初中数学 专项复习：“平行线”涉及的27个考点梳理 含各类角度

初中数学平行线（证明）模块涉及的27个考点梳理

考点1真假命题的判断

如果命题的条件成立，那么结论也成立.像这样的命题叫做真命题，命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，

也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题。

例题1下列各命题中，假命题是（）

A,有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等

B.有两边及第三边上高对应相等的两个三角形全等

C.有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等

D.有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等

【分析】根据全等三角形的判定进行判断即可.

【解析】A、有两边及其中一边上的中线对应相等两个三角形全等，可利用证两步全等方法求得，是真命题；

8、高有可能在内部，也有可能在外部，是不确定的，不符合全等的条件，原命题是假命题；

C、有两角及其中一角的平分线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；

。、有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等，可利用证两步全等的方法求得，是真命题；

选艮

【小结】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是全等三角形的判定.

变式1下列四个命题：①相等的两个角是对顶角：②同角的补角相等；③若%+PB=A8,则点P必在线段AB

上；④两个形状相同的三角形是全等三角形.其中真命题的个数是（）

A.18.2C.3D.4

【分析】根据对顶角、补角的概念、线段的概念、全等三角形的概念判断即可.

【解析】①相等的两个角不一定是对顶角，本小题说法是假命题；

②同角的补角相等，本小题说法是真命题；

（3）^PA+PB=AB,则点P必在线段AB上，本小题说法是真命题；

④两个形状相同、大小相等的三角形是全等三角形，本小题说法是假命题；

选B.

【小结】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要

熟悉课本中的性质定理.

-1-

变式2下列命题中真命题的个数有（）

（1）经过一点有且只有一条直线与这条直线平行

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相垂直

（4）过直线，〃外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段就是点P到直线m的距离

（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行

A.1个&2个C.3个£＞.4个

【分析】根据平行公理、垂直的概念、点到直线的距离的概念判断即可.

【解析】（1）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，本小题说法是假命题；

（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本小题说法是假命题；

（3）两条平行线被第三条直线所截，内错角的平分线互相平行，本小题说法是假命题；

（4）过直线m外一点P向这条直线作垂线段，这条垂线段的长度就是点P到直线m的距离，本小题说法是假命题;

（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，本小题说法是真命题；

选A.

【小结】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要

熟悉课本中的性质定理.

变式3下列命题：①如果。＞儿那么⑷＞以：②如果反2,那么③同旁内角互补；④若Na与NB

互余，NB与/丫互余，则/a与Ny互余.真命题的个数为（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根据绝对值、不等式的性质、平行线的性质、同角的余角相等分别对各小题进行判断后即可求解.

【解析】①当。=1，6=-2时，\a\=1,\b\=2,同〈例，故此命题假命题；

②如果〃2＞加2,那么真命题；

③同旁内角互补；假命题；

④若/a与N0互余，N0与Ny互余，则Na与/丫相等，故此命题是假命题：

真命题的个数为1个；

选艮

【小结】本题考查了命题与定理，熟记概念与性质是解题的关键.

-2-

考点2举反例

命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论

证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可。

例题2对假命题“若。>匕，则»>廿”举反例，正确的反例是（）

A.a=-1,b=0B.a=-1,b=-1C.a=2,h=\D,a=-1,b--2

【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题.

【解析】用来证明命题“若a>b,则廿是假命题的反例可以是：〃=_],b=-2,

因为-1>-2,但是（-1）■<（-2），所以。符合题意

【小结】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学

中常用的一种方法.

变式4举反例说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，下面错误的是（）

A.设一个角是45°,它的余角是45°,但45°=45°

B.设一个角是60°,它的余角是30°,但30°<60

C.设一个角是30°,它的余角是60°,但60°>30°

D.设一个角是10°,它的余角是80°,但80°>100

【解析】A、设一个角是45°,它的余角是45°,但45°=45°,能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命

题，故正确；

B、设一个角是60。，它的余角是30°,但30。<60°,不能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故

错误；

C、设一个角是30°,它的余角是60°,但60°>30°,能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故正

确；

D、设一个角是10°,它的余角是80°,但80°>10°,能说明“一个锐角的余角小于这个角”是假命题，故正

确；

选8

【小结】此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要

熟悉课本中的性质定理.

