8.3.2-第一课时-圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积第一课时圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积课标要求素养要求1.知道圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.2.能用公式解决简单的实际问题.在计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算，发展学生的数学建模、数学运算素养和直观想象素养.教材知识探究如图是工厂生产的各种金属零件，被广泛应用于工业领域的各个方面.问题(1)如果已知制作零件的金属的密度，如何求出这些零件的质量？(2)如图所示的零件都是旋转体，其侧面都是曲面，如何求其表面积？提示(1)先求出金属零件的体积，再求其质量.(2)求其侧面展开图的面积，再加上底面面积就是其表面积.1.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积图形表面积和体积圆柱S圆柱＝2πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)V圆柱＝πr2h(r是底面半径，h是高)圆锥S圆锥＝πr(r＋l)(r是底面半径，l是母线长)V圆锥＝eq\f(1,3)πr2h(r是底面半径，h是高)圆台S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长)V圆台＝eq\f(1,3)πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)2.柱体、锥体、台体的体积公式V柱体＝Sh(S为底面面积，h为柱体高)；V锥体＝eq\f(1,3)Sh(S为底面面积，h为锥体高)；V台体＝eq\f(1,3)(S′＋eq\r(S′S)＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为台体高).教材拓展补遗[微判断]1.圆锥的侧面展开图为扇形，其中扇形的弧长为圆锥底面圆的周长.(√)2.若圆柱的底面圆的直径与圆柱的高相等，则圆柱的侧面展开图是正方形.(×)3.求圆台的表面积和体积时，常用“还台为锥”的思想方法.(√)提示2.设圆柱的底面圆的半径为r，所以圆柱的侧面展开图的两边分别为2πr，2r，二者不相等，故侧面展开图不是正方形.[微训练]1.若圆锥的底面半径为eq\r(3)，高为1，则圆锥的体积为()A.eq\f(π,3) B.eq\f(π,2) C.π D.2π解析V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×π×3×1＝π.答案C2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比是()A.eq\f(1＋2π,2π) B.eq\f(1＋2π,4π)C.eq\f(1＋2π,π) D.eq\f(1＋4π,2π)解析设底面圆半径为r，母线长为h，∴h＝2πr，则eq\f(S表,S侧)＝eq\f(2πr2＋2πrh,2πrh)＝eq\f(r＋h,h)＝eq\f(r＋2πr,2πr)＝eq\f(1＋2π,2π).答案A[微思考]求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？提示求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径.题型一求圆柱、圆锥、圆台的表面积【例1】圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等.求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.解如图所示，设圆柱和圆锥的底面半径分别为r，R，则有eq\f(r,R)＝eq\f(R－r,R)，即eq\f(r,R)＝eq\f(1,2)，∴R＝2r，圆锥的母线长l＝eq\r(2)R，∴eq\f(S圆柱表,S圆锥表)＝eq\f(2πr2＋2πr2,πR·\r(2)R＋πR2)＝eq\f(4πr2,（\r(2)＋1）πR2)＝eq\f(4r2,（\r(2)＋1）4r2)＝eq\f(1,\r(2)＋1)＝eq\r(2)－1.规律方法求旋转体表面积的要点(1)因为轴截面联系着母线、底面半径、高等元素，因此处理好轴截面中边角关系是解题的关键；(2)对于圆台问题，要重视“还台为锥”的思想方法；(3)在计算圆柱、圆锥、圆台的侧面积或表面积时，应根据已知条件先计算出它们的母线和底面圆半径的长，而求解这些未知量常常需要列方程.【训练1】圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的表面积为574π，则圆台较小的底面半径为________.解析设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×3＋πr2＋9πr2＝574π，解得r＝7.答案7题型二求圆柱、圆锥、圆台的体积eq\a\vs4\al(求底面半径和高是关键)【例2】(1)设圆台的高为3，如图，在轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中的一条对角线垂直于腰，则圆台的体积为________.解析设上、下底面半径，母线长分别为r，R，l.作A1D⊥AB于点D，则A1D＝3，∠A1AB＝60°，又∠BA1A＝90°，∴∠BA1D＝60°，∴AD＝eq\f(A1D,tan60°)＝eq\r(3)，∴R－r＝eq\r(3).BD＝A1D·tan60°＝3eq\r(3)，∴R＋r＝3eq\r(3)，∴R＝2eq\r(3)，r＝eq\r(3)，而h＝3.∴V圆台＝eq\f(1,3)πh(R2＋Rr＋r2)＝eq\f(1,3)π×3×[(2eq\r(3))2＋2eq\r(3)×eq\r(3)＋(eq\r(3))2]＝21π.∴圆台的体积为21π.