2022届全国高考模拟信息卷 数学（理）试题（二）

2022年高考模拟信息卷02（理）

（本卷满分150分，考试时间120分钟。）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若复数Z=sin2e+icos0,z2=cos0+i>/3sin^（（9e/?）,=z2,则。等于（）

JT

A.左兀（左cZ）B.2匕W+—（kGZ）

k

jrjr

C.2kji土—（kcZ）D.2k7i~—（kcZ）

k6

2.已知P=｛£|£=（l,O）+7”（O,l）,"zeK｝,Q=｛B|B=（l,l）+w（-l,l）,weR｝是两个向量集合，则pn?等于

（）

A.｛（4）｝B.｛（-1,1））

C.｛（l，0））D.｛（0,1））

3.设x,y^R,向量〃=（羽1）,b=（1,y）9c=（2,—4）,且bile,贝（Il〃I等于（）

A.2A/2B.MC.3D.4

4.已知函数=则（）

igx

A./（0.5）＞/（2）＞/（3.1）B./（3.1）＞/（2）＞/（0.5）

C./（2）＞/（0.5）＞/（3.1）D./（2）＞/（3.1）＞/（0.5）

x>0

x+；y-lW0,

5.若x,y满足约束条件贝!|z=x—y+2的最小值为（）

x-^y-l<0

A.B.0C.1D.2

6.中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑

堵”塞堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图（直角三角形）

如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为（）

7.在等差数列｛”“｝中，若期+研=18,a3+a5+ai3=12,则使a“>100成立的正整数〃的最小值为（）

A.24B.25C.26D.27

8.小雁塔，位于唐长安城安仁坊（今陕西省西安市南郊）荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与

大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.小雁塔是密檐式砖结构佛塔,塔身为四方形,底边长11.38米.若

某游客在距离塔底中心11.38米的圆周上任取一点，从该点处观察小雁塔，则他可以同时看到塔的两个侧

面（即看到图2中的正方形的两边）的概率为（）

9.已知函数危）为R上的奇函数，且/'（r）=f（2+x）,当xe［O,l］时，〃同=2工+费，贝！J加01）4105）

的值为（）

A.3B.2C.1D.0

10.下列关于函数/（尤）=1-2sin?［尤-力的说法错误的是（）

A.最小正周期为万B.最大值为1,最小值为-1

C.函数图象关于直线x=0对称D.函数图象关于点。］对称

22

11.已知双曲线C：5等=1（“>0）>0）的右焦点为尸（G0）,点A在C的一条渐近线上，且A在第一象限,

|Q4|=c,若A/的中点在C上，则C的离心率为（）

A.75-1B.75+1

C.V6-1D.娓+1

12.若/+尤6<“/+捻3'对*d0,长0）恒成立，贝!的取值范围是（）

A.（0,+功B.g+8）

。D.~,+力

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

42

13.若（1-村（1-2.r）=a0+a^x+a,xHFq尤。,贝!]q+电%的值为.

14.已知数列｛%｝满足4=1,%=5%,则数列｛4%+1｝的前"项和为.

15.已知圆柱的高为2后，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为

16.关于圆M:（x-3k）2+（y-4左一2）2=1+公有如下四个命题：

①若圆”与y轴相切，贝！U=土孝；

②圆M的圆心到原点的距离的最小值为，；

③若直线y=x平分圆M的周长，则％=2；

④圆M与圆（x-3左>+>2=4f可能外切.

其中所有真命题的序号是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.如图，在直三棱柱ABC-A与£中，ABLAC,AB=AC=AAl=4,D、。分别为线段与G、AQ的

（1）证明：AD，平面耳BCC1；

（2）求OC与平面45C所成角的正弦值.

18.为了测出图中草坪边缘A,8两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C与。(A,B,C,。四

点共面)，测得AC=1.6m,CD=2m,3D=1.8m,已知cos/BOC=-也，tanZACZ)=377.

(1)求的面积；

(2)求A,B两点间的距离.

19.2021年，“十四五”开局全面建设社会主义现代化国家新征程由此开启，这一年，中国共产党将迎来建

党100周年.某企业开展“学党史，颂党恩，跟党走”的知识问答活动，该企业收集了参与此次知识问答活

动的员工得分情况，得到如下频率分布表：

得分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频率0.040.10ab0.200.12

其中样本的平均数是73.6.(假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替)

(1)求6的值；

(2)根据此次知识问答活动的得分，评出四个等级，并根据等级给予如下的奖励：

得分(0,60)[60,70)[70,80)[80,100)

评定等级不合格合格良好优秀

抽奖次数0124

每次抽奖的中奖率均为每次中奖的奖金都为100元，求参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X的

数学期望.