变式5举反例证明“互为补角的两个角都是直角”为假命题.

【分析】熟记反证法的步骤，然后进行判断即可.

【解析】•••两个不相等的角互为补角，，这两个角一个角大于90°,一个角小于90°,

即一个锐角，一个钝角，故互为补角的两个角都是直角，是假命题；

【小结】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤.

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变式6阅读下面材料：

判断一个命题是假命题，只要举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.

例如要判断命题“相等的角是对顶角”是假命题，可以举出如下反例：

如图，0C是/A02的平分线，/1=/2,但它们不是对顶角.

请你举出一个反例说明命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”是假命题.（要求：画出相应的图

形，并用文字语言或符号语言表述所举反例）

【分析】分别列举满足条件的题设，但不满足题设的结论即可.

如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.

【小结】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设

是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式.有些命题的正确性是用

推理证实的，这样的真命题叫做定理.要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题,

只需举出一个反例即可.

考点3推理与论证

例题3妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要

用1分钟，放茶叶要用2分钟，给同学打电话要用1分钟.为使客人早点喝上茶，小明最快可在几分钟内完成这些

工作？（）

4.19分钟B.18分钟C.17分钟D.16分钟

【分析】利用已知得出烧水时间里完成洗茶壶、洗茶杯、再放茶叶、给同学打电话最节省时间进而得答案.

【解析】小明应先洗开水壶用1分钟，再烧开水用15分钟，

在烧水期间，洗茶壶用1分钟，洗茶杯用1分钟，放茶叶用2分钟，给同学打电话用1分钟，一共用5分钟，不用

算入总时间，故为使客人早点喝上茶，小明最快可在16分钟内完成这些工作.选D

【小结】此题主要考查了推理与论证，合理安排时间是解题关键.

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变式7某班对道德与法治，历史，地理三门程的选考情况进行调研，数据如下：其中道德与法治，历史两门课程

都选了的有3人，历史，地理两门课程都选了的有4人，该班至多有多少学生()

A.41B.42C.43D.44

科目道德与法治历史地理

选考人数(人)191318

【分析】根据题意得，只选道德与法治有[19-3-y]=(16-y)人，只选历史的有[13-3-(4-x)]=(6+x)人,

只选地理的有(18-4-y)=(14-y)人，即可得出结论.

【解析】如图，设三门课都选的有x人，同时选择地理和道德与法治的有y人，

根据题意得，只选道德与法治有[19-3-y]=(16-)，)人，只选历史的有[13-3-(4-x)]=(6+x)人，

只选地理的有(18-4-y)=(14-y)人，即：总人数为16-y+y+14-y+4-x+6+x+3=43-y

当同时选择地理和道德与法治的有0人时，总人数最多，最多为43人，选C.

【小结】此题是推理论证的题目，主要考查了学生的推理能力，表示出只选一种科目的人数是解本题关键.

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变式8甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色.在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白

色.”乙说：“丙的车是红色的.”丙说：“丁的车不是蓝色的.”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红

色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是（）

A.甲的车是白色的，乙的车是银色的B.乙的车是蓝色的，丙的车是红色的

C.丙的车是白色的，丁的车是蓝色的D.丁的车是银色的，甲的车是红色的

【分析】先判断出乙和丙的车不是红色，进而判断出甲的车是红色，再根据丙的说法不是实话，判断出丁的车是蓝

色，再根据甲的说法判断出丙和乙的车的颜色.

【解析】•.•丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且只有这个人说的是实话.”如果丁说的是实话,

假设乙的车是红色，，乙的说法是实话，，丙的车也是红色，和乙的车是红色矛盾，

假设丙的车是红色，丙的说法是实话，而乙说：“丙的车是红色的•.乙的说法是实话，

二有两人说的是实话，与只有一个人是说法是实话矛盾，

.♦.只有甲的车是红色，.•.甲的说法是实话，.•.丙的说法不是实话，•.•丙说：“丁的车不是蓝色的.”

