专题1.2 集合间的基本关系【九大题型】（举一反三）（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题1.2集合间的基本关系【九大题型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【题型1子集、真子集的概念】 2【题型2有限集合子集、真子集的确定】 3【题型3判断两个集合是否相等】 5【题型4根据两个集合相等求参数】 6【题型5空集的判断及应用】 7【题型6Venn图表示集合的关系】 9【题型7集合间关系的判断】 11【题型8利用集合间的关系求参数】 12【题型9集合间关系中的新定义问题】 14【知识点1子集与真子集】1．子集的概念定义一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集记法

与读法记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)图示或结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即；

(2)对于集合A,B,C，若，且，则2．真子集的概念定义如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集记法记作(或)图示结论(1)且，则；

(2)，且，则【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“AB”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.(4)对于集合A，B，C，若AB，BC，则AC；任何集合都不是它本身的真子集.(5)若AB，且A≠B，则AB.【题型1子集、真子集的概念】【例1】（2023·高一课时练习）已知A是非空集合，则下列关系不正确的是（

）A．A⊆A B．A⊂≠A C【解题思路】根据集合间的关系，以及子集，真子集，空集的定义即可求解.【解答过程】由于A是非空集合，所以A⊆A，∅⊆A，∅⊂≠A，但是A不是故选：B.【变式1-1】（2023·高一课时练习）集合A={x∣0≤xA．16 B．15 C．8 D．7【解题思路】用列举法表示集合A，根据下面的结论求解：含有n个元素的集合的真子集的个数是2n【解答过程】A=0,1,2,3，集合A含有4个元素，真子集的个数是故选：B．【变式1-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=0,1,2,3，则含有元素0的A的子集个数是（A．2 B．4C．6 D．8【解题思路】列出含有元素0的A的子集，求出答案.【解答过程】含有元素0的A的子集有0，0,1，0,2，0,3，0,1,2，0,1,3，0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A的子集个数为8.故选：D.【变式1-3】（2023·河南·统考模拟预测）已知集合A=x∈N-A．6 B．7 C．14 D．15【解题思路】根据自然数集的特征，结合子集的个数公式进行求解即可.【解答过程】因为A=所以集合A的元素个数为3，因此集合A的所有非空真子集的个数是23故选：A.【题型2有限集合子集、真子集的确定】【例2】（2023·高一课时练习）满足1,2⊆A⊆1,2,3,4的集合A．2 B．3 C．4 D．5【解题思路】利用列举法求得集合A的个数.【解答过程】由于1,2⊆所以A=1,2,A故选：C.【变式2-1】（2023·江西景德镇·统考模拟预测）已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12，则A．1 B．3 C．4 D．6【解题思路】首先列出集合A的非空子集，即可得到方程，解得即可.【解答过程】解：集合A=a,b的非空子集有a、所以a+解得a+故选：D.【变式2-2】（2023·全国·高一假期作业）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，若a∈M，则6-a∈M，那么集合M的个数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解题思路】由条件知集合M的元素性质,分类讨论验证即可.【解答过程】∵a∈M，6-a∈M，M⊆{1，2，3，4，5}，∴3在M中可单独出现，1和5，2和4必须成对出现，逐个分析集合M元素个数：一个元素时，为{3}；两个元素时，为{1，5}，{2，4}；三个元素时，为{3，1，5}，{3，2，4}；四个元素时，为{1，5，2，4}；五个元素时，为{1，5，3，2，4}，共7个.故选：C.【变式2-3】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知A=1,2，B=1,2,6,7,8，且A⊊A．6 B．7 C．8 D．9【解题思路】由集合间的基本关系A⊊C⊆B【解答过程】根据题意可知，集合C还应包含集合B中除元素1，2之外的其他元素；若集合C中有三个元素，则C可以是1,2,6,，若集合C中有四个元素，则C可以是1,2,6,7，若集合C中有五个元素，则C可以是1,2,6,7,8；即这样的集合C的个数为7个.故选：B.【知识点2集合相等与空集】1．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.2．空集的概念(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.(2)规定：空集是任何集合的子集.3．Venn图的优点及其表示(1)优点：形象直观.(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.【题型3判断两个集合是否相等】【例3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合M={1,0}，则与集合M相等的集合为（

