专题06 三角形内接矩形模型（解析版）（北师大版）

专题06三角形内接矩形模型【基本模型】由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的、。结论：AH⊥GF，△AGF∽△ABC，【例题精讲】例1．（基本模型）一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC=120mm，高AD=80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？【答案】（1）证明见试题解析；（2）48；（3）2400．【详解】（1）∵四边形EGHF为矩形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；（2）设正方形零件的边长为x，在正方形EFHG中，EF∥BC,∴△AEF∽△ABC,∴即，解得：x=48，即：正方形零件的边长为48；（3）设长方形的长为x，宽为y，当长方形的长在BC时，，，，当x=60时，长方形的面积最大为2400．考点：1．相似三角形的应用；2．二次函数的应用．例2．（双矩形）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．（1）求正方形DEFG的边长；（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE=．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）过点作AM⊥BC于点M，由AB=AC=10，BC=16，根据等腰三角形的性质与勾股定理，即可求得AM的长，又由四边形DEFG是矩形，易证得△ADG∽△ABC，设MN=DE=x，由相似三角形对应高的比等于相似比，即可得方程，则可表示出DG的长，由正方形的性质可得DE=DG，可得结果；（2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：，即可得到结论．【详解】解：过点作AM⊥BC于点M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=BC=3，在Rt△ABM中，AM==4，∵四边形DEFG是矩形，∴DG∥EF，DE⊥BC，∴AN⊥DG，四边形EDMN是矩形，∴MN=DE，设MN=DE=x，∵DG∥EF，∴△ADG∽△ABC，∴DG：BC=AN：AM，∴，解得：DG=﹣x+6，∵四边形DEFG为正方形，∴DE=DG，即x=﹣x+6，解得x=，∴正方形DEFG的边长为；（2）由题意得：DN=2DE，由（1）知：，∴DE=．故答案为．【点睛】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质，相似三角形对应高的比等于相似比．例3．（培优综合）（1）如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：．（2）如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连结，分别交于，两点．①如图，若，直接写出的长；②如图，求证：．【答案】(1)见解析;(2)①；②见解析.【分析】（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出;（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长，根据等于高之比即可求出MN；②由，得．又为正方形，得出，同理，有，又因为∽，所以，所以．【详解】（1）证明：如图1在中，由于，∴∽，∴．同理在△ACQ和△AEP中，，∴．（2）①如图2,作AQ⊥BC于点Q．∵BC边上的高∵DE=DG=GF=EF=BG=CF∴DE：BC=1：3又∵DE∥BC，∴AD：AB=1：3，∵DE边上的高为,故答案为②证明：如图3∵，∴．又∵为正方形，∴，∴，∴．同理，在中有，∴，∴．又因为∽，∴，∴．∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，注意利用相似三角形的对应边成比例解决问题．例4．（与函数综合）在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t.⑴求tan∠FOB的值；⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴；⑵；⑶(6,0)，(1,0)，(3,0)【分析】（1）已知点A的坐标，可推出CD=OD=DE=EF=t，可求出tan∠FOB．（2）证明△ACF∽△AOB推出得，然后求出OB关于t的等量关系式，继而求出S△OAB的值．（3）依题意要使△BEF∽△OFE，则要或，即分BE=2t或两种情况解答．当BE=2t时，BO=4t，根据上述的线段比求出t值；当时也要细分两种情况：当B在E的右侧以及当B在E的左侧时OB的取值，利用线段比求出t值．【详解】解：(1)∵A(2,2)∴∠AOB=45°∴CD=OD=DE=EF=∴(2)∵CF∥OB，∴△ACF∽△AOB，∴，∴，∴(3)要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°∴只要或，即:或①当时,,∴∴(舍去)或，∴B(6,0)②当时,(ⅰ)当B在E的左侧时,,∴，∴(舍去)或，∴B(1,0)(ⅱ)当B在E的右侧时,,∴∴(舍去)或∴B(3,0)【点睛】本题考查的是正方形的性质，坐标与图形的性质以及相似三角形的判定等有关知识．【变式训练】1．如图，在中，，若，，的面积分别为，，，则的面积为．