二丁的车是蓝色，，乙和丙的车一个是白色，一个是银色，

；甲说：“乙的车不是白色.”且甲的说法是实话，.•.丙的车是白色，乙的车是银色，

即：甲的车是红色，乙的车是银色，丙的车是白色，丁的车是蓝色，

选C.

【小结】此题是推理与论证题目，解决此类题目先假设某个说法正确，然后根据题意进行分析推理，看是否有矛盾,

进而得出结论，

变式9A,B,C,。四个队赛球，比赛之前，甲和乙两人猜测比赛的成绩次序：甲：从第一名开始，名次顺序是

A,D,C,B；乙：从第一名开始，名次顺序是A,C,B,D,比赛结果，两人都猜对了一个队的名次，已知第一

名是B队，请写出四个队的名次顺序是（）

A.B,A,C,DB.B,C,A,DC.D,B,4,CD.B,A,D,C

【分析】两人都猜对了一个队的名次，已知两队猜的第一名是错误的，因此甲猜的第四名和乙猜的三名也是错误

的.因此甲猜的第三项和乙猜的第四项是正确的，即这四个队的名次顺序为8、A、C、D.

【解析】由于甲、乙两队都猜对了一个队的名次，且第一名是8队.那么甲、乙的猜测情况可表示为：甲：错、错、

对、错；乙：错、错、错、对.

因此结合两个人的猜测情况，可得出正确的名次顺序为8、A、C、D.

选A.

【小结】解决本题的关键，是要综合考虑两个人的猜测情况，以免造成多解和错解.

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考点4平行线公理及其推论

平行线公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和己知直线平行。

例题4下列说法中，正确的是（）

A.两条不相交的直线叫平行线B.一条直线的平行线有且只有一条

C.若直线a//c,则6〃cD.两条直线不相交就平行

【分析】根据平行线的定义判断A；根据平行线的性质判断8；根据平行公理的推论判断C；

根据两条直线的位置关系判断D.

【解析】A、在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，故本选项错误；

8、一条直线的平行线有无数条，故本选项错误；

C、若直线a//c,则6〃c,满足平行公理的推论，故本选项正确；

。、在同一平面内两条直线不相交就平行，故本选项错误.选C.

【小结】本题考查平行线的定义、性质及平行公理，熟练掌握公理和概念是解决本题的关键.

变式10已知在同一平面内，有三条直线a,b,c,若a〃6,b//c,则直线a与直线c之间的位置关系是（）

A.相交B.平行C.垂直D.平行或相交

【分析】根据平行公理的推论直接判断直线c•与直线a的位置关系即可.

【解析】；在同一平面内，直线“〃江直线b〃c,

二直线c与直线〃的位置关系是：a//c,选艮

【小结】此题主要考查了平行公理的推论，熟练记忆推论内容是解题关键.

变式11下列说法正确的是（）

A.a,b,c是直线，且a〃b,b//c,则a〃c

B.a,b,c是直线，且a_Lb,bl.c,贝！Ia_Lc

C.a,h,c是直线，且a〃力，bVc,贝（Ia//c

D.a,b,c是直线，且b//c,则a_Lc

【分析】根据“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”和“在同一平面

内垂直于同一直线的两条直线互相平行”解答即可.

【解析】A、正确，根据“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.

3、错误，因为“在同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”.

C、错误，a,b,c是直线，a//b,b_Lc则a_Lc；

D、错误，b,c是直线，且“〃6,b//c,则。〃c.

选A.

【小结】此题考查的是平行线的判定和性质定理，比较简单.

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变式12下列语句：

①不相交的两条直线叫平行线

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行

③如果线段AB和线段CD不相交，那么直线AB和直线CD平行

④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行

⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行

正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】直接利用平行公理以及其推论分析得出答案.

【解析】①不相交的两条直线叫平行线，必须是在同一平面内，故错误；

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，正确

③如果线段AB和线段CO不相交，那么直线AB和直线CD平行，错误；

④如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行，正确；

⑤过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误，

选民

【小结】此题主要考查了平行公理及推论，正确把握定义是解题关键.