A．(x,yC．xx=(-1)【解题思路】求出每个选项的集合，即可比较得出.【解答过程】对A，(x,y对B，{(x,y对C，xx=(-1)对D，x-1<x<2故选：D.【变式3-1】（2023秋·辽宁沈阳·高一校考阶段练习）下面说法中不正确的为（

）A．{x|xC．{x|x【解题思路】根据给定条件，利用集合的意义及表示法逐项分析判断作答.【解答过程】对于A，因{x|x+y=1}=R对于B，因集合{(x,y)|x对于C，因集合{x|x>2}与{y|y对于D，由列举法表示集合知{1,2}={2,1}正确，D正确.故选：B.【变式3-2】（2023·全国·高一假期作业）已知集合M=(x,yA．P⊆M B．M⊆P C．【解题思路】先利用不等式的性质化简集合M，再利用集合与集合间的关系可知，M=N【解答过程】由x+y<0所以M=又P=(x故选：C.【变式3-3】（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合A=x|x=192kA．A⊆B B．B⊆A C．A=B【解题思路】对k分奇偶进行讨论，即可判断集合A，B之间的关系.【解答过程】对于集合A，当k=2nn∈Z时，A=x|故选：C.【题型4根据两个集合相等求参数】【例4】（2023春·湖南长沙·高二校考期末）已知实数集合A=1,a,A．-1 B．0 C．1 D．【解题思路】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求a2=1ab=b和a【解答过程】由题意A=得到a2=1ab=b解得a=-1b=0或故选:A.【变式4-1】（2023·广西河池·校联考模拟预测）设集合M={5，x2}，N={5x，5}．若M=N，则实数x的值组成的集合为（

）A．{5} B．{1} C．{0，5} D．{0，1}【解题思路】利用集合相等求解.【解答过程】解：因为M=所以x2解得x=0或5∴x的取值集合为0,5故选：C.【变式4-2】（2023·江西·校联考模拟预测）已知集合A=1,a,b，B=aA．-1 B．0 C．1 D．【解题思路】根据A=B，可得两集合元素全部相等，分别求a2=1ab=b和【解答过程】由题意A=B可知，两集合元素全部相等，得到a2=1ab=b或a2=bab=1，又根据集合互异性，可知a≠1，解得a=1(舍)故选：A.【变式4-3】（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（

）A．{1} B．{1，2}C．{2，5} D．{1，5}【解题思路】根据集合的相等的意义得到x2＋px＋q＝x即x2+p-1x+q=0有且只有一个实数解【解答过程】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，x2＋px＋q＝x即x2+p∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出p＝－3，q＝4.则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；即(x－1)2－4(x－1)＝0；则x－1＝0或x－1＝4，计算得出x＝1或x＝5.所以集合B＝{1，5}．故选：D.【题型5空集的判断及应用】【例5】（2023·全国·高一假期作业）下列集合中为∅的是（

）A．0 B．∅C．{x|x【解题思路】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.【解答过程】对于A中，由集合0中有一个元素0，不符合题意；对于B中，由集合∅中有一个元素∅，不符合题意；对于C中，由方程x2+4=0，即x2对于D中，不等式x+1≤2x，解得x≥1，故选：C.【变式5-1】（2023·全国·高一假期作业）下列四个集合中，是空集的是（

）A．x|x+3=3C．x|x2【解题思路】对每个集合进行逐一检验，研究集合内的元素是否存在即可选出.【解答过程】选项A，x|选项B，(x选项C，x|选项D，x2-x+1=0,Δ故选:D.【变式5-2】（2023·全国·高一假期作业）已知六个关系式①∅∈{∅}；②∅⊂≠{∅}；③{0}⊃≠∅；④0∉∅；⑤A．3 B．4 C．5 D．6【解题思路】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误.【解答过程】根据元素与集合、集合与集合关系：∅是{∅}的一个元素，故∅∈{∅}，①∅是任何非空集合的真子集，故∅⊂≠{∅}、{0}∅没有元素，故0∉∅，④正确；且∅≠{0}、∅≠{∅}，⑤错误，所以①②③④⑥正确.故选：C.【变式5-3】（2023春·宁夏银川·高二校考期中）下列各式中：①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅={0}；⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.正确的个数是（A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【解答过程】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{0,1,2}⊆{2,1,0}，正确；③空集是任意集合的子集，故∅⊆{0,1,2}④空集没有任何元素，故∅≠{0}⑤两个集合所研究的对象不同，故{0,1},{(0,1)}为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.【题型6Venn图表示集合的关系】【例6】（2022·上海·高一专题练习）已知集合U=R，则正确表示集合M={-1，0，1}和N={x|x2-x=0}关系的文氏图是（）A． B．C． D．【解题思路】先求得集合N，判断出M,N【解答过程】N={x|x2-x=0}={0，1}，M={-1，0，1}，所以N⊆M，所以选B.故选：B.【变式6-1】（2023·高一课时练习）能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是（