20.已知函数/(1)=—

(1)求曲线y=在点(oj(o))处的切线方程；

(2)当左=；,时，求证：/(力＞0；

(3)若/(力＞0对恒成立，求实数上的最大值.

21.已知椭圆+的离心率为g,椭圆C与抛物线y2=^x交于M,N两点(“在X

轴上方)，椭圆C的右焦点在直线MN上，。为坐标原点，A,B,E分别为椭圆C的左、右.上顶点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设。为椭圆C上一点(异于顶点)，直线OE与x轴交于点P,直线AD上有一点。满足痂•诙=4,

证明：直线8E经过点Q.

选做

22.在直角坐标系xOy中,(加为参数)，以坐标原点。为极点，x轴

的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为0cos]。J=应.

(1)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程;

(2)已知点尸(2,0),若直线/与曲线C交于A,B两点,求归山-处训的值.

23.已知函数函x)=|x-2|-a|x+l|.

(1)当"=1时，求不等式/(x)<x的解集；

(2)当。=2时，若关于x的不等式/(元)〉机+1恰有2个整数解，求实数机的取值范围.

2022年高考模拟信息卷02(理)

(本卷满分150分，考试时间120分钟。)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

1.若复数Z[=sin20+icos0,z?=cos£+igsin，(OeR),z】=z2,则。等于()

A.kn(左eZ)B.2k7r+—(左eZ)

k

7171

C.2k兀土——(kwZ)D.2kji—(kwZ)

k6

答案：D

[sin26=cos6,

【详解】由复数相等的定义可知，c后.C

[cose=73sin/

•*-cos0=,sin9=—0=—+Ikn,%eZ故选：D.

226

2.已知尸=｛£|£=(1,0)+加(0,1),租©氏｝,0=忸出=(1,1)+n(-l,l),ne“｝是两个向量集合，则png等于

()

A.｛（1』）｝B.｛（-1,1））

C.｛（l，0））D.｛（0,1））

答案：A

【详角军】易知Q=（l,0）+M（0,1）=（1,加）,机£凡行=。,1）+〃（一1,1）=。一〃,1+〃）,〃£氏,

1—n=1n=0

所以由，解得

l+n=mm—\

所以PcQ=｛（l,l）｝,故选：A.

3.设x,yeR,向量£=（x,l）,b=（l,y）,"=（2,-4）,S.a±b,bile,则工+用等于（）

A.20B.VioC.3D.4

答案：B

【详解】•./〃），，2y=—4x1,/.y=—2,=2）,，7B=x+l・（-2）=0,「.x=2,，£=（2,1）,

:.a+b=（3,-1）a+b\=^32+（-1）2=>/10.故选:B

4.已知函数则（）

igx

A.f（0.5）＞/（2）＞/（3.1）/（3.1）＞/（2）＞/（0.5）

C./（2）＞/（0.5）＞/（3.1）D./（2）＞/（3.1）＞/（0.5）

答案：D

【详解】•.-lgO.5<lgl=O,Ig3.1>lg2>lgl-O,则〃0.5）<0,/（2）>0,/（3.1）>0,

由不等式的基本性质可得专＞白＞。,

因此,/（2）＞/（3.1）＞/（0.5）.

故选：D.

x>0

x+^y-l<0,

5.若工,,满足约束条件贝!|z=%_y+2的最小值为（）

x-^y-l<0

A.-1B.0C.1D.2

答案：B

【详解】作出约束条件所表示的平面区域，如图所示:

由图象可知z=x-y+2在点4(0,2)处取得最小值,

且最小值为z=0-2+2=0,故选：B

6.中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立方得二堑堵邪解堑

堵”塞堵是一个长方体沿不在同一表面上的相对两棱斜截所得的立体图形其正视图和俯视图(直角三角形)

如图所示，则该“堑堵”的外接球的大圆面积为()

IHKIfi

117489519

A.27〃B.-------71C.-------71D.I-兀

41616

答案：B

【详解】由题知：“堑堵”是半个长方体的直三棱柱ABC-A瓦C|，如图所示:

设外接球大圆的半径为R,(27?)2=(6+3)2+62=117.

R=叵,所以外接球的大圆面积为当乃.故选：B

24

7.在等差数列｛斯｝中，若期+研=18,a3+a5+ai3=12,则使a“>100成立的正整数〃的最小值为（）

A.24B.25C.26D.27

答案：D

【详解】设等差数列｛%｝的公差为d,

•在等差数列｛“"｝中，。6+。10=18,的+。5+。13=12,

fCL+5d+ci,+9d=18

\o,..1O,_1O，解得ai=-26,d=5,

[q+2d+q+4d+q+12d—12

an=-26+5（〃-1）=5〃-31,

131

由5〃-31>100,得”>§,

...使斯>100成立的正整数”的最小值为27.故选：D.