考点5完善证明过程

例题5完成下面推理：如图，已知：DE//BC,DF、BE分别平分NAOE、ZABC,求证：NFDENDEB

证明：8c(已知)

ZADE=Z()

；DF、BE分别平分NAOE、/ABC,(已知)

/.NADF=

ABE=*()

ZADF=NABE

：.DF//()

/.NFDE=NDEB()

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【分析】根据平行线的性质得出/A£>E=NA8C,根据角平分线定义得出NAOF=；/AOE,ZABE=^ZABC,推

出NAOF=NABE,根据平行线的判定得出QF〃BE即可.

【解析】•:DE//BC（已知），

...N4OE=NABC（两直线平行，同位角相等），

•：DF、BE分另I］平分AOE、ZABC,

.,.NAQF=,/A£>E（角平分线定义），

ZABE=^ZABC（角平分线定义），

ZADF=NABE,

二。尸〃BE（同位角相等，两直线平行），

（两直线平行，内错角相等），

【小结】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能熟记平行线的性质和判定定理是解此题的关键.平行线的判定

是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系.

变式13补全证明过程：（括号内填写理由）

一条直线分别与直线BE、直线CE、直线8/、直线C尸相交于A、G、H、D,如果N1=N2,ZA=ZD,求证:

ZB=ZC.

证明：VZ1=Z2(),N1=N3,()

/2=Z3,()

/.CE//BF,()

.,.ZC=Z4,()

又V/月=ZD,()

：.AB//,()

NB=Z4,()

NB=ZC.()

【分析】根据平行线的性质和判定解答即可.

【证明】VZ1=Z2（已知），Z1=Z3（对顶角相等），.../2=/3（等量代换），

...CE〃BF（同位角相等，两直线平行），，/C=/4（两直线平行，同位角相等），

又:：乙A=LD（已知），.•.4B〃CQ（内错角相等，两直线平行），

AZB=Z4（两直线平行，内错角相等），（等量代换）.

故答案为：对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；已知；CD；内错角相

等，两直线平行；两直线平行，内错角相等.

【小结】此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理.

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变式14几何说理填空：如图，F是8c上一点，FGLAC于点G,H是AB上一点，HELAC于点E,N1=N2,

求证：DE//BC.

证明：连接EF

'：FG±AC,HELAC,

：.ZFGC^ZHEC=90°().

//().

.•.N3=N().

又=

.,.Z1+Z3=Z2+Z4.

即.

【分析】要证明OE〃尸C，可证明/£）£：/=/EFC,由于/1=/2,可证明/3=/4,需证明EH〃尸G,可通过垂

直的性质得到.

【证明】连接E尸.,FG_LAC,HE1AC,:.NFGC=/HEC=9Q°（垂线的性质）.

...FG〃HE（同位角相等，两直线平行）.；./3=/4（两直线平行，内错角相等）.又=

.,.Z1+Z3=Z2+Z4,即/0后尸=/《尸0。£〃8（7（内错角相等，两直线平行）.

【小结】本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定并学会分析是解决本题的关键.

变式15如图：已知：ZADE+ZBCF=ISO0,8E平分NA8C交8的延长线于点E,AF平分/8AQ交。C的延

长线于点尸，若/ABC=2/E,则/£+/尸=90°,完成下列推理过程.

证明:

•.,/AOE+NBCF=180°,AADE+ZADF=\W°:.NADF=NBCF()

：.AD//BC()平分/ABC；./ABC=2/A8E()

又：NA8C=2/E，ZABE^ZE：.AB//EF()

'：AD//BC：.ZBAD+ZABC=\S0°()

「BE平分/ABC,AF平分ZBAF=^ZBAD

：.NABE+NBAF=|ZABC+|ZBAD=1xl80°=90°

"：AB//EF()：.ZBAF=ZF()

,/ZABE=ZE.\NE+NF=90°()

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【分析】根据平行线的性质和判定，同角的补角相等以及等量代换，结合图形直观得出答案.

