量积不满足结合律，A错;当基与:苏异向时，F二电南咽，B错;由嬴於嬴信

得，嬴凝-“=曲因而，需不一定是零向量，C错；显然，。正确，这体现了向量的传递性。

故选。。

考点：向量的性质

点评：做这类题目，常采用排除法。排除选项时，又常取反例。

9.答案：AD

解析：解：因为a九=5九-S九_式九22),所以S九一a九=5九_1，

则S^_i=(n—I)2,即=n2(nEN所以的=1,

当九>2时，a九=彦—(n—i)2=2n—1,

又Ql=1满足上式，

所以a九=2九一1(几EN*),故A正确，3错误；

易知小＞0,因为"九=£=="，b九+1=8+1）4,

所以争=畔="4,当叵＞i时，八＞a+1,

所以当九＜3时，bn＞bn+1,当九Z3时，bn＜bn+1,

所以数列｛如｝不是递增数列，且当n=3时，生取得最小值言，故C错误，D正确.

ol

故选：AD.

由册=S九一5九一1（九22）即可求得％,及册，从而判断选项A,B；求出数列｛3｝的通项公式，可得

誓=（意）4,从而可得当n=3时“取得最小值，即可判断选项C,D.

本题主要考查数列递推式，考查数列的通项的求法，属于中档题.

10.答案：BD

解析：解：双曲线的方程E：--y2=1,可得a=2,b=l,c=层,

4

所以虚轴长为：2,渐近线方程为：y=±|”，焦距为2遮，

IxVs

E的渐近线上的点到右焦点的距离的最小值为：向串=1，

所以8。正确，

故选：BD.

利用双曲线方程，求解虚轴长以及渐近线方程，焦距，焦点到渐近线的距离，判断选项的正误即可.

本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查.

11.答案：BC

解析：解：由题意可知，a=3,b=4,c=5,

故离心率e=9,故A错误；

由双曲线的性质可知，双曲线线式—竺=1的渐近线方程为E—"=0即丫=3正确；

9169163

设P（x,y）,则P到两渐近线的距离之积也3!•也辿=叱且=&=把，c正确；

若PaLPF2，则APF1F2的面积§=磊；=16,D错误,

故选：BC.

由已知双曲线方程分别求出a,b,c,然后结合双曲线的性质对各选项进行检验即可判断.

本题以命题的真假判断为载体，主要考查了双曲线性质的灵活应用，属于中档试题.

12.答案：ACD

解析：解：设球的半径为R,因为球的体积为学,

所以等废=拳，解得R=

1,

对于4经过三个顶点4

B,C的球的截面圆，

即是与AAB'C'全等的三图③

角形的外接圆,

其半径初二|xlxs讥6。。=多则其面积为口2,所以A正确;

对于B,如图②取。尸中点K,EF中点H,连接HK,DE中点N,连接HK,HB,KC,NF,NA,由已

知易证FNL^ADE,

因为面CDFJ_面。EF,CK1DF,所以CK_1_面£。F，所以CK_LFN,

5LKH//DE,所以FN1KH；又KHCCK=K,

所以所以面/面CBKH,而面C8F又过直线BC,

故过一条直线不可能有两个平面与已知平面平行，故B错误；

对于C,如图②，4VJ_平面£7独\所以DE为在平面DEF内射影，

于是N4DE即为直线4D与平面DEF所成的角，大小为会所以C对；

22

对于。，如图③，OrO=V/?-r=Jl，。传=R-。1。=1一，，AN=2-sin600=V3,

所以球离球托底面DEF的最小距离为4/V-0]G=百+乎-1,所以。对.

故选：ACD.

4求出截面面积判断;B平移直线求成角余弦值判断;C求直线与平面成角判断;。求出最小距离判断.

本题考查了球的体积计算问题，考查了异面直线成角和直线与平面成角计算问题，属于较难题.

13.答案：追

解析：试题分析：因为圆鸳::8:-礴3丹:伽-，缴H=麻阈财，，吸过坐标原点,

所以演F会庐=霭逆富盛，所以球勺工务又因为圆，僦级,魏到直线的受带遐=：1即直线

魏答题一加溯4!/—审心，

距也物-躺=施的距离感=।厂-迎二=卮，所以圆心C到直线酬士出更二?距离的最

—%底凝魏

小值等于满.