【答案】405【分析】由DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，得△ADE∽△EFG∽△GIC，根据相似三角形的性质得S△ADE：S△EFG=AE2：EG2=20：45，得AE：EG=2：3，同理得EG：GC=3：4，则AE：AC=2：9，再由△ADE∽△ABC，得S△ADE：S△ABC=AE2：AC2=4：81，即可得到△ABC的面积．【详解】解：∵DE∥FG∥BC，GI∥EF∥AB，∴△ADE∽△EFG∽△GIC，∴S△ADE：S△EFG=AE2：EG2=20：45，∴AE：EG=2：3，∴S△EFG：S△GIC=EG2：GC2=45：80，∴EG：GC=3：4，∴AE：AC=2：9，而△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC=AE2：AC2=4：81，∴S△ABC=×20=405cm2．故答案为：405．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线截其它两边所得的三角形与原三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是．【答案】【分析】过点A作AM⊥BC于M，由△ABC的BC边上的高是3可得AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质可得，即可求正方形的边长．【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M，∵△ABC的BC边上的高是3，∴AM=3，∵四边形DEFG是正方形，∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM，∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM，∴，．∴．∴GF=．故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键．3.如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边上，(1)若这个矩形是正方形，那么边长是多少？(2)若这个矩形的长是宽的2倍，则边长是多少？【答案】(1)；(2)【分析】（1）设正方形的边长为x，表示出的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．（2）设矩形的宽为x，长为2x，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式，然后进行计算即可得解．【详解】（1）解：设正方形的边长为，则，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，即，解得．答：若这个矩形是正方形，那么边长是．（2）解：设矩形的宽为x，长为2x，同理可得：，即解得，即长为【点睛】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了相似三角形的性质与判定求解，注意数形结合的运用．4．如图，正方形EFGH内接于△ABC，AD⊥BC于点D，交EH于点M，BC＝10cm，AD＝20cm．求正方形EFGH的边长．

【答案】【分析】由相似三角形的性质和正方形的性质列出比例式，代入数值求解即可．【详解】解：∵四边形EFGH是正方形∴EH∥BC∴△AEH∽△ABC∴，即，解得：EH=∴EFGH的边长为【点睛】本题考查相似三角形的应用，根据正方形的性质得到△AEH∽△ABC是解题关键．5．一块直角三角形木板的面积为，一条直角边为，怎样才能把它加工成一个面积最大的正方形桌面？甲、乙两位木匠的加工方法如图所示，请你用学过的知识说明哪位木匠的方法符合要求（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留）．【答案】乙木匠的加工方法符合要求．说明见解析．【分析】要求哪位木匠的加工方法符合要求，需要先求出两种加工方式中正方形的边长，边长最大就符合要求；由已知三角形的面积和一条直角边的边长可求出其余两边的边长，根据乙加工方案中的平行关系得到相似三角形，根据相似三角形对应变成比例，可求出正方形的边长；根据甲加工方案中，根据相似三角形的高的比等于边长比，可求出正方形的边长，对比两方案的边长即可知谁符合要求．【详解】解：作BH⊥AC于H，交DE于M，如图∵∴∵∴∴又∵DE∥AC∴∴，解得设正方形的边长为x米，如图乙∵DE∥AB∴∴，解得∵∴乙木匠的加工方法符合要求．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析、解决问题的能力，正确理解题意，建立数学模型，把实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．6．在直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（2，2），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF.连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF,设OD＝t.⑴求tan∠FOB的值；⑵用含t的代数式表示△OAB的面积S；⑶是否存在点C,使以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，若存在，请求出所有满足要求的B点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】⑴；⑵；⑶(6,0)，(1,0)，(3,0)【分析】（1）已知点A的坐标，可推出CD=OD=DE=EF=t，可求出tan∠FOB．