重视概念教学中的知识生成

重视概念教学中的知识生成——《函数的单调性》教学实录与反思一个数学概念的背后往往蕴含着丰富的数学思想，有的数学概念本质就是一种数学观念，是一种分析、处理问题的数学方法。重视概念的“自然生成”，可以使学生对原有知识、技能再认识、再加工，进一步深化提高，可以把学生头脑中已有的相关认知能力调动起来，积极参与到新的学习活动中来，加深对新知识的理解和认识。最近，笔者对教研组长学习会上执教了一节研究课：《函数的单调性》，本着“关注预设，注重生成”的理念，以“问题引领，对话交流”的教学模式，取得了较好的效果，现将这节课的课堂教学实录如下，并谈谈自己的设计意图和教学反思，敬请同行指正。课堂实录：1.1回顾旧知、创设情境、引入课题问题1：通过前面的学习，我们把生活中大量变量与变量的关系统一定义为了函数关系，而对于函数关系，我们可以用表格、图象、解析式进行表示。对于确定的函数关系，我们需要去研究它的性质，进而解决一些问题，那么哪些问题是我们需要研究的呢？其实，如果随着时间的推移，我们的学业、事业如果呈现“蒸蒸日上”的走势，我们就会比较高兴，如果呈现“每况愈下”的走势，我们就会比较难过，不过生活中这种走势往往是“波澜起伏”。所以函数关系的走势是我们研究函数的一个基本方面。我们以前面接触过的一个函数关系为例，下图是某市一天24小时气温y随时间x的变化图，观察气温变化图，从图中你能获取哪些信息？（意图：从学生熟悉的三个成语出发，让学生对函数的单调性有初步的认识；以接触过的函数关系为例，用开放性的问题，让学生发现“单调”）生：这天中，4时气温最低位-2摄氏度，14时，气温最高10摄氏度，并且0到4时，气温呈下降趋势，4到14时，气温呈上升趋势，14到24时，气温再次呈下降趋势；师：总结板书师：你能说说在[4，14]内气温随着时间的增大而增大，函数图象具有怎样的特点吗？在区间[0,4],[14,24]内函数的图象又具有怎样的特点？生：我们发现在区间[4,14]上气温随着时间的增大而增大，函数的图象呈现出的特点是在向右的同时，在向上；在区间[0,4],[14,24]内气温随着时间的增大而减小，函数的图象呈现出的特点是在向右的同时，在向下；师：继续板书师：我们把像[4,14]这样的区间，称为函数的单调增区间，函数值y随着自变量x的增大而增大（大的自变量，大的函数值）；函数图象特征：向右的同时在向上；我们把像[0，4]，[14，24]这样的区间，称为函数的单调减区间，函数值y随着自变量x的增大而减少（大的自变量，小的函数值）；函数图象特征：向右的同时在向下；单调增区间和单调减区间统称单调区间；由[4,14]是函数y=f(x)的单调增区间，我们称y=f(x)是区间[4,14]上的单调增函数，同样，由[0,4],[14,24]分别是y=f(x)的单调减区间，我们称y=f(x)是区间[0,4],[14,24]上的单调减函数；因为y=f(x)在区间[0,4],[4,14],[14,24]上单调增或者单调减，我们称y=f(x）在这三个区间上具有单调性，所以，单调性，是一个函数的局部性质；继续板书（意图：以学生初中已有的知识作为基础，从学生已有的只是出发，建立对新知识的初步认识，并呈现函数单调性“形”的特征）问题2：在初中我们学习了哪些基本函数，你能分别举例，并结合图象说说它的单调区间吗？生1：是R上的单调增函数；（师补充：我们也称R是的单调增区间）生2：是上的减函数，是的单调减区间；生3：是上的增函数，是的单调增区间；（意图：通过这个环节，让学生继续通过原有的只是熟悉新知识—单调性，并进一步熟悉“形”对单调性的描述）问题3（1）下图是函数y=f(x)的图象，你能说说这个函数的单调性吗？生：不具有单调性，因为y不随x的增大有增大和减小的变化：师：其实，我画的是的图象，由此，你能再说说这个函数的单调性吗？生：那y随着自变量x的增大而增大，是[0，6]上的单调增函数；师：由于函数的图象缺乏精确性，所以用函数图象解决这个函数的单调性问题，就失效了；问题3（2）你知道函数在区间(0,1)上的单调性如何吗？生（犹豫半天）…单调减（不确定）；师：为什么？生：我取了，相应的函数值分别为，我发现，所以，我认为单调减；师：函数的单调减应该是对所有大的自变量，都有大的函数值，你只取了2个值就下结论，可以吗？所以这种方法，只能用来猜测。那为啥用关系走势做判断会出现问题？生：在（0，1）上，随着x的增大，x在增大，在减小，进而和无法确定是增大还是减小；师：从上面的两个例子，我们发现，单纯的通过图象对函数的单调性进行刻画，缺乏精确性，并且对于有些函数，我们根本不知道其形状，所以，完全依赖“形”并不能很好的解决单调性的所有问题.