高三高考数学复习练习51平面向量的概念及线性运算

511．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是()A．a＋b＝0B．a＝bC．a与b共线反向D．存在正实数λ，使a＝λb【解析】因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则a与b共线同向，故D正确．【答案】D2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，但a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则向量a＋b＋c等于()A．aB．bC．c D．0【解析】依题意，设a＋b＝mc，b＋c＝na，则有(a＋b)－(b＋c)＝mc－na，即a－c＝mc－na.又a与c不共线，于是有m＝－1，n＝－1，a＋b＝－c，a＋b＋c＝0，选D.【答案】D3．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(BA,\s\up6(→))＝a，eq\o(BD,\s\up6(→))＝b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c，则下列等式成立的是()A．c＝2b－a B．c＝2a－bC．c＝eq\f(3a,2)－eq\f(b,2) D．c＝eq\f(3b,2)－eq\f(a,2)【解析】因为在△ABC中，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以c＝eq\f(3,2)b－eq\f(1,2)a.【答案】D4．已知平面内一点P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上 B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上 D．点P在△ABC外部【解析】由eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))，即eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(AP,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→))＝2eq\o(AP,\s\up6(→))，所以点P在线段AC上．【答案】C5．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的()A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】方法一由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.方法二∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，当〈m，n〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，m，n不共线．故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.【答案】A6．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若eq\o(EF,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AD,\s\up6(→))(m，n∈R)，则eq\f(m,n)的值为()A．－2 B．－eq\f(1,2)C．2 D.eq\f(1,2)【解析】设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝ma＋nb，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a，由向量eq\o(EF,\s\up6(→))与eq\o(BE,\s\up6(→))共线可知存在非零实数λ，使得eq\o(EF,\s\up6(→))＝λeq\o(BE,\s\up6(→))，即ma＋nb＝eq\f(1,2)λb－λa，又a与b不共线，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－λ，,n＝\f(1,2)λ，))消去λ得eq\f(m,n)＝－2.故选A.【答案】A7．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________.【解析】∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝μ，,1＝2μ，))解得λ＝μ＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)8．(2018·滨州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，若起点和终点均在格点的向量a，b，c满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________．【解析】如图，取单位向量i，j，则a＝i＋2j，b＝2i－j，c＝3i＋4j.∴c＝xa＋yb＝x(i＋2j)＋y(2i－j)＝(x＋2y)i＋(2x－y)j，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝3，,2x－y＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(11,5)，,y＝\f(2,5)，))∴x＋y＝eq\f(13,5).【答案】eq\f(13,5)9．设a，b不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是________．【解析】∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝a－2b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－b.又∵A，B，D三点共线，∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线．设eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，∴2a＋pb＝λ(2a－b)．∵a，b不共线，∴2＝2λ，p＝－λ，∴λ＝1，p＝－1.【答案】－110．已知△ABC和点M满足eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0.若存在实数m，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝meq\o(AM,\s\up6(→))成立，则m＝________．【解析】∵eq\o(MA,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(MC,\s\up6(→))＝0，∴M为△ABC的重心．如图所示，连接AM并延长交BC于点D，则D为BC的中点．∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→)).又eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，即eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(AM,\s\up6(→))，∴m＝3.【答案】311．如图，在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(AG,\s\up6(→)).【解析】eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.12．设a，b是不共线的两个非零向量．(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a－3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a－kb，且A，C，D三点共线，求k的值．【解析】(1)证明由已知得，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝3a＋b－2a＋b＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝a－3b－3a－b＝－2a－4b，故eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点B，所以A，B，C三点共线．(2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq