变化率问题教学

关于变化率问题教学通过阅读引言我们知道：1.随着对函数的深入研究产生了微积分,它是数学发展史上的一个具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑..微积分的创立者是2牛顿和莱布尼茨.他们都是著名的科学家，我们应该认识一下.牛顿（IsaccNewton,1642-1727)是英国数学家、天文学家和物理学家是世界上出类拔萃的科学家。

第2页,共17页，2024年2月25日，星期天莱布尼茨(1646--1716)德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人.3.本章我们将要学习的导数是微积分的核心概念之一.

打个比喻如果微积分是万丈高楼，那么平均变化率就是地基.

那么我们这一节课就相当于是“地基”.现在我们就开始“打造地基”第3页,共17页，2024年2月25日，星期天姚明身高变化曲线图(部分)2.262.12●●●●●●年龄身高47101316●19220.81.61●●●●●●●第4页,共17页，2024年2月25日，星期天问题1气球膨胀率

在吹气球的过程中,可发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的函数关系是若将半径r表示为体积V的函数,那么当空气容量V从0L增加到1L,气球半径增加了气球的平均膨胀率为当空气容量V从1L增加到2L,气球半径增加了气球的平均膨胀率为

随着气球体积逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小.第5页,共17页，2024年2月25日，星期天当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率是多少?思考第6页,共17页，2024年2月25日，星期天问题2高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系:第7页,共17页，2024年2月25日，星期天问题2高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系

如果用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态,那么:在0≤t≤0.5这段时间里,在1≤t≤2这段时间里,第8页,共17页，2024年2月25日，星期天平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态。

计算运动员在这段时间里的平均速度,并思考下面的问题:(1)运动员在这段时间里是静止的吗?探究thO(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?第9页,共17页，2024年2月25日，星期天平均变化率:式子令△x=x2–x1,△y=f(x2)–f(x1),则称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.平均变化率的定义：第10页,共17页，2024年2月25日，星期天1、式子中△x、△y的值可正、可负，但的△x值不能为0，△y

的值可以为02、若函数f(x)为常函数时，

△y=0理解3、变式:第11页,共17页，2024年2月25日，星期天观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?思考xyoBx2f(x2)Ax1f(x1)f(x2)-f(x1)x2-x1直线AB的斜率y=f(x)第12页,共17页，2024年2月25日，星期天例(1)计算函数

f(x)=2x+1在区间[–3,–1]上的平均变化率；(2)求函数f(x)=x2

+1的平均变化率。(1)解：△y=f(-1)-f(-3)=4

(2)解：△y=f(x+△x)-f(x)=2△x·x+(△x)2

△x=-1-(-3)=2第13页,共17页，2024年2月25日，星期天练习1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=(D

)

A.

3B.

3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx

2、求y=x2在x=x0附近的平均变化率.

2x0+Δx

第14页,共17页，2024年2月25日，星期天小结：1.函数的平均变化率2.求函数的平均变化率的步骤:(1)求函数的增量：Δf=Δy=f(x2)-f(x1);