8.小雁塔，位于唐长安城安仁坊（今陕西省西安市南郊）荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与

大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.小雁塔是密檐式砖结构佛塔,塔身为四方形,底边长11.38米.若

某游客在距离塔底中心11.38米的圆周上任取一点，从该点处观察小雁塔，则他可以同时看到塔的两个侧

面（即看到图2中的正方形的两边）的概率为（）

图1图2

答案：B

【详解】根据题意，设圆的圆心为O,半径为r,片11.38,

如图:

只有在劣弧AB,C£>,£F,GH上时，可以同时看到塔的两个侧面,

BC=AH=GF=ED=r,

rrjrr

则△AOH为等边三角形，AOH=-,AH=—,

33

71Y

同理：GF=DE=BC=——,

3

则AH+G尸+。石+3。=亍

24丫

而圆的周长/=2a，贝UA5+CO+EF+GH=w，

2兀丫

所以可以同时看到塔的两个侧面的概率是nr1,故选：B.

p=---=-

2兀r3

9.已知函数_/(x)为R上的奇函数，且f(-x)=f(2+x),当尤e［O,l］时，/(x)=2'+^,贝！J4101)伏105)

的值为()

A.3B.2C.1D.0

答案：A

【详解】根据题意，函数危)为氏上的奇函数，则的)=0,

又由xd［0,1］时，〃x)=2'+盛，则有五0)=1+斫0,解可得：a=-l,则有〃x)=2*-J,

又由八-x)=/(2+x),即4x+2)=-4x),则有大x+4)=-於+2)=/㈤，即函数_Ax)是周期为4的周期函数，

1313

则/(101)=/(1)-2--=-,/(105)=/(1)=2--=-,

故有3101)h105)=3,故选：A.

10.下列关于函数〃x)=l-2sin］尤-彳］的说法塔族的是()

A.最小正周期为万B.最大值为1,最小值为-1

C.函数图象关于直线x=0对称D.函数图象关于点对称

答案：C

【详解】函数〃x)=l-2sin2(x-£|=cos［2x-9=sin2x,函数的最小正周期7=万，A正确.

最大值为1，最小值为-1,B正确.

由2x=Z^+W=x="+f#eZ,得函数图象关于直线工=竺+£,左©2对称，C不正确.

22424

由2》=左==彳=浮,左eZ,得函数图象关于点［与,o］#eZ对称，D正确.故选：C

11.已知双曲线C:5-1=l(a>0,10)的右焦点为/(60),点A在C的一条渐近线上，且A在第一象限，

|Q4|=c,若A尸的中点在C上，则C的离心率为（）

A.\/5—1B.y/s+1

C.76-1D.瓜+1

答案：A

【详解】由题意，设A的坐标为（加,力），m＞0,n＞0,

由|Q4|=c,可得病+〃2=02①

b

又点A在C的一条渐近线上，可得〃=—加②

a

由①②可得根=〃，n=b,即有A（a,〃），

又F（c,0）,可得AF的中点坐标为［专,£|,

由Ab的中点在C上，可得［亍J［2）_1，

/b2

化为仕+儿［」=1解得ef-L故选：A.

U2J4

12.若》2+苫6＜四'+九3，对》目0,e）恒成立，贝!的取值范围是（）

答案：C

【详解】将原不等式变形可得，华工+（4/丫＞尤2+（炉）3（*）对任意的彳目0,内）恒成立,

其中VNO./WI,由此可得上式只有在。＞0时成立，

此时，设厂（无）=X+%3,则（*）式即可表示为网融2）＞网尤），

•••\@）=1+3/＞0恒成立彳即尸（X）为单调递增函数;

一X2

故有ae*＞f恒成立o。＞二恒成立，

e

令〃X）=:，则有〃》）=丫=亭»，

令/(x)=°nx=2或x=0；

则有/'(x)>0=>0<x<2；/'(x)<0=>%>2或1<0,

根据题意可得，函数/（X）在（0,2）上单调递增，在（2,y）上单调递减；

故有了（尤）…=〃2）=金，即0＞之恒成立.故选：C.

ee

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若（1-彳）5（1-2了）4=%+01彳+%_¥2_|--卜火工9,贝！2T----卜1的值为,___________.

