2023-2024学年人教A版必修第二册 向量的加法运算 学案

6.2平面向量的运算6.2.1向量的加法运算学习任务1．能从实例中抽象出向量加法的概念，了解向量加法的物理意义与几何意义．(数学抽象)2．掌握向量加法的三角形法则与平行四边形法则．(直观想象)3．了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性．(数学抽象、逻辑推理)天车是大型生产车间或工地进行起重作业的重要设备．如图，物体在天车的作用下，同时进行竖直方向的位移和水平方向的位移，实际位移AB可以看作竖直方向的位移AD与水平方向的位移AC的合成．知识点1向量的加法1．向量加法的定义(1)定义：求__________的运算，叫做向量的加法．(2)对于零向量与任意向量a，规定0＋a＝a＋________＝________．2．向量求和的法则三角形法则已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作____，即a＋b＝AB+BC平行四边形法则已知两个______向量a，b，作AB＝a，AD＝b，以AB，AD为邻边作▱ABCD，则对角线上的向量________＝a3．|a＋b|与|a|，|b|之间的关系一般地，我们有|a＋b|__|a|＋|b|，当且仅当a，b中有一个是零向量或a，b是________的非零向量时等号成立．非零向量a，b处于什么位置时，(1)|a＋b|＝|a|＋|b|；(2)|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________知识点2向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝_______．(2)结合律：(a＋b)＋c＝__________________．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量的和仍然是一个向量． ()(2)AB+BC>AC． ((3)|AB|＋|BC|＝|AC|． ()2．如图，在▱ABCD中，DA+DC＝3．化简：CB+AD+类型1向量的加法法则【例1】如图，已知向量a，b．(1)用三角形法则作出向量a＋b；(2)用平行四边形法则作出向量a＋b．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________三角形法则与平行四边形法则的适用条件法则三角形法则平行四边形法则两向量位置关系两向量共线或不共线均可只适用于两向量不共线的情况两向量起点、终点的特点一个向量的终点为另一个向量的起点两向量起点相同注意：(1)使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”．(2)向量加法的平行四边形法则的应用前提是“共起点”，即两个向量是从同一点出发的不共线向量．[跟进训练]1．(1)如图甲所示，求作向量和a＋b；(2)如图乙所示，求作向量和a＋b＋c．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2向量加法的运算【例2】(源自人教B版教材)化简下列各式：(1)AB+(2)AB+[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的．(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．[跟进训练]2．已知O为正六边形ABCDEF的中心，求下列向量：①OA+OE；②AO+_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3向量加法的实际应用【例3】(源自苏教版教材)在长江南岸某渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船在静水中的速度为25km/h．渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？[思路导引]位移问题转化化归向量问题直观想象结合图形求解．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤[跟进训练]3．一架救援直升飞机从A地沿北偏东60°方向飞行了40km到达B地，再由B地沿正北方向飞行40km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．(多选)如图所示，在▱ABCD中，下列结论中正确的是()A．AB＝DC B．AD+ABC．AB＝BD+AD D．AB2．向量(AB+PB)＋(BO+BM)＋OPA．BCB．ABC．ACD．AM3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为________．4．小船以103km/h的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10km/h，则小船实际航行速度的大小为________km/h．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．两个向量相加就是两个向量的模相加吗？其运算法则有哪些？2．应用三角形法则应注意哪些问题？3．应用平行四边形法则应注意哪些问题？4．对于任意的向量a，b，|a＋b|与|a|，|b|之间存在怎样的大小关系？6.2.1向量的加法运算[必备知识·情境导学探新知]知识点11．(1)两个向量和(2)0a2．a＋bAC不共线AC3．≤方向相同思考提示：(1)当a，b共线且同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；(2)当a，b共线且反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)．知识点2(1)b＋a(2)a＋(b＋c)课前自主体验1．(1)√(2)×(3)×2．[由平行四边形法则可知DA+DC＝3．[CB+AD+BA＝[关键能力·合作探究释疑难]例1解：(1)如图①，在平面内任取一点O′，作O'D＝a，DE＝b，连接O′E，则O'E＝(2)如图②，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，以OA，OB为邻边作▱OACB，连接OC，则OC＝OA+OB＝a＋跟进训练1．解：(1)首先作向量OA＝a，然后作向量AB＝b，则向量OB＝a＋b．如图所示．(2)法一(三角形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，再作向量AB＝b，则得向量OB＝a＋b，然后作向量BC＝c，则向量OC＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．法二(平行四边形法则)：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD＝OA+OB＝a＋再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE＝OD+OC＝a＋b＋例2解：(1)AB+CD+BC＝(AB+BC)＋(2)AB+FA+BD+DE+EF＝AB+FA＋(BD+跟进训练2．解：如图所示，①易知四边形OAFE为平行四边形，连接OF，则OA+OE＝②连接OC，则四边形OABC为平行四边形，连接AC，则AO+AB＝③连接DB，则四边形AEDB为平行四边形，连接OD，则AE+AB＝例3解：如图，设AB表示水流的速度，AD表示渡船在静水中的速度，AC表示渡船实际垂直过江的速度．因为AB+AD＝AC，所以四边形在Rt△ACD中，因为∠ACD＝90°，|DC|＝|AB|＝12.5，|AD|＝25，所以∠CAD＝30°．答：渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°．跟进训练3．解：如图所示，设AB，BC分别是直升飞机的位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC＝在Rt△ABD中，|DB|＝20km，|AD|＝203km．在Rt△ACD中，|AC|＝AD2+DC2＝40即此时直升飞机位于A地北偏东30°方向，且距离A地403km处．[学习效果·课堂评估夯基础]1．AB2．D[原式＝(AB+BM)＋(PB+BO+OP)＝3．13[因为|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13．]4．20[根据平行四边形法则，因为水流方向与船速方向垂直，所以小船实际速度的大小为103课堂小结1．提示：两个向量相