【证明】VZAD£+ZBCF=180°,NAZ）E+/A£）F=180°

AZADF=ZBCF（同角的补角相等）

.•.40〃3c（同位角相等，两直线平行）

平分/ABC

AZABC=2ZABE（角平分线定义）

又；/ABC=2NE

NABE=NE

...AB〃E/（内错角相等，两直线平行）

'."AD//BC

：.ZBAD+ZABC=\SO,"（两直线平行，同旁内角互补）

8E平分/ABC,AE平分NBA。

：.ZABE=^ZABC,ZBAF=\ZBAD

22

：.NABE+NBAF=^ZABC+^ZBAD=1xl80°=90。

•：AB//EF（己证）

.../BA尸=N尸（两直线平行，内错角相等）

NABE=ZE

：.ZE+ZF=90°（等量代换）

【小结】本题考查平行线的性质和判定，掌握平行线的判定方法和性质是正确解答的前提.

-11-

考点6同位角'内错角、同旁内角的判断

直线AB,CD被第三条直线EF所截。这三条直线形成了两个顶点，围绕两个顶点的8个角之间有三种特殊关系：

同位角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,8的同侧，在第三条直线EF的同旁（即位置相同），这样的

一对角叫做同位角；

内错角：没有公共顶点的两个角，它们在直线A3,8之间，在第三条直线EF的两旁（即位置交错），这样的一

对角叫做内错角；

同旁内角：没有公共顶点的两个角，它们在直线AB,CQ之间，在第三条直线EF的同旁，这样的一对角叫做同旁

内角。

例题6如图，下列说法中错误的是（）

A./3和N5是同位角B./4和/5是同旁内角

C.N2和N4是对顶角。.N2和N5是内错角

【解析】A、N3和N5是同位角，故本选项不符合题意.

B、/4和N5是同旁内角，故本选项不符合题意.

C、N2和N4是对顶角，故本选项不符合题意.

D、N2和N5不是内错角，故本选项符合题意.

选。.

【小结】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角.解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手.

变式16同学们可仿照图用双手表示“三线八角”图形（两大拇指代表被截直线，食指代表截线）.下面三幅图依

次表示（）

A.同位角、同旁内角、内错角B.同位角、内错角、同旁内角

C.同位角、对顶角、同旁内角。.同位角、内错角、对顶角

【分析】两条线“、b被第三条直线c所截，在截线的同旁，被截两直线的同一方，把这种位置关系的角称为同位

角；

两个角分别在截线异侧，且夹在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角；

两个角都在截线同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系一对角互为同旁内角.据此作答即可.

【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的概念，

可知第一个图是同位角，第二个图是内错角，第三个图是同旁内角，选B.

【小结】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角，并能区别它们.

-12-

变式17如图，同位角共有（）对.

5C.8D.7

【分析】根据同位角的概念解答即可.

【解析】同位角有5对，/4与N7,N3与N8,N1与N7,/5与/6,/2与/9,N1与N3,选4.

【小结】此题考查同位角，关键是根据同位角解答.

变式18如图，下列结论正确的是（）

A.N4和/5是同旁内角&N3和N2是对顶角

C./3和/5是内错角D./I和/5是同位角

【分析】根据同旁内角，对顶角，内错角以及同位角的定义解答.

【解析】A、N4和/5是邻补角，不是同旁内角，故本选项错误.

B、/3和（N1+N2）是对顶角，故本选项错误.

C、N3和N5是内错角，故本选项正确.

D、/I和（/1+/2）是同位角，故本选项错误.选C.

【小结】考查了同位角、内错角、同旁内角以及对顶角的定义，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入

手.对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达

要注意理解它们所包含的意义.

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考点7利用平行线的性质求角

两条直线平行则同位角、内错角相等，同旁内角互补.

例题7如图所示，将含有30°角的三角板（N4=30°）的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若/

【分析】延长AB交CP于E,求出/ABC,根据三角形外角性质求出NAEC,根据平行线性质得出N2=/AEC,

代入求出即可.

【解析】如图，延长48交C尸于E,•.•/ACB=90°,NA=30°,

：.ZABC=60°,VZ1=38°,AZAEC=AABC-Z1=22°,

'JGH//EF,.../2=/AEC=22°,选B.

【小结】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的运用，主要考查学生的推理能力.解题

的关键是掌握两直线平行，内错角相等.