答案：-1

【详解】由条件得：在等式左右两边取x=o,计算得%=1,令尤=1,计算得

旬+q+…+%=°,于;q+/+…+%=-1•

故答案为：-1

14.已知数列｛4｝满足4=1,a„+i=5a„,则数列｛4%+1｝的前w项和为.

答案：5n-l+n

【详解】数列｛4｝满足4=1,a„+l=5a„,故｝=5,所以数列｛%｝为等比数列，

Un

所以%=q-5力=5力，所以4an+l=4x5"-'+1,

（5〃—1）

所以｛4。“+1｝的前〃项和1=4*0+5+…+5"T）+〃=4X^_^+W=5"-1+".

故答案为：5"—1+n-

15.已知圆柱的高为20,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

答案：4拒兀.

解：如图所示，

圆柱的高为20,它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上,

...该圆柱底面圆周半径为『’22-（及『=五,

・•・该圆柱的体积为：V=Sh=7i・（0）・2&=40兀.

故答案为：4夜兀.

16.关于圆M:(x—3k)2+(y—4k—2)2=1+k2有如下四个命题:

①若圆M与y轴相切，则k=±孝；

②圆M的圆心到原点的距离的最小值为，；

③若直线y=x平分圆M的周长，则％=2；

④圆拉与圆（x-3k）2+y2=4k2可能外切.

其中所有真命题的序号是.

答案：①②④

【详解】圆AZ：（%-3左）2+（y—4左—2）2=1+左2的圆心坐标为：（3左,4左+2）,半径为r=Jl+左2.

①若圆M与y轴相切，则|3人|=再至，解得/=±¥，所以①为真命题.

②因为（3幻2+（4左+2）2=25k2+16^+4=（5A:+|）2+||>||,

所以所以②为真命题.

③若直线y=x平分圆”的周长，则圆心在直线上，即弘=4左+2,解得左=-2,所以③为假命题.

④若圆M与圆（x-3%）2+V=4/外切，贝I]14左+21=JTTP'+，

设函数/（左）=14左+21-VT7后■-，显然/■（幻=i4k+21-STF-为连线函数,又因为/（o）=i>o，

/（_I）=<o,所以于也）在（T0）内必有零点，则方程14左+21=ViTF+廊有解，所以④为真命题.故

答案为：①②④.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.如图，在直三棱柱ABC-A⑸C中，ABLAC,AB=AC=AAl=4,。、0分别为线段与G、AQ的

中点.

B

（1）证明：4。，平面3出。£；

（2）求0C与平面ABC所成角的正弦值.

【详解】（1）证明：在直三棱柱ABC-4瓦£中，B瓦，平面A与G，

因为ADu平面4月£,所以用，

•.•明〃54且44,=8与，所以，四边形44出避为平行四边形，可得A3=A四,

同理可得AC=AG，

■■AB=AC,.-.AB^AG，因为。为用G的中点，所以，AO1B.G，

V班|nB1G=片，..4。，平面B,BCQ■

（2）•.•的，平面ABC,ABLAC,以点A为坐标原点，AB、AC、所在直线分别为x、y、z轴建

立空间直角坐标系A-xyz,

则4（0,0,4）、8（4,0,0）、C（0,4,0）、。（2,2,4）、0（1,1,4）,

f=(O,4,T),^(4,0,-4)，反=(T,3,T),

n-A^C=04y—4z=0

设平面45c的法向量为〃=（尤,y,z）,则有

n-AjB=04x-4z=0

令z=l,可得〃=(1,1,1),

℃-2

cos<n,OC>=--

回国73x72639，

因此，OC与平面ABC所成角的正弦值为叵.

39

18.为了测出图中草坪边缘A,3两点间的距离，找到草坪边缘的另外两个点。与。（A,B,C,。四

点共面），测得AC=1.6m,CD=2m,BD=1.8m,已知cos/BOC=—以，tanZACD=3A/7.

4

(1)求△AC。的面积；

(2)求A,3两点间的距离.

【详解】(1)因为tanNACD=3\/7,可得sinNAC£)=各自,

8

992

所以SAACD=77ACCDsinZACD—m.

25

(2)因为tanNAC£)=3/7,所以cosNAC£)=L

8

所以AD2=1.62+22-2xl.6x2x-=5.76,则AD=2A,

8

rpst/人n厂AD2+CZ)2—AC23；匚八[./4n厂

因为cosZADC=---------------=—,所以sinZA£)C=——，

2ADCD44

又cos/BDC=-,所以NA£)B=工，

42

所以AB=VAD2+BD2=,2.42+1.8?=3m.

