函数的概念 2023-2024学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第二册）

3.1.1

函数的概念自主预习·新知导学合作探究·释疑解惑易

错

辨

析

自主预习·新知导学一、函数的概念1.阅读以下例子:①集合A={1,2,3,4},B={3,5,7,9},x∈A,y∈B,y=2x+1;②集合A={x|-3≤x≤0},B={y|0≤y≤10},x∈A,y∈B,y=x2;③集合A={4019,4020,4021},B={0.07,0.08,0.06},x与y的对应关系如下表:x401940204021y0.070.080.06(1)以上3个例子中,集合A,B中的元素有什么特点?(2)按照给出的x与y的对应关系,对于集合A中的任意一个实数,在集合B中是否都有与之对应的实数?与之对应的实数是否唯一?(3)集合B中的每一个实数都有集合A中的某一实数与之对应吗?提示:(1)都是实数,即A,B均为非空的实数集.(2)都有,唯一.(3)不一定.2.一般地,设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.3.二、区间与无穷大1.集合的表示方法有哪几种?提示:列举法、描述法、Venn图法.2.设a,b是两个实数,而且a<b,我们规定:(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示为[a,b];(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示为(a,b);(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,分别表示为[a,b),(a,b].这里的实数a与b都叫做相应区间的端点.实数集R可以用区间表示为(-∞,+∞),“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作正无穷大.3.将下列集合用恰当的区间表示:(1){x|-1<x<4};

(2){x|x≥3};(3){x|x<-5}; (4){x|2≤x<6}.解:(1)(-1,4);(2)[3,+∞);(3)(-∞,-5);(4)[2,6).三、函数的三要素1.以下各对函数的定义域、对应关系、值域是否相同?提示:(1)对应关系相同,定义域、值域不同;(2)定义域相同,对应关系、值域不同;(3)定义域、对应关系、值域都相同.2.(1)由函数的定义可知,一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.答案:C【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.(1)区间是数集的另外一种表示形式,任何数集都可用区间表示.(×)(2)集合{x|x≥4}可用区间表示为[4,+∞].(×)(3)函数的定义域和值域不一定是无限集合.(√)(4)若f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,则该函数的值域就是B.(×

)(5)函数值域中的每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应.(×)

合作探究·释疑解惑探究一

函数关系的判断【例1】

给出下列对应关系,其中是从A到B的函数的有

.(填序号)

解析:①A中的元素0在B中没有元素与之对应,故该对应关系不是从A到B的函数;②对于A中的任意一个元素x(x是整数),在B中都有唯一确定的整数y=x2-1与之对应,故这一对应关系是从A到B的函数;③A中的元素x是负实数时,在B中没有元素与之对应,故该对应关系不是从A到B的函数;④对于A中的任意一个元素x,在B中都有唯一确定的数1与之对应,故这一对应关系是从A到B的函数;⑤A中的元素-2在B中没有元素与之对应,故该对应关系不是从A到B的函数.答案:②④

反思感悟判断一个对应关系是不是函数关系的方法:(1)分析定义域和对应关系是否已经给出;(2)分析自变量的取值范围中是否每一个值都有与之对应的元素;(3)分析与自变量的每一个取值对应的元素是否唯一.【变式训练1】

下列对应或关系式中是A到B的函数的是(

)答案:B探究二

函数定义域的求解(4)矩形的周长为60,其中一边的长为x,另一边的长y是关于x的函数y=f(x).(4)依题意,x>0,且2x+2y=60,于是y=f(x)=30-x.又y>0,所以30-x>0,解得x<30,故自变量x的取值范围是0<x<30,即函数f(x)的定义域为(0,30).反思感悟1.求函数定义域的常用依据:(1)若f(x)是分式,则应考虑使分母不为零;(2)若f(x)是偶次根式,则被开方数大于或等于零;(3)若f(x)是由几个式子构成的,则函数的定义域是几个式子定义域的交集;(4)若f(x)是实际问题的解析式,则应符合实际问题,使实际问题有意义.2.求函数定义域的一般步骤:(1)根据解析式有意义的条件,列出关于自变量的不等式(组);(2)求得所列不等式的解集或所列不等式组中每个不等式的解集的交集;(3)把不等式(组)的解集用集合或区间表示,即得函数的定义域.探究三

区间及其应用【例3】

将下列区间与集合分别用集合、区间表示:(1)(-3,7),(-∞,-4],(0,3)∪(3,8);(2){x|1≤x<6},{x∈R|x≠-2},{x∈R|x2≥9}.解:(1)区间(-3,7)可表示为{x|-3<x<7},区间(-∞,-4]可表示为{x|x≤-4},区间(0,3)∪(3,8)可表示为{x|0<x<3,或3<x<8}或{x|0<x<8,且x≠3}.(2)集合{x|1≤x<6}可表示为[1,6),集合{x∈R|x≠-2}可表示为(-∞,-2)∪(-2,+∞),集合{x∈R|x2≥9}={x|x≥3,或x≤-3}可表示为(-∞,-3]∪[3,+∞).反思感悟运用区间表示集合时应注意以下几点(1)区间内的两个数用“,”隔开;(2)区间中左边的数一定比右边的数小;(3)无穷大“∞”是一个符号,不是一个数,以“+∞”或“-∞”为区间的一端时,这一端必须用小括号;(4)两部分区间表示一个集合时,应用“∪”连接;(5)只有由实数组成的集合才能用区间来表示.【变式训练2】

若[m2,2m+3]是一个确定的区间,则实数m的取值范围是

.

解析:依题意有m2<2m+3,即m2-2m-3<0,解得-1<m<3,即实数m的取值范围是(-1,3).答案:(-1,3)易

错

辨

析忽视同一个函数的条件致错【典例】

下列各对函数中是同一个函数的有

.(填序号)

错解:①②③以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:错解原因一方面是忽视了对两个函数定义域的分析比较,另一方面是对函数自变量的符号表示规则不清.③由于函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0},g(x)的定义域为R,因此两个函数的定义域不同,两个函数不是同一个函数;④因为两个函数的定义域和对应关系都相同,只是表示自变量的字母不同,所以两个函数是同一个函数.答案:②④防范措施