考点：点到直线的距离公式圆的标准方程

点评：本题考查的知识点是点到直线的距离公式，圆的标准方程，其中熟练掌握点到直线距离公式，

是解答本题的关键.

14.答案:-2

解析：解：Aa+b=(2A+3,-2-4,7);

(2a+/?)1a;

•••(Aa+K)-a=2(22+3)+A+4=0;

解得4=—2.

故答案为：-2.

可求出4五+方=(2/1+3,-；1—4,7)，根据(/13+尤)1日即可得出(71五+3)・方=0，进行数量积的坐

标运算即可求出4的值.

考查向量垂直的充要条件，以及向量加法、数乘和数量积的坐标运算.

15.答案：(1)充分不必要(2)复3)2(4)2兀

O

解析：

(1)本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是根据两直线垂直的充要条件求出山的值，属基础题.

解：；直线21：2(m+l)x+(m-3)y+7—5m=0和22：(m—3)无+2y-5=0垂直，

•••2(m+1)X(m-3)+(m—3)X2=0,

解得m=3或m=-2,

am=3”是“直线I1和直线I2垂直的充分不必要条件.

故答案为充分不必要.

(2)本题考查抛物线的定义及性质，关键是根据抛物线的定义可知M到焦点的距离为1,则其到准线

距离也为1,属基础题.

解：由”2/可得/=],所以该抛物线的焦点为F(0*),准线方程为y=/设嬲婀和潞就，

由抛物线的定义可得|MF|=VM+!=1，所以=(故答案为9

OOO

(3)

本题主要考查双曲线的性质的应用，根据双曲线渐近线垂直关系得到双曲线是等轴双曲线是解决本

题的关键，属基础题.

解:

・••双曲线的渐近线为正方形04BC的边。40C所在的直线，

•・.渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为

y=+x,

即口=b,

•••正方形04BC的边长为2,

OB=2vL即c=2企，

则a2+b2=c2=8,

即2a2=8,

则a2=4,a=2,

故答案为2.

(4)本题考查集合的交集运算及数形结合思想，关键是根据条件找出4nB中的元素所满足的条件，

属难题.

解:由/(x)+/(y)W2得/一2%+V一2yW2,-l)2+(y-I)2<4,所以集合4是半径为2

的圆的内部,由/(无)W/(y)得久2-2X<y2一2y,即(x-y)(x+y-2)W0,作出4nB的元素构成

图形为如图所示的阴影部分，对应面积为圆面积的|,即1x兀x22=2兀.故答案为2兀.

16.答案：(

6

解析：

该题考查由数列递推式求数列的项，考查学生的运算能力，由已知得到递推式是解题关键.

由队二层即，得=(71-1)2an—,两式相减可得递推式，由递推式可求。2，。3.

解：由S"="厮①，得=(几-1)2即_1②，

22

①-②得a”=nan-(n-l)an_i，即即=^an-i(n>2),

11

乂T7a1=1«,a=-a=a=-2a=~1,

2DrJ342。

故答案为：士

o

17.答案：解：(I)设数列的公比为q,由城=9a2a6得退=9位

所以q?=也

由条件可知q>0,故q=[.

由2al+3g=1得2al+3arq=1,所以的=

故数列｛即｝的通项式为a”=费;

(H)bn=log3<2i+log3a2+•••+log3an=一(1+2+■--+n)=

...2_=_2fl____

bn(九n+1

11111277

7；=-2[(l

(HI)三鲁N(7—2n)T”等价于黑詈>(7-2n)•(—言)

化简得k>瑞恒成立

、口12?1—7r-t.ijj2(?1+1)—7271—79—2?1

设〃=—,则分+1-dn=--------,

当几N5,dn+1<dn,｛d九｝为单调递减数列，14几V5,d九+i>%,｛d九｝为单调递增数列

当加之5,cn+1<cn,｛c九｝为单调递减数列，当1<九<5,cn+1>cn,｛c九｝为单调递增数列

.•・77=<盛=石，.•・几=5时，d九取得最大值为何

lo3Z5Z

,使黑；>(7-2n)Tn(nEN*)恒成立的实数k>得

解析：(/)先根据2al+3a2=1，送=9a2a6求出等比数列的通项；

(□)求出数列｛5｝的通项，利用裂项法求和即可得到求｛*｝的前n项和〃；

°n

(川)把曙12(7-2九)%恒成立转化为k>祭恒成立，求出不等式右边的最大值即可.