19.2021年，“十四五”开局全面建设社会主义现代化国家新征程由此开启，这一年，中国共产党将迎来建

党100周年.某企业开展“学党史，颂党恩，跟党走”的知识问答活动，该企业收集了参与此次知识问答活

动的员工得分情况，得到如下频率分布表：

得分[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)

频率0.040.10ab0.200.12

其中样本的平均数是73.6.（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）

（1）求“，6的值；

（2）根据此次知识问答活动的得分，评出四个等级，并根据等级给予如下的奖励:

得分(0,60)[60,70)[70,80)[80,100)

评定等级不合格合格良好优秀

抽奖次数0124

每次抽奖的中奖率均为每次中奖的奖金都为100元，求参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X的

数学期望.

【详解】(1)因为样本的平均数是73.6,

所以45xO.O4+55xO.lO+65a+75b+85xO.2O+95xO.12=73.6

即65。+75匕=37.9,①

又〃+8=0.54,②

由①②解得Q=0.26,b=0.28.

(2)当该员工的评定等级为优秀时，奖金的数学期望为gx4xl00=200,

当该员工的评定等级为良好时，奖金的数学期望为］x2xl00=100

当该员工的评定等级为合格时，奖金的数学期望为］xlxl00=50,

当该员工的评定等级为不合格时，奖金的数学期望为［x0xl00=0,

2

E(X)=0x0.14+50x0.26+100x0.28+200x0.32=105

故参与此次知识问答活动的某员工所获奖金X的数学期望为105元.

20.已知函数/(x)=tanx-Ax3—九,k^R.

(1)求曲线y=在点(o,〃o))处的切线方程；

(2)当左=；，时，求证：/(x)>0；

(3)若〃尤)>0对恒成立，求实数左的最大值.

【详解】⑴函数的定义域为卜卜.+

J(x)=--3心-1J一3履2cos：x-cos?x,

cosXcosX

所以尸(0)=0,

又〃0)=0,切点坐标为(0,0),

所以曲线y=〃x）在点（OJ（O））处的切线方程为y-O=O（x-O）,即y=0；

(2)

当上=：时,1-cos2x-x2cos2Xsi•n2x-x2cos2x

cos2Xcos2x

(sin%+xcosx)(sinx—xcosx)

cos2x

因为xw所以sinx+xcosx>0,

设"(x)=sin尤一％cosx,

则当呵0弓时,*(x)=cosx-cosx+xsin%=xsinx>0,

所以〃（x）在区间（0母上单调递增,

所以当xe0费时，/i（x）＞/i（O）=O,

即sinx-xcosX＞0得证，

所以当x[o,£|时，r（x）＞o,

所以在区间[空上单调递增,

又〃0)=0

所以苫［04］时，f(x)>f(o)=o；

(3)

由(2)可知，当左V：时，/(x)=tanx—辰3一彳>0对恒成立,

“,1„,Isinx-v3^xcosx)Isinx+v3^xcosx)

当人时，f(x\=\--------------4——-------L,

3cos2x

设g(x)=sinx-y/ikxcosx,

则g<尤)=cosx-yfikcosx+y/3kxsinx

甘缶「八吟口2（病

其中°£|^0,-J且tan0=-、叵~~』＞0

取飞="，当夕£（0,九（））时,g'（x）v0,则g（x）在区间（0,九0）上单调递减,

所以当无6(0,不)时，g(x)<g(O)=O,

由于当xe(O,Xo)时，sinx+A^■尤cosx>0,

所以当x«0,%)时,f，(x)<0,

所以〃x)在区间(0,x0)上单调递减,

所以xe(O,x°)时，/(x)</(0)=0,

所以当人>；时，/(x)>0并非对xe[o,?恒成立，

综上可知，%的最大值为:

21.已知椭圆C:「+J=l(a>6>0)的离心率为半，椭圆C与抛物线丫2=*X交于N两点(M在工

轴上方)，椭圆C的右焦点在直线上，0为坐标原点，A,B,E分别为椭圆C的左、右、上顶点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设D为椭圆C上一点(异于顶点)，直线OE与x轴交于点P,直线AD上有一点。满足痂•诙=4,

证明：直线8E经过点Q.

【详解】(1)由题意，设M(c,机)，

百

m2——C

12

c2m2]

+

由条件可知，<~a2b1，解得〃=2,b=\,c=5/3,

a2=/72+C2

2

椭圆C的方程为1+丁=1.

(2)设直线DE的直线>=履+1,则尸(-，0；

y=kx+1

由,=x22消去丁，整理得(4左2+1*+8丘=(),

——+y=1

14

8k

所以玉=0,%2=

4F+1

即。-③1-4左2

4/+1

1-422

所以直线AD的斜率为餐12左+1

因为A(-2,0),