（2）证明△ACF∽△AOB推出得，然后求出OB关于t的等量关系式，继而求出S△OAB的值．（3）依题意要使△BEF∽△OFE，则要或，即分BE=2t或两种情况解答．当BE=2t时，BO=4t，根据上述的线段比求出t值；当时也要细分两种情况：当B在E的右侧以及当B在E的左侧时OB的取值，利用线段比求出t值．【详解】解：(1)∵A(2,2)∴∠AOB=45°∴CD=OD=DE=EF=∴(2)∵CF∥OB，∴△ACF∽△AOB，∴∴∴(3)要使△BEF与△OFE相似,∵∠FEO=∠FEB=90°∴只要或即:或①当时,,∴∴(舍去)或∴B(6,0)②当时,(ⅰ)当B在E的左侧时,,∴，∴(舍去)或∴B(1,0)(ⅱ)当B在E的右侧时,,∴∴(舍去)或，∴B(3,0)【点睛】本题考查的是正方形的性质，坐标与图形的性质以及相似三角形的判定等有关知识．7．如图,在中，，，高，矩形的一边在边上，、分别在、上，交于点．(1)求证：；(2)设，当为何值时，矩形的面积最大?并求出最大面积；(3)当矩形的面积最大时，该矩形以每秒个单位的速度沿射线匀速向上运动(当矩形的边到达点时停止运动)，设运动时间为秒，矩形与重叠部分的面积为，求与的函数关系式，并写出的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）当x为时，矩形的面积有最大值5；（3）S=【分析】（1）由条件可得EF∥BC，根据相似三角形的判定即可求证；（2）由（1）可得，用x表示出HD，表示出矩形EFPQ的面积，利用二次函数可求得其最大值；（3）当0≤t＜2时，设矩形EFPQ与AB、AC的交点分别为M、N、R、S，可利用平行表示出MN的长，可表示出△EMS和△NFR的面积，进一步可表示出重叠部分的面积；当2≤t≤4时，重叠部分为△P′Q′A，利用平行分别用x表示出其底和高，可表示出面积．【详解】解：（1）∵四边形EFPQ为矩形，∴EF∥BC，∴；（2）∵∴，即，∴HD=4-，∴S矩形EFPQ=EF•FQ=EF•HD=x（4-）=-x2+4x，该函数为开口向下的二次函数，故当x=时有最大值，最大值为5，即当x为时，矩形的面积有最大值5；（3）由（2）可知，当矩形面积取最大值时，EF=，FQ=2，①当0≤t≤2时，如图1，设矩形与AB、AC分别交于点M、N、R、S，与AD交于J、L，连接RS，交AD于K，由题意可知LD=JK=t，则AJ=AD-LD-JL=4-t-2=2-t，又∵RS=，∴R、S为AB、AC的中点，∴AK=AD=2，ES=FR=JK=t，又∵MN∥RS，∴，即，∴MN=-t，∴EM+FN=EF-MN=-（-t）=t，∴S△EMS+S△FNR=ES（EM+FN）=t•t=，∴S=S矩形EFPQ-（S△EMS+S△FNR）=5-；②当2＜t≤4时，如图2，设矩形与AB、AC、AD分别交于点Q′、P′、D′，根据题意D′D=t，则AD′=4-t，∵PQ∥BC，∴，即，解得P′Q′=5-t，∴S=S△AP′Q′=P′Q′•AD′=（4-t）（5-t）=-5t+10；综上可知S=．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质及函数的性质，在（2）中用x表示出矩形的面积是解题的关键，在（3）中确定出重叠部分的图形是解题的关键．8．如图1，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，把矩形沿直线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，连接DE．（1）求证：△DEC≌△EDA；（2）求DF的值；（3）如图2，若P为线段EC上一动点，过点P作△AEC的内接矩形，使其顶点Q落在线段AE上，顶点M、N落在线段AC上，当线段PE的长为何值时，矩形PQMN的面积最大？并求出其最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．【分析】（1）根据图形的折叠可得：AB=AE,BC=CE,由矩形的性质可得：AD=BC,CD=AB,等量代换可得AD=CE,AE=CD,又DE=DE,所以用SSS可证明△DEC≌△EDA；（2）设DF=x，根据条件可证AF=CF，在Rt△ADF中，利用勾股定理可求出x的值；（3）设PE=x（0＜x＜3），矩形PQMN的面积为S，首先根据勾股定理求出AC的长，然后利用△EPQ∽△ECA的性质，用x表示出PQ的长，过E作EG⊥AC于G，利用Rt△AEC的面积求出EG的长，然后利用△CPN∽△CEG的性质，用x表示出PN的长，从而得出S与x的函数关系式，最后利用二次函数的性质可确定x的值以及S的最大值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形∴AD=BC，AB=CD∵折叠∴BC=CE，AB=AE∴AD=CE，DC=EA在与中∴．（2）解：∵矩形ABCD中，，∴∵折叠，∴∴∴AF=CF，设DF=x，则AF=CF=4﹣x，在中，解得；，即．（3）如图2，由矩形PQMN的性质得，∴△EPQ∽△ECA∴∵矩形ABCD中，AB=4，AD=3∴设PE=x（0＜x＜3），则，即过E作于G，则，∴△CPN∽△CEG∴又∵在Rt△AEC中，，解得∴，即设矩形PQMN的面积为S∵∴当时，即PE=时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为3．【点睛】本题主要考查矩形和折叠的性质，