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变式19如图，把三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若/1=32°,则N2的度数为（）

4.68°B.58°C.48°D.32°

【分析】因直尺和三角板得〃尸E,NBAC=90°；再由AQ〃FE得N2=N3；平角构建N1+NBAC+N3=180°

得Nl+N3=90°,已知Nl=32°可求出/3=58°,即N2=58°.

【解析】如图所示：'：AD//FE,；.N2=N3,又•.♦Nl+N8AC+N3=180°,N84C=90°,，N1+N3=9O°,

又：/1=32°,/.Z3=58°,二/2=58°,选B.

变式20如图，某江段江水流向经过8、C、。三点拐弯后与原来方向相同，若/A8C=125°,4BCD=75。，则

/C£»E的度数为（）

BAB

A.20°B.25°C.35°D.50°

【分析】由题意可得过点C作C/〃48,则C/〃。E,由平行线的性质可得/BCF+/A8C=180°,所

以能求出N8CF,继而求出/OC凡再由平行线的性质，即可得出NCOE的度数.

【解析】由题意得，AB//DE,如图，过点C作CF〃A8,则CF〃QE,.,.NBCF+NA8C=180°,

/.ZBCF=180°-125°=55°,：.ZDCF=15a-55°=20°,：./CQE=/£>b=20°.选A.

变式21将4力与BC两边平行的纸条ABC。按如图所示折叠，则N1的度数为（）

A.72°B.45°C.56°D.60°

【分析】根据折叠的性质得出/CEF=62°,利用平行线的性质进行解答即可.

【解析】：一张长方形纸条ABCD折叠，.•./CEF=NFEC=62°,；AO〃BC,

.,.Zl=ZCFB=180°-62°-62°=56°,选C.

【小结】本题考查了平行线的性质、翻折变换（折叠问题）.观察图形，掌握平行线的性质是解题关键.

-15-

考点8三角形内角和与平行线

例题8如图，将一副三角板如图放置，若AE〃BC,则NBA£>=()

【分析】利用平行线的性质求出NAZJB,再利用三角形内角和定理即可解决问题

【解析】,JAE//BC,ZADB=ZDAE=45°,VZB=60°,

：.ZBAD=\SO°-ZB-ZA£>B=180°-60--45°=75°,选C.

变式22一副三角板如图放置，点。在CB的延长线上，EF〃CO,NC=NEDF=90：ZA=45°,ZEFD=30°,

【解析】由题意可得：NEFD=30°,ZABC^45°,"：EF//CD,：.ZBFE=ZABC^45°,

.\ZDFB=45°-30°=15°,选A.

变式23如图，△48C是一块直角三角板，ZC=90°,NA=30°,现将三角板叠放在一把直尺上，AC与直尺的

两边分别交于点。、E,AB与直尺的两边分别交于点尸、G,若Nl=40°,则N2的度数为()

【分析】依据平行线的性质，即可得到Nl=NQFG=40°,再根据三角形外角性质，即可得到/2的度数.

【解析】,JDF//EG,.,.Nl=/£»FG=40°,又：/4=30°,：.Z2=ZA+ZDFG=30°+40°=70°,选D

【小结】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等.

-16-

变式24如图，直线m〃mZiABC的顶点3,C分别在直线〃，加上，且/ACB=90°,若/1=30°,则N2的度

数为()

AA

D.110°

【分析】先根据平行线的性质求出/3的度数，再由/ACB=90°得出/4的度数，根据补角的定义即可得出结论.

【解析】如图：•.加〃%/1=30°,，/3=/1=30°.：/ACB=90°,

：.Z4=ZACH-Z3=90--30°=60°,.*.Z2=180t>-Z4=180°-60°=120°.选C.

【小结】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行,内错角相等.

考点9三角形内角和与角平分线

例题9如图，在△4BC中，BO,CO分别平分/A8C和NAC8.

(I)若NA=60°,则N80C的度数为；

(II)若/A=100°,则/3OC的度数:

(III)若/A=a,求/BOC的度数，并说明理由.

【分析】(I)由三角形内角和定理以及角平分线的定义得出NCBO+NBCO=」(180°-NA),再由三角形内

2

角和定理即可得出/BOC的度数.

(H)和(III)方法同(I).