答案21π(2)在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，把△ABC绕其斜边AC所在的直线旋转一周后，所形成的几何体的体积是多少？解由题意，所形成的几何体为两个圆锥的组合体，如图所示，两个圆锥的底面半径为斜边上的高BD，且BD＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(12,5)，两个圆锥的高分别为AD和DC，所以V＝V1＋V2＝eq\f(1,3)πBD2·AD＋eq\f(1,3)πBD2·CD＝eq\f(1,3)πBD2·(AD＋CD)＝eq\f(1,3)πBD2·AC＝eq\f(1,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))eq\s\up12(2)×5＝eq\f(48,5)π.故所形成的几何体的体积是eq\f(48,5)π.规律方法求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.【训练2】若一个圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比是()A.1 B.1∶2C.eq\r(3)∶2 D.3∶4解析设圆柱、圆锥的高都为h，底面半径分别为r，R，则有eq\f(1,2)·2Rh＝2rh，所以R＝2r，V圆锥＝eq\f(1,3)πR2h＝eq\f(4,3)πr2h，V圆柱＝πr2h，故V圆柱∶V圆锥＝3∶4.答案D题型三求组合体的表面积和体积eq\a\vs4\al(分割为规则的几何体求其表面积、体积之和，保证不重不漏)【例3】如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F依次是AB，AC的中点，AD⊥BC，EH⊥BC，FG⊥BC，D，H，G为垂足，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积和体积.解由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为2eq\r(3)，圆柱的底面半径为1，高为eq\r(3).所求旋转体的表面积由三部分组成：圆锥的底面、侧面，圆柱的侧面.S圆锥底面＝4π，S圆锥侧＝8π，S圆柱侧＝2eq\r(3)π，故所求几何体的表面积为：4π＋8π＋2eq\r(3)π＝12π＋2eq\r(3)π.所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，即V旋转体＝eq\f(1,3)×π×22×2eq\r(3)－π×12×eq\r(3)＝eq\f(5\r(3),3)π，故所求旋转体的体积为eq\f(5\r(3),3)π.规律方法组合体体积与表面积的求解策略：(1)首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应怎样求其面积，然后把这些面的面积相加或相减；求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减.(2)在求组合体的表面积、体积时要注意“表面(和外界直接接触的面)”与“体积(几何体所占空间的大小)”的定义，以确保不重复、不遗漏.【训练3】如图所示，在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(5,3)π B.eq\f(4,3)π C.eq\f(2,3)π D.2π解析由题意，旋转而成的几何体是圆柱，挖去一个圆锥(如图)，该几何体的体积为π×12×2－eq\f(1,3)×π×12×1＝eq\f(5,3)π.答案A一、素养落地1.通过了解几何体的结构特征，从而计算圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积，培养数学运算素养，提升直观想象和数学建模素养.2.柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系二、素养训练1.若圆锥的底面半径为1，高为eq\r(3)，则圆锥的表面积为()A.π B.2π C.3π D.4π解析设圆锥的母线长为l，则l＝eq\r(3＋1)＝2，所以圆锥的表面积为S＝π×1×(1＋2)＝3π.答案C2.圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为()A.3 B.4 C.5 D.6解析由题意知V＝eq\f(1,3)(π＋2π＋4π)h＝7π，故h＝3.答案A3.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，则eq\f(V1,V2)的值是________.解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2.由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πreq\o\al(2,1),πreq\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，∴eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1)h1,πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)4.圆柱有一个内接长方体AC1，长方体体对角线长是10eq\r(2)cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是100πcm2，求圆柱的体积.解设圆柱底面半径为rcm，高为hcm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2r）2＋h2＝（10\r(2)）2，,2πrh＝100π，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝5，,h＝10.))