）A． B．C． D．【解题思路】先求集合N,再判断集合间的关系【解答过程】N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N⊆M.故选：B.【变式6-2】（2022秋·浙江金华·高一校考阶段练习）已知集合U=1,2,3,4,5,6，A=1,2,3，集合A与A．2,4,5 B．1,2,5 C．1,6 D．1,3【解题思路】由图可得B⊆A【解答过程】解：由图可知：B⊆∵A由选项可知：1,3⊆故选：D.【变式6-3】（2022秋·高一课时练习）已知集合U、S、T、F的关系如图所示，则下列关系正确的是()①S∈U；②F⊆T；③S⊆T；④S⊆F；⑤S∈F；⑥F⊆U.A．①③ B．②③C．③④ D．③⑥【解题思路】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，分别进行判断，能够得到正确答案．【解答过程】观察Venn图中集合U，S，T，F的关系，①S∈U，故错误；②F⊆T，故错误，③S⊆T，故正确；④S⊆F；故错误，⑤S∈F，故错误，⑥F⊆U，故正确；故选D．【知识点3集合间关系的性质】集合间关系的性质：(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.(2)对于集合A，B，C，①若AB，且BC，则AC；②若AB，B=C，则AC.(3)若AB，A≠B，则AB.【题型7集合间关系的判断】【例7】（2023·江苏·高一假期作业）集合A={(x,y)|A．AB．BC．B=D．集合A,【解题思路】根据结合A,B所表示点的几何意义，以及原点(0,0)与集合A【解答过程】由集合A={(x,又由结合B={(x,因为(0,0)∈A，但(0,0)∉B，所以集合A与B故选：D.【变式7-1】（2023春·北京·高三校考开学考试）集合A=-2,-1,0，若A⊆BA．-1 B．-1,1 C．-1,0,1【解题思路】由题可得A是B的子集，据此可得答案.【解答过程】由题可得A是B的子集，则B=-故选：D.【变式7-2】（2023·全国·高三专题练习）设集合M={x|x=kπ+π2A．M=N B．M⊊N C．【解题思路】对于集合N，令k=2m(m【解答过程】M={x|x=kπ2对于集合N，当k=2m(m∈当k=2m-1(m∴M故选：B．【变式7-3】（2023春·江西新余·高一校考阶段练习）若A={x|x=k6A．A⊆B⊆C B．A⊆C【解题思路】分析给定的三个集合的约束条件，探讨它们的关系即可判断作答.【解答过程】依题意，A={x|C={x|x=4k+3因此集合C中的任意元素都是集合B中的元素，即有C⊆B，集合B中的每一个元素都是集合A中的元素，即所以C⊆故选：C.【题型8利用集合间的关系求参数】【例8】（2023·全国·高三专题练习）设集合A=0,-a，B=1,a-A．2 B．1 C．23 D．【解题思路】根据包含关系分a-2=0和2【解答过程】因为A⊆若a-2=0，解得a=2，此时A若2a-2=0，解得a=1，此时综上所述：a=1故选：B.【变式8-1】（2023·四川成都·校考模拟预测）已知集合A=x∈N|x<2,BA．12或1 B．0或1 C．1 D．【解题思路】先求得合A=0,1，再分a=0和【解答过程】解：由集合A=对于方程ax-当a=0时，此时方程无解，可得集合B=∅，满足B当a≠0时，解得x=1a，要使得BA，则满足所以实数a的值为0或1.故选：B.【变式8-2】（2023·全国·高三专题练习）设a,b∈R，A={1,a}，BA．-1 B．-2 C．2 D【解题思路】根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a、b，即可求a-【解答过程】由A⊆B知：A=B，即∴a-故选：D.【变式8-3】（2023春·河北保定·高三校考阶段练习）已知集合A={x|x≥11}，B=xA．-∞,4 B．-∞,4 C．【解题思路】由集合的包含关系列不等式，即可得结果.【解答过