本题考查数列与不等式的综合以及数列求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属

于中档题目.

18.答案：解：(1)由题意过点2(0,1)且斜率为k的直线的方程为旷=收+1,

代入圆C的方程得(1+/c2)%2-4(1+k)x+7=0,

••・直线与圆C：(x—2)2+(y—3)2=1相交于“、可两点.

•••△=[-4(1+fc)]2-4x7x(1+/)>o,

・•・实数k的取值范围(三”,竽).

证明：(2)设N(久2，、2)，AM=(%i，yi—1)，AN=(%21丫2—1)，

4(1+k)7

+%2=

1+k.2,"62=诉

71+72+%2)++2,

=(kxi+1)+(fcx2+1)=kQi2=*：：)

2

y1y2=(fc%i+l)(fcx2+1)=kxrx2+fc(%i+x2)+1，

■■AM-AN=Oi，%一1)•(x2,y2-1)

=1X2+(%-1)(72-1)

=%i%2+y/2-(yi+丫2)+1

2

=XrX2+kXrX2

77k2

=---------1---------

1+k21+k2

=7.

~AM-而为定值.

解析：⑴由题意过点2(0,1)且斜率为k的直线的方程为丫=kx+l,代入圆C的方程得(1+1川一

4(1+fc)x+7=0,利用根的差别式能求出实数k的取值范围.

(2)设“(/,%),/V(x2,y2),俞=(%,当一1),丽=(%2。2-1)，利用韦达定理、向量的数量积能

证明彳而■而为定值.

本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程、圆、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查推

理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.

19.答案：解：(1)设P(x,y),由题意，Q(x,—1),QP=(0,y+1),=(-%,2),FP=(x,y-1),

丽=Q,-2),

由丽•评=丽•丽，得2(y+l)=/-2。-1),

化简得/=4y.所以，动点P的轨迹C的方程为/=4y.

(2)轨迹C为抛物线，准线方程为y=-1,

即直线ni,—1),

设直线m'的方程为y=kx—l(/c0),

(y=kx—1,

由r12*得/—4kx+4=0,

(.%=4y

由Z\=16k2-16>0,得H>1.

/+%2=

设a(x1,yi),B(x2,y2)>则4鼠

所以线段48的中点为(2k,2/—1),

所以线段垂直平分线的方程为。-2k)+k[y-(2fc2-1)]=0,

令％=0,得y。=2k2+1.

因为左2>1,所以6(3,+8).

(3)由(2),1i+%2=4k,%i%2=4,

22

•••\AB\=V(%i-%2)+(7i-Y2)

=+H)(%i——)2=J(1+-2)[(—+比2)2—

=7(1+fc2)(16fc2-16)=4V(/c2+l)(/c2-1).

假设存在点。(0,Vo)，使得△ABD为等边三角形，

则。到直线4B的距离d=^-\AB\.

因为0(0,2/+1),所以d=学缪=隼箸=2迎4I,

\/V14-/C2遍2+1

所以2，k2+1=23k2+1-〃2一1,解得卜2=1.

所以，存在点。(0,弓)，使得△28。为等边三角形.

解析：(1)设P(x,y)，由题意得Q(%,—1),即可得到评，QF,FP,FQ,利用向量的数量积运算即可

得出动点P的轨迹C的方程；

(2)利用(1)的轨迹方程即可得到准线方程及点M的坐标，设直线加的方程为y=kx-l(fc丰0),与

抛物线方程联立得到根与系数的关系，利用中点坐标和垂直平分线的性质即可得到线段48的垂直平

分线的方程即可；

(3)利用(2)的结论，点到直线的距离公式及等边三角形的判定即可得出.

本题主要考查抛物线的方程与性质、向量的数量积、准线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根

与系数的关系、弦长公式、等边三角形的定义、点到直线的距离公式、线段的垂直平分线及对称等

基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力.