【解析】(I)CO分别平分和/ACB,ZA=60°,

：.ZCBO+ZBCO=1.(180°-ZA)=A(180°-60°)=60°,

22

AZBOC=180°-(ZCBO+ZBCO)=180°-60°=120°；故答案为：120°；

(II)同理，若/A=100°,则/BOC=180°-A(180°-NA)=90°+1/4=140°,

22

故答案为140°；

(III)同理，若NA=a,则NBOC=180°-A(180°-NA)=90°+An.

22

【小结】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义；熟练掌握三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决

问题的关键.

-17-

变式25如图，AO是△4BC的高线，AE是角平分线，若/BAC：ZB：NC=6：3：1,求ND4E的度数.

【分析】根据三角形的内角和列方程即可得到结论.

【解析】VABAC-.ZB：ZC=6：3：1,.,.设NBAC=6a,NB=3a,NC=a,

VZBAC+Zfi+ZC=180°,，6a+3a+a=180°,，a=18°,AZBAC=108°,NB=54°,/C=18°,

是△ABC的高线，...NA£>B=90°,.,.ZBAD=180o-90°-54°=36°,是角平分线，

AZBAE=l.x108°=54°,AZDAE^ZBAE-ZBAD=54°-36°=18°.

【小结】本题主要考查了三角形高线、角平分线以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握三角形的内角和定理是解

题的关键.

变式26如图，AE、BF分别为aABC的角平分线，它们相交于点O.

(1)试说明N8OA=90°+1ZC；

2

(2)AO是△A8C的高，/8。4=115°,ZBAC=60°时，求/D4E的度数.

：.ZEAB=1ZBAC,加8=,/研(？二/£48+/或8=看“庆，+/畋)=/(180°-/0=90。

乙乙乙乙乙

AZA(?B=180°-(90。蒋NC)=90°卷

(2)VZBAC=60°,AE平分NBAC,；.NCAE=//BAC=30°，V115°,/BOA=90°卷/0

AZC=50°,;4。是高，AZADC=90°,：.ZCAD=90°-50°=40°,

/.ZDAE^ZCAD-ZCA£=40°-30°=10°.

【小结】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的高线与角平分线的性质，熟练掌握各性质定理是解题的关键.

-18-

变式27如图1,已知线段AB、C£＞相交于点0,连接AC、BD.

(1)求证：NA+/C=/B+NO；

(2)如图2,NC4B与NBO的平分线AP、QP相交于点尸，求证：NB+NC=2NP.

【证明】(1)在△AOC中，ZA+ZC=1800-ZAOC,在△BOD中，ZB+ZD=180°-ZBOD,

"：ZAOC^ZBOD,：.ZA+ZC^ZB+ZD；

(2)在AP、。相交线中，有NC4P+NC=N尸+NCOP,在AB、OP相交线中，有NB+NBDP=NP+NBAP,

：.ZB+ZC+ZCAP+ZBDP^2ZP+ZCDP+ABAP,'JAP.0P分别平分/CAB、ZBDC,

/CAP=NBAP,NBDP=/CDP,NB+/C=2/P.

【小结】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°.也考查了角平分线的定义.

考点10三角形外角性质与平行线

【解析】,JAB//CD,:./B=NEFC,:.NE=NEFC-ND=NB-ND=2ND-ND=/D,

VZE=22°,/.ZD=22",选A.

-19-

变式28已知一块含30°角的直角三角板如图所示放置，/2=32°,那么N1等于(）

D.16°

【分析】依据对顶角以及三角形内角和定理，即可得到/4的度数，再根据平行线的性质以及三角形外角性质，即

可得出/I的度数.

【解析】VZC=90°,N2=/CFE=32°,，N4=58°,二/3=/4=58°,是△AQG的外角，

.••Z1=Z3-ZA=58°-30°=28°,选A.

【小结】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质的运用，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等.

变式29如图，MAE//DF,若NABC=120°,ZDCB=95°,则N1+N2的度数为（）

A.45°B.55°C.35°D.不能确定

【分析】利用平行线的性质以及三角形的外角的性质解决问题即可.

