可测函数的收敛性

关于可测函数的收敛性⒈函数列的几种收敛定义⑵一致收敛:注：近似地说一致收敛是函数列收敛慢的程度能有个控制近似地说一致连续是函数图象陡的程度能有个控制fn(x)=xn⑴点点收敛:记作第2页,共17页，2024年2月25日，星期天1-δ例：函数列fn(x)=xn,n=1,2,…在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛fn(x)=xn第3页,共17页，2024年2月25日，星期天⑶几乎处处收敛:记作(almosteverywhere）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛⑷几乎一致收敛:记作(almostuniformly)第4页,共17页，2024年2月25日，星期天⑸依测度收敛:记作注：从定义可看出，几乎处处收敛强调的是在点上函数值的收敛（除一零测度集外）依测度收敛并不指出函数列在哪个点上的收敛，其要点在于误差超过σ的点所成的集的测度应随n趋于无穷而趋于零，而不论点集的位置状态如何第5页,共17页，2024年2月25日，星期天不依测度收敛依测度收敛第6页,共17页，2024年2月25日，星期天⒉几种收敛的区别

说明：当n越大，取1的点越多，故{fn(x)}在R+上处处收敛于1（1）处处收敛但不依测度收敛n在R+上处处收敛于f(x)=1,所以{fn(x)}在R+上不依测度收敛于1，另外{fn}不几乎一致收敛于1第7页,共17页，2024年2月25日，星期天fn不几乎一致收敛于f几乎一致收敛:记作(almostuniformly)即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛即：去掉测度集，在留下的集合上仍不一致收敛任意（）适当小小第8页,共17页，2024年2月25日，星期天fn不几乎一致收敛于f即：去掉任意小（适当小）测度集，在留下的集合上仍不一致收敛不几乎一致收敛于f(x)=1n第9页,共17页，2024年2月25日，星期天（2）依测度收敛但处处不收敛01f1f601/4½3/4101/4½3/4101/4½3/4101/4½3/41f7f5f40½1f30½1f201/81/4½1f8第10页,共17页，2024年2月25日，星期天依测度收敛但处处不收敛⑵取E=(0,1],n=2k+i,0≤i<2k,k=0,1,2,3,…说明：对任何x∈(0,1],{fn(x)}有两个子列，一个恒为1，一个恒为0，所以{fn(x)}在(0,1]上处处不收敛；第11页,共17页，2024年2月25日，星期天例：函数列fn(x)=xn在(0,1)上处处收敛到f(x)=0,但不一致收敛，但去掉一小测度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收敛收敛的联系（叶果洛夫定理的引入）1-δfn(x)=xn第12页,共17页，2024年2月25日，星期天⒊三种收敛的联系即：去掉某个小（任意小）测度集，在留下的集合上一致收敛⑴几乎处处收敛与几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设mE<+∞，fn

，f在E上几乎处处有限且可测，（即：可测函数列的收敛“基本上”是一致收敛）即：去掉某个零测度集，在留下的集合上处处收敛第13页,共17页，2024年2月25日，星期天第14页,共17页，2024年2月25日，星期天引理：设mE<+∞，fn

，f在E上几乎处处有限且可测，证明：由于为零测度集，故不妨令fn

，f在E上处处有限，从而有：关于N单调减小第15页,共17页，2024年2月25日，星期天几乎处处收敛与依测度收敛（Lebesgue定理）设