(意图：通过2个“形”不能解决的问题，激发学生进一步对单调性进一步认识的欲望，进而为“数”的刻画，引入单调的概念做好铺垫）问题4：如何用“数”的语言对单调增进行刻画？请大家做小组交流。生：在区间上取2个点，如果有时，有；师：可以吗？生：不行，只取2个点不行，应该是任意，当时，都有；师：实际上，对单调增的刻画，（在区间I上，_______当）横线处填写“任意”还是“存在”是我们需要探讨的问题，下面，我们就通过一组思考，来进一步加以认识；(1)对于函数y=f(x)，若在区间(0，+∞)上，当x＝1时，y＝1；当x＝2时，y＝3，能否说y=f(x)在该区间上y随x的增大而增大呢?生：不行，上黑板画了一个反例图；若x＝1，2，3，4，时，相应地y＝1，3，4，6，能否说函数y=f(x)在区间(0，+∞)上单调增呢？生：不行，我只要在[0,4]上单调，满足函数值要求，后面可以任意画；若有n个正数x1<x2<x3<······<xn，它们的函数值满足:y1<y2<y3<······<yn．能否说函数y=f(x)在区间(0，+∞)上单调增呢？生：不行，n也是个有限值；师：那如果我将上面改成无数个点呢？生1：行；生2：不行，无数个不等于任意个；师:那你举个反例呢？生2：思考一会，我还没想好；师：那大家交流讨论下呢；生3：我可以将这无数个点，全部放在（0，1）内；后面随意画；师：那该如何刻画？生4：应该取所有点；师：如何刻画所有？任意如何排？生5：任意，当时，都有；继续板书：（意图：通过这样的一个探索的过程，加深学生对于定义的理解，呈现知识的自然生成）1.2知识建构：一般地，设函数y＝f(x)定义域为A，区间如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2),那么就说y＝f(x)在区间I上是单调增函数(increasingfunction),I称为y＝f(x)的单调增区间(increasinginterval)．师：类似，你能给出函数单调减的定义吗？生：如果对于区间内的任意两个值x1,x2，当x1＜x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说y＝f(x)在区间I上是单调减函数(decreasingfunction),I称为y＝f(x)的单调减区间(decreasinginterval)．如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性.单调增区间和单调减区间统称为单调区间.师：这样，我们就从形和数两个方面对函数的单调性进行了刻画，函数单调性反映的是函数在定义域内某个区间上y随x变化的趋势，是函数的局部性质。1.3练习：(1)定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数f(x)是R上的增函数.()(2)函数f(x)是R上的增函数,则必有f(3)＞f(2).()(3)定义在R上的函数f(x)满足f(3)＞f(2)，则函数f(x)在R上不是减函数.()1.4例1画出下列函数图像，并写出单调区间：1.5例2求证:函数在区间（0，1）上是单调减函数；1.6小结：1.函数单调性"形”、“数”刻画；2.利用函数的图象求函数的单调区间并判断其单调性.3.利用函数单调性的定义证明函数在某区间上的单调性.1.7布置作业:习题2.2272.教后反思：《普通高中数学课程标准》指出：由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉，在教学中，要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质。概念形成的教学通常需要有一个从旧知到新知，由表及里的过程。理解是一个个性化、自我实现的行为过程，它既是数学教学的内在品质，又是数学教学的重要目标，让学生学会数学地理解是数学教学最基本的价值最求，所以，数学教学应为促进学生的理解而教。学生是课堂教学的主体，为学生创建一种有意义的学习经历，营造一个适合学生自主探究，合作交流的过程，引导学生经历从知识层面的理解上升到数学层面的理解，是学生建构自己的理解的关键所在。让学生建构自己的理解，要循着学生的思维路线，在学生思维的最近发展区，为学生营造一个适合学生自主探究、合作交流的过程，“没有过程等于没有思想”，在探究过程中，如果没有学生自己的感知、领悟、体会以及同伴之间积极的相互影响、碰撞，怎能主动塑造，主动完善、主动内化，谈何理解数学知识的意义，谈何建构自己的理解。学之道在于“悟”，在于理解