∴V圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π(cm3).∴圆柱体积为250πcm3.基础达标一、选择题1.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32π，则母线长为()A.2 B.2eq\r(2) C.4 D.8解析圆台的轴截面如图，由题意知，l＝eq\f(1,2)(r＋R)，S圆台侧＝π(r＋R)·l＝π·2l·l＝32π，∴l＝4.答案C2.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A.4π B.3π C.2π D.π解析底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.答案C3.如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为()A.5π B.6π C.20π D.10π解析用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.答案D4.若一个圆台如图所示，则其侧面积等于()A.6 B.6πC.3eq\r(5)π D.6eq\r(5)π解析∵圆台的母线长为eq\r(（2－1）2＋22)＝eq\r(5)，∴S圆台侧＝π(1＋2)·eq\r(5)＝3eq\r(5)π.答案C5.半径为R的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为()A.eq\f(\r(3),24)πR3 B.eq\f(\r(3),8)πR3C.eq\f(\r(5),24)πR3 D.eq\f(\r(5),8)πR3解析设圆锥底面圆的半径为r，高为h，则有2πr＝πR，则r＝eq\f(1,2)R.又由已知，得圆锥母线长为R，所以圆锥的高h＝eq\r(R2－r2)＝eq\f(\r(3),2)R，故体积V＝eq\f(1,3)πr2h＝eq\f(\r(3),24)πR3.答案A二、填空题6.现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.解析设新的底面半径为r，则有eq\f(1,3)×πr2×4＋πr2×8＝eq\f(1,3)×π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).答案eq\r(7)7.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.解析S圆柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋2π·eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))·a＝eq\f(3,2)πa2，S圆锥＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.答案2∶18.圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积是________.解析由已知得两底面半径分别为r＝1，R＝2，又S侧＝6π，所以π(1＋2)·l＝6π，所以l＝2，则h＝eq\r(l2－（R－r）2)＝eq\r(3)，所以体积V＝eq\f(1,3)π×eq\r(3)×(12＋1×2＋22)＝eq\f(7\r(3),3)π.答案eq\f(7\r(3),3)π三、解答题9.已知底面半径为eq\r(3)cm，母线长为eq\r(6)cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点、下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积.解如图所示，所得几何体的表面积为S＝S底＋S柱侧＋S锥侧＝π(eq\r(3))2＋2π×eq\r(3)×eq\r(6)＋π×eq\r(3)×3＝(3＋6eq\r(2)＋3eq\r(3))π(cm2).10.已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱.(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？解(1)作圆锥的轴截面，如图所示.因为eq\f(r,R)＝eq\f(H－x,H)，所以r＝R－eq\f(R,H)x，所以S圆柱侧＝2πrx＝2πRx－eq\f(2πR,H)x2(0<x<H).(2)因为－eq\f(2πR,H)<0，所以当x＝eq\f(2πR,\f(4πR,H))＝eq\f(H,2)时，S圆柱侧最大.故当x＝eq\f(H,2)时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大.能力提升11.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是()A.54 B.54π C.58 D.58π解析设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，则52＝eq\f(1,3)πh1(r2＋9r2＋3r·r)，∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得eq\f(r,3r)＝eq\f(h－h1,h)，∴h＝eq\f(3,2)h1，∴V原圆锥＝eq\f(1,3)π(3r)2×h＝3πr2×eq\f(3,2)h1＝eq\f(9,2)×12＝54.答案A12.圆台的母线长为8cm，母线与底面成60°角，轴截面的两条对角线互相垂直，求圆台的表面积.解如图所示的是圆台的轴截面ABB1A1，其中∠A1AB＝60°，过A1作A1H⊥AB于H，则O1O＝A1H＝A1A·sin60°＝4eq\r(3)(cm)，AH＝A1A·cos60°＝4(cm).设O1A1＝r1，OA＝r2，则r2－r1＝AH＝4.①设A1B与AB1的交点为M，则A1M＝B1M.又∵A1B⊥AB1，∴∠A1MO1＝∠B1MO1＝