【解析】'.'AE//DF,.\Z3+Z4=180°,VZABC=Z1+Z3=120°,ZDCB=Z2+Z4=95°,

.*.Zl+Z3+Z2+Z4=120°+95°,；.Nl+/2=215°-180°=35°,选C.

变式30如图，已知直线EC〃8O,直线8分别与EC,相交于C,。两点.在同一平面内，把一块含30°角

的直角三角尺AB。(乙408=30°,NABO=90°)按如图所示位置摆放，且4。平分NBAC,则NECA=()

【解析】如图，延长8A交EC于H..•.NC/M+/ABO=180°,：乙480=90°,

/.ZA/7C=90°,平分NBAC,：.ZBAC=2ZBAD=120°,VZBAC=ZAHC+ZECA,

：.ZECA=30Q,

选D

-20-

考点11三角形的外角性质与角平分线

例题11如图，AC平分/QCE,且与BE的延长线交于点A.

（1）如果乙4=35°,ZB=30°,则NBEC=.（直接在横线上填写度数）

（2）小明经过改变NA,NB的度数进行多次探究，得出/力、NB、NBEC三个角之间存在固定的数量关系，请你

用一个等式表示出这个关系，并进行证明.

【解析】(1)；NA=35°,ZB=30°,：.ZACD=-ZA+ZB^65°,又平分NOCE,

：.ZACE=ZACD=65°,AZBEC=ZA+ZACE=35°+65°=100°,故答案为：100°；

(2)关系式为/8EC=2NA+/B.理由：：AC平分NOCE,ZACD^ZACE,

ZBEC^ZA+ZACE^ZA+ZACD,'：ZACD^ZA+ZB,：.NBEC=/A+/A+/8=2/4+N8.

变式31如图，在△ABC中，AD是高，ZDAC=\0°,AE是NBAC外角的平分线，8尸平分NA8C交AE于点尸,

若/ABC=46°,求NAFB的度数.

：.ZBAC=54°,.•./MAC=126°,是/a4c外角的平分线，/M4E=L/MAC=63°,

2

：8尸平分NA8C,/.ZABF=^ZABC=23°,AZAFB=ZMAE-ZABF=40°.

【小结】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键.

-21-

变式32如图，在△ABC中，点E在AC上，NAEB=NABC.

(1)图1中，作/54C的角平分线A。，分别交CB、BE于D、尸两点，求证：NEFD=NADC；

(2)图2中，作△ABC的外角NBAG的角平分线A。，分别交CB、BE的延长线于。、F两点，试探究(1)中结

论是否仍成立？为什么？

【解析】(1)平分NBAC,：.ZBAD=ZDAC,VZEFD=ZDAC+ZAEB,ZADC=ZABC+ZBAD,

又•.•/AEB=NA3C,AZ£FD=ZADC：

(2)探究(1)中结论仍成立；理由：平分/BAG,...NBA£>=NGAO,；/加《=/64。，欣E=NBA£),

VZEFD=ZAEB-ZFAE,ZADC=ZABC-ZBAD,XVZAEB=ZABC,：.ZEFD=ZADC.

变式33探究：

(1)如图1,在△ABC中，BP平分NABC,CP平分NAC8.求证：ZP=90°+工乙4.

2

(2)如图2,在aABC中，8尸平分/ABC,CP平分外角/ACE.猜想/P和/A有何数量关系，并证明你的结论.

(3)如图3,BP平分NCBF,CP平分NBCE.猜想NP和NA有何数量关系，请直接写出结论.

【证明】(1),.,△ABC中，ZABC+ZACB=\SQ°-NA.又平分/ABC,CP平分NAC8,

AZPBC=^ZABC,ZPCB=XZACB,：.ZPBC+ZPCB=1.(180°-NA),

222

根据三角形内角和定理可知/8PC=180°-A(1800-ZA)=90°+1NA；

22

(2)1/A=NP,理由如下：是△ABC中NA8C的平分线，CP是NACB的外角的平分线，

2

(3)AZPBC=1ZABC,ZPCE=^ZACE.：NACE是△ABC的外角，NPCE是△BPC的外角，

22

.•./ACE=NABC+/A,NPCE=NPBC+NP,：.^ZACP^^ZABC+^ZA,T/ABC+工/A=NPBC+/P,

22