2023-2024学年人教A版必修第二册 平面与平面平行 学案

8.5.3平面与平面平行学习任务借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，平面与平面平行的性质定理，并加以证明．(直观想象、数学抽象、逻辑推理)如图，工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次，如果水平仪的气泡两次都在中央，就能判断桌面是水平的．知识点1平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的____________与另一个平面平行，那么这两个平面平行符号语言a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α图形语言如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________知识点2平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线____符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒____图形语言思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面α∥平面β，α∩γ＝a，平面β∩平面γ＝b⇒a∥b. ()(2)平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β⇒a∥b. ()类型1平面与平面平行的判定【例1】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点．求证：(1)E，F，B，D四点共面；(2)平面MAN∥平面EFDB.[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________平面与平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点．(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.[跟进训练]1．如图，在四棱锥P-ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2平面与平面平行的性质【例2】如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________[母题探究]若点P在平面α与β之间，其它条件不变．(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长．____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________应用平面与平面平行性质定理的基本步骤[跟进训练]2．已知三个平面α，β，γ满足α∥β∥γ，直线a与这三个平面依次交于点A，B，C，直线b与这三个平面依次交于点E，F，G.求证：ABBC_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3平行关系的综合应用【例3】如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与B1B交于点E.求证：EC∥A1D.[尝试解答]________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立存在的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下：[跟进训练]3．如图，三棱锥A-BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH._______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．下列命题正确的是()A．一个平面内两条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数多条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行2．两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是()A．两两相互平行B．两两相交于同一点C．两两相交但不一定交于同一点D．两两相互平行或交于同一点3．如图所示，设E，F，E1，F1分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB，CD，A1B1，C1D1的中点，则平面EFD1A1与平面BCF1E1的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定4．已知α∥β，AC⊂α，BD⊂β，AB＝6且AB∥CD，则CD＝________．回顾本节知识，自主完成以下问题：1．线线平行、线面平行、面面平行之间关系如何转化？2．证明直线与直线平行的方法有哪些？3．证明直线与平面平行的方法有哪些？8.5.3平面与平面平行[必备知识·情境导学探新知]知识点1两条相交直线思考提示：不一定．如图，平面α内的两条直线a，b均平行于β，而α与β却相交.知识点2平行a∥b课前自主体验(1)√(2)×[关键能力·合作探究释疑难]例1证明：(1)连接B1D1，∵E，F分别是边B1C1，C1D1的中点，∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF.∴E，F，B，D四点共面．(2)易知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD.又MN⊄平面EFDB，BD⊂平面EFDB.∴MN∥平面EFDB.连接MF.∵M，F分别是A1B1，C1D1的中点，∴MF∥A1D1，MF＝A1D1.∴MF∥AD且MF＝AD.∴四边形ADFM是平行四边形，∴AM∥DF.又AM⊄平面BDFE，DF⊂平面BDFE，∴AM∥平面BDFE.又∵AM∩MN＝M，∴平面MAN∥平面EFDB.跟进训练1．证明：∵E，G分别是PC，BC的中点，∴EG∥PB，又∵EG⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，∴EG∥平面PAB，∵E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又∵AB∥CD，∴EF∥AB，∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB，又EF∩EG＝E，EF，EG⊂平面EFG，∴平面PAB∥平面EFG.例2解：(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，则PAAB＝PC又PA＝4，AB＝5，PC＝3.∴45＝3CD，∴CD＝故PD＝PC＋CD＝274母题探究解：(1)证明：如图，∵PB∩PD＝P，∴PB，PC确定平面γ，γ∩α＝AC，γ∩β＝BD.又α∥β，∴AC∥BD，(2)由(1)得AC∥BD，∴△PAC∽△PBD，∴PAPB＝PCPD，即PAAB又PA＝4，AB＝5，PC＝3.∴45-4＝3PD，则跟进训练2．证明：连接AG交β于H，连接BH，FH，AE，CG.因为β∥γ，平面ACG∩β＝BH，平面ACG∩γ＝CG，所以BH∥CG.同理AE∥HF，所以ABBC＝AHHG＝所以ABBC＝EF例3证明：因为BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D，所以BE∥平面AA1D.因为BC∥AD，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D，所以BC∥平面AA1D.又BE∩BC＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，所以平面BCE∥平面AA1D，又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D，所以EC∥A1D.跟进训练3．证明：由于四边形EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.∵EF⊄平面BCD，GH⊂平面BCD，∴EF∥平面BCD.又∵EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又∵EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.[学习效果·课堂评估夯基础]1．B[如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，即两个平面没有公共点，则两平面平行．]2．A[可以想象四棱柱，由面面平行的性质定理可得．]3．A[∵A1E∥BE1，A1E⊄平面BCF1E1，BE1⊂平面BCF1E1，∴A1E∥平面BCF1E1.同理，A1D1∥平面BCF1E1.又A1E∩A1D1＝A1，A1E，A1D1⊂平面EFD1A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF