复合材料力学 第三章

复合材料力学第三章引言简单层板：层合纤维增强复合材料的基本单元件宏观力学性能：只考虑简单层板的平均表观力学性能，不讨论复合材料组分之间的相互作用对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小，因此一般按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内应力，不考虑面上应力，即认为它们很小，可忽略在线弹性范围内AnisotropicIsotropyOrthotropyFailureCriterion第2页,共93页，2024年2月25日，星期天传统材料对各向同性材料来说，表征他们刚度性能的工程弹性常数有：E,G,vE：拉伸模量G：剪切模量V：泊松比其中独立常数只有2个第3页,共93页，2024年2月25日，星期天各向异性材料的应力应变关系应力应变的广义虎克定律对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小，因此一般按平面应力状态进行分析只考虑单层面内应力，不考虑单层面上应力应力分量，刚度矩阵，应变分量柔度矩阵第4页,共93页，2024年2月25日，星期天各向异性材料的应力应变关系简写了表达符号几何方程第5页,共93页，2024年2月25日，星期天弹性力学知识xyz六个应力分量主应力和主方向材料往往在受力最大的面发生破坏，物体内每一点都有无穷多个微面通过，斜面上剪应力为零的面为主平面，其法线方向为主方向，应力为主应力，三个主应力，包括最大和最小应力第6页,共93页，2024年2月25日，星期天柔度分量、模量分量各向异性体弹性力学基本方程弹性体受力变形的位移与应变关系本构方程36第7页,共93页，2024年2月25日，星期天连续性方程或变形协调方程6第8页,共93页，2024年2月25日，星期天弹性力学问题的一般解法六个应力分量六个应变分量三个位移分量几何关系（位移和应变关系）物理关系（应力和应变关系）平衡方程15个方程求15个未知数——可解难以实现简化或数值解法第9页,共93页，2024年2月25日，星期天各向异性材料的应力应变关系回来继续关注刚度矩阵36个分量第10页,共93页，2024年2月25日，星期天证明：Cij的对称性

在刚度矩阵Cij中有36个常数，但在材料中，实际常数小于36个。首先证明Cij的对称性：当应力

i作用产生di的增量时，单位体积的功的增量为：dw=idi

由i=Cijdj得：dw=Cijdjdi

积分得：w=1/2Cij

j

iCij的脚标与微分次序无关：Cij=Cji刚度矩阵是对称的，只有21个常数是独立的同理第11页,共93页，2024年2月25日，星期天各向异性的、全不对称材料——21个常数第12页,共93页，2024年2月25日，星期天单对称材料如果材料存在对称面，则弹性常数将会减少，例如z=0平面为对称面，则所有与Z轴或3正方向有关的常数，必须与Z轴负方向有关的常数相同剪应变分量

yz和xz仅与剪应力分量yz

xz有关，则弹性常数可变为13个，单对称材料第13页,共93页，2024年2月25日，星期天单对称材料y=0第14页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性材料随着材料对称性的提高，独立常数的数目逐步减少如果材料有两各正交的材料性能对称面，则对于和这两个相垂直的平面也有对称面（第三个）——正交各向异性——9个独立常数正应力与剪应变之间没有耦合，剪应力与正应变之间没有耦合不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用第15页,共93页，2024年2月25日，星期天第16页,共93页，2024年2月25日，星期天横观各向同性材料如果材料中每一点有一个方向的力学性能都相同，那么为横观各向同性材料——5个独立常数常常用来描述各向异性纤维和单向复合材料的弹性常数根据纯剪切和拉伸与压缩组合之间的等效推导而出1-2平面1，2可互换第17页,共93页，2024年2月25日，星期天各向同性材料如果材料完全是各向同性的，则2个独立常数第18页,共93页，2024年2月25日，星期天应变-应力关系（柔度矩阵）与刚度矩阵一样有相似的性质刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵第19页,共93页，2024年2月25日，星期天正轴、偏轴和一般情况第20页,共93页，2024年2月25日，星期天总结材料对称性的类型独立常数数量非零分量个数（正轴）非零分量个数（偏轴）非零分量个数（一般）三斜轴系21363636单斜轴系13203636正交各向异性9122036横观各向同性5122036各向同性2121212各向异性材料的性质更多地取决于非零分量的个数第21页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性材料的工程常数工程常数：可以用简单试验如拉伸、压缩、剪切、弯曲等获得具有很明显的物理解释这些常数比Cij或Sij中的各分量具有更明显的物理意义、更直观最简单的试验是在已知载荷或应力的条件下测量相应的位移或应变，因此柔度矩阵比刚度矩阵更能直接测定第22页,共93页，2024年2月25日，星期天第23页,共93页，2024年2月25日，星期天第24页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性材料用工程常数表示的柔度矩阵E1、E2、E3为1，2，3方向上的弹性模量

ij为应力在j方向上作用时i方向的横向应变的泊松比G23,G31,G12为2-3，3-1，1-2平面的剪切应变第25页,共93页，2024年2月25日，星期天

ij为应力在i方向上作用时j方向的横向应变的泊松比正交各向异性材料只有九个独立常数，现在有12个常数根据S矩阵的对称性，有：第26页,共93页，2024年2月25日，星期天

12和2112LL12LL应力作用在2方向引起的横向变形和应力作用在1方向引起的相同第27页,共93页，2024年2月25日，星期天刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵第28页,共93页，2024年2月25日，星期天第29页,共93页，2024年2月25日，星期天弹性常数的限制——各向同性材料为保证E和G为正值，即正应力或剪应力乘以正应变或剪应变产生正功对于各向同性体承受静压力P的作用，体积应变可定义为：如果K为负，静压力将引起体积膨胀第30页,共93页，2024年2月25日，星期天弹性常数的限制——

正交各向异性材料

情况很复杂，从热力学角度来讲，所有应力做功的和应为正值，联系应力应变的矩阵应该是正定的正定矩阵的行列式为正第31页,共93页，2024年2月25日，星期天弹性常数的限制——

正交各向异性材料C为正也可得到第32页,共93页，2024年2月25日，星期天弹性常数的限制——

正交各向异性材料为了用另外两个泊松比表达

21的界限，继续转化对

32

13可得相似的表达式第33页,共93页，2024年2月25日，星期天弹性常数的限制——作用突破传统材料的概念，大胆设计复合材料可以用来检验试验数据，看他们在数学弹性模型的范围内是否与实际一致解微分方程时，确定合适的工程实用解第34页,共93页，2024年2月25日，星期天平面应力状态与平面应变状态132312第35页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系123只有三个应力分量

1

2

12不为零柔度矩阵可简化为：第36页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系如果想求

3的话，还必须知道13

23工程常数12引起的推导第37页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系利用叠加原理：第38页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系第39页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性材料平面应力问题的应力应变关系4个独立的常数，E1,E2,

12和G12对于各向同性材料第40页,共93页，2024年2月25日，星期天已知T300/648单层板的工程弹性常数为试求它的正轴柔量和正轴模量。令例题第41页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系上述的时定义在正交各向异性材料的主方向上的，但材料的主方向往往和几何上适应解题要求的坐标轴方向不一致斜铺或缠绕12yx+

第42页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系用1-2坐标系中的应力来表示x-y坐标系中的应力的转换方程为转换的只是应力，而与材料的性质无关，同样：很麻烦！第43页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系我们引入Router矩阵方便！第44页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系对于材料主轴和坐标系一致的特殊的正交各向异性简单层板不一致时可简写[Q]的转换矩阵第45页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系九个非零分量，四个独立常数，但是广义的正交各向异性层板剪应变和正应力，剪应力和正应变存在耦合第46页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系我们也可以用应力来表示应变第47页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系对各向异性简单层板，同广义正交各向同性简单层板相类似新的工程常数——相互影响系数第一类相互影响系数：表示由ij平面内的剪切引起i方向上的伸长第二类相互影响系数：表示由i方向上的正应力引起ij平面内的剪切复合材料的偏轴向（非材料主方向）拉伸引起轴向伸长和剪切变形第48页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系

其他的各向异性弹性关系可以用来定义钦卓夫系数，其定义为：系数满足互等关系：

该系数是对剪应力和剪应变的，而泊松比是对正应力和正应变的，在平面应力情况下，钦卓夫系数不影响简单层板的面内性能。第49页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系第50页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系非主方向的xy坐标系下受力的正交各向异性简单层板的表观工程常数为：第51页,共93页，2024年2月25日，星期天简单层板在任意方向上的

应力-应变关系通过上述分析可见：正交各向异性简单层板在与材料主方向成一定角度方向上受力时，表观各向异性弹性模量是随角度变化的琼斯法则：材料性能的极值（最大值或最小值）并不一定发生在材料主方向设计材料第52页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的

不变量性质刚度矩阵分量是四个独立常数和角度的复杂函数Tsai&Pagano利用三角恒等式对刚度变换进行了有创造性的改造第53页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的

不变量性质利用三角恒等式：第54页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的

不变量性质第55页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的

不变量性质

在绕垂直于简单层板的轴旋转时，其刚度分量的部分值是不变的，U1U2U5为常数项，不随角度变化，有一定的含义，如拉伸模量，剪切模量等第56页,共93页，2024年2月25日，星期天举例：0

/20

/20

/20

/2Q11常数低频变量高频变量不随角度的变化，是刚度的有效量值Tsai&Pagano还提出：以后还要介绍第57页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的强度强度：重要概念复杂，在实际应用中，几乎没有单纯使用单层板的，主要是因为它们的横向拉伸与剪切强度和刚度太弱，尤其是强度，因此，多一层合板的的形式应用，即需要不同角度铺层的单层板，简单层板的强度分析是基础。目的：要用材料主方向上的特征表征任意方向上的特征（不同于传统材料的方法）实际应力场和许用应力场刚度方面的研究工作可以用来计算实际应力场现在要研究确定许用应力场第58页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的强度基本强度定义——材料主方向上Xt——纵向拉伸强度Xc——纵向压缩强度Yt——横向拉伸强度Yc——横向压缩强度S——面内剪切强度与4个工程弹性常数一起，称为复合材料的9个工程常数强度是应力方向上的函数第59页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的强度各向同性材料的强度指标用于表示材料在简单应力下的强度塑性材料：屈服极限或条件屈服极限脆性材料：强度极限剪切屈服极限疲劳等正交各向异性材料强度随方向不同变化拉伸和压缩失效的机理不同面内剪切强度也是独立的第60页,共93页，2024年2月25日，星期天示例12考虑单向纤维简单层板，假设强度为：其应力场为：最大主应力低于最大强度，但

2比Y大，在2方向上破坏第61页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的强度材料主方向上的剪切强度和拉伸与压缩性能的差别无关，对于拉伸和压缩性能不同的材料，不管剪应力是正还是负，都具有相同的最大值非材料主方向的剪应力的最大值依赖于剪应力的符号对于作用在与材料主方向成45o的正和负的剪应力的表观剪切强度和刚度是不同的材料主方向上的基本资料如何转换到其他有用的依赖于所考虑的应力场坐标的方向第62页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的强度12121212+-+-材料主方向上的剪应力与材料主方向上成45度角的的剪应力第63页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定基本强度特性Xt——纵向拉伸强度；Xc——纵向压缩强度Yt——横向拉伸强度；Yc——横向压缩强度S——面内剪切强度刚度特性为：E1——1-方向上的弹性模量；E2——2-方向上的弹性模量

12——-2/1，当1=，而其他应力皆为零；

21——-1/2，当2=，而其他应力皆为零；G12——在1-2平面内的剪切模量第64页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定试验的基本原则当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，材料的应力-应变关系也应该是线性的。一般来讲，拉伸试验的线性保持很好，而压缩和剪切，尤其是剪切对大多数复合材料来说，是非线性的试验中的关键，是使试件承受均匀的应力，这对各向同性材料是容易的第65页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定正应力和剪应变剪应力和正应变正应力和弯曲曲率弯曲应力和正应变耦合影响对正交各向异性材料当载荷作用在非材料主方向时，正交各向异性性能常常导致：第66页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定单向增强简单层板在1-方向上的单向拉伸试验12PP×

1

11E1

1极限=X测量

1、

2第67页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定单向增强简单层板在2-方向上的单向拉伸试验21PP×

2

21E2

2极限=Y测量

1、

2第68页,共93页，2024年2月25日，星期天刚度性能必须满足互等关系式：测量的数据不准确；进行的计算有错误材料不能用线弹性应力-应变关系式描述如果不满足第69页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定单向增强简单层板在和1-方向成450角的单向拉伸试验4502y11xPP

x

x1Ex测量

xG12是推导量根据第70页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定无端部效应端部受到限制第71页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定对于剪切强度，不存在像刚度一样的关系式

不能依赖于本试验来决定极限剪应力S，因为伴随的剪切破坏并不引起纯剪切变形，要考虑其他方法测量剪切强度的方法第72页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定惠特尼、帕加诺和派普斯描述的管子扭转试验xyTTt

xy第73页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定惠特尼、斯坦斯巴杰和豪厄尔（Whitney,Stansbarger,Idowell)所描述的轨道剪切试验端部效应比实际值低广泛应用轨道剪切试验-双轨或三轨第74页,共93页，2024年2月25日，星期天强度和刚度的试验确定肖克提供的十字梁试验中心局部有剪切不太合适第75页,共93页，2024年2月25日，星期天Iosipescu剪切试验中间断面剪应力平均分布而不是抛物线分布缺口没有应力集中第76页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的

二向强度理论上述方法，多是在单向应力状态下实际使用过程中，物体所受三向或双向载荷的作用通过联合或多向加载试验获得强度包络线，通过变换，形成破坏准则破坏准则仅仅是预测破坏的发生，而不是实际上的破坏模型，不能从机理上阐述破坏第77页,共93页，2024年2月25日，星期天正交各向异性简单层板的

二向强度理论

x

y试验破坏数据××破坏屈服第78页,共93页，2024年2月25日，星期天最大应力理论单层板在平面应力状态下，主方向的任意一个分量达到极限应力时，就发生破坏或失效失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达式组成的，实际上有三个分准则必须转换成材料主方向上的应力理论预报与材料试验值温和的不好第79页,共93页，2024年2月25日，星期天最大应力理论拉伸时压缩时第80页,共93页，2024年2月25日，星期天最大应变理论单层板在平面应力状态下，主方向的任意一个分量达到极限应变时，就发生破坏或失效失效准则有3个相互不影响，各自独立的表达式组成的，实际上有三个分准则必须转换成材料主方向上的应变和最大应力理论相比,在最大应变准则中包含了泊松比项,也就是说，最大应变理论中考虑了另一弹性主方向应力的影响，如果泊松比很小，这个影响就很小与试验结果偏差也较大第81页,共93页，2024年2月25日，星期天最大应变理论拉伸时压缩时第82页,共93页，2024年2月25日，星期天最大应变理论第83页,共93页，2024年2月25日，星期天蔡-希尔理论(Tsai-Hill)Hill对各向异性材料，提出了屈服准则：在弹性范围内，可以作为各向异性材料的强度准则，屈服强度F,G,H,L,M,N可以认为是破坏强度第84页,共93页，2024年2月25日，星期天蔡-希尔理论(Tsai-Hill)如果只