20.答案：解：(1)以2为原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐

标系，

则8(030),C(2,2,0),。(2,0,0),P(0,0,2次)，

・•.而=(-2,0,2圾，前=(2,-1,0)，

—>方、DPBC-4V5

cos<DPtBC>=南面=不闪=一下

••・异面直线夹角的取值范围为(0,90。],

.•屏面直线”与BC所成的角的余弦值笔.

(2)由(1)得,BC=(2,-1,0),PB=(0,3,-273).

设平面咏的法向量为D，贝唱:蒙二,噫二短：=0,

令y=2,贝反=1,z=V3>n=(1,2,V3),

••,yl(0,0,0),M(l,0,V3),AM=(1,0,V3)，

设4M与平面PBC所成的角为仇贝!JsinB=|cos<彳而，元>।=11篇曰J=I^=与

•••ee[0,90°],

AM与平面P8C所成的角的大小为45。.

⑶设的=4而,A6[0,1],则Q(0,3九2b(1—4)),

■■.AQ=(0,32,273(1-2))，

设平面Q4D的法向量为万=(a,b,c),则[沅,丝=°,gp[3^+2V3(1-A)c=0；

{jn-AD=0(2a=0

令c=遍，则a=0,b=2。J,记=(0,2([D,遮),

AA

■■PA1平面4BCD,.♦.平面ABCD的一个法向量为？=(0,0,1),

・••平面Q4D与平面4BCD所成的锐二面角的大小为60。，

cos60°=cos<m,»>==](2牛1卜⑦不

化简得5几2+82-4=0,解得4=|或一2(舍)，

而=(0,3尢2闻-Q)=呜卓)，

•••1而1=«/+(第)2=£，

故棱PB上存在点Q满足题意，且4Q的长为冷.

解析：(1)以4为原点建立空间直角坐标系，写出丽和品的坐标，由空间向量的夹角公式，即可得解;

(2)求得平面PBC的法向量元，设AM与平面PBC所成的角为。，由s讥6»=|cos〈俞，n>\,得解；

⑶设而=2而，A£[0,1],求得平面Q2D的法向量记，由P2,平面4BCD,知平面4BCD的一个法

向量为？=(0,0,1),再由cos6(F=cos(记，t>,可得关于2的方程，解之即可.

本题考查空间中角的求法，熟练掌握利用空间向量处理异面直线夹角、线面角和二面角的方法是解

题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

21.答案：解：(1)当k=0,b=3,p=—4时，3(cii+tin)-4=2(&+a?...+cin),①

用n+1去代九得，3((2I+即+力-4=2(%+a2…+厮+%1+力，②

(D—①得,3(an+1—=2an+1,an+i=3an,

在①中令n=l得，ax=1,则即力0,，管1=3,

二数列国竟是以首项为1,公比为3的等比数列，

3n-l

%+。2+。3+…+-•

(2)当k=1,b=0,p=0时，71(%+a九)=2(出+&・・・+Qn)，③

用几+1去代九得，(九+1)(%+a九+i)=2(电+如…+。九+。九+1)，④

④一③得，(九一l)a九+i—几a九十的=0,⑤

用几+1去代?1得，nan+2-(n+l)an+1+^=0,⑥

⑥一⑤得，九a九+2一2几。九+1+几。九=0，即时+2-％i+i=即+1一厮，

••・数列｛a九｝是等差数列.

a3=3,a9=15,••・公差d=3曹=an=2n-3.

(3)由(2)知数列是等差数列，的一的=2,an=ar+2(n-1).

又｛a九｝是“封闭数列”，得：对任意nEN*,必存在pEN*使%+2(九一1)+%+2(7H-1)=

%+2(p—1),

得=2(p-m-九+1),故的是偶数，

11111Q

又由已知，1z久io故石11

1pill11

一方面，当7；<ar<12时，Sn=n(n+%—1)>0,对任意九eN*,都有丁+'7+7'-1-->"■—>—>

11a\s2s3snSi

1

12,

11111111

另一方面，当的=2时，S=n(n+1),“=:一而:，则履+卫+三+…+丁=1一芯，

n[L11r_LO»九il-i-L

取n=2,则三1+1[=1-1?=2(1>1弓，不合题意.

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