修订版全国各地中考数学试题分类汇编考点二次函数的应用

二次函数的应用（代数）A

一、选择题

L

1.（2011浙江湖州，10,3）如图，已知48是反比例面数y=-（&>0/>0）图象上的两点，

x

BC//X轴，交y轴于点C,动点P从坐标原点。出发，沿O—ATBTC（图中“一”所示

路线）匀速运动，终点为C.过P作PA/Lx轴，PNLy轴，垂足分别为A/、N.设四

边形0MPN的面积为S,P点运动时间为t,则S关于t的函数图象大致为

【答案】A

2.（2011台湾全区，19）坐标平面上，二次函数夕=/一6x+3的图形与下列哪一个方程

式的图形没有交点?

A.x=50B.x=-50C.y=50D.y=~50

【答案】D

二、填空题

3,

1.（2011江苏扬州，17,3分）如图，已知函数丁=一一与卜=依2+加；（a>0,b>0）的图

X

_,3

象交于点P，点P的纵坐标为1,则关于X的方程以2+/?X+-=0的解为

【答案】-3

三、解答题

1.(2011浙江金华，23,10分)在平面直角坐标系中，如图1,将〃个边长为1的正方形

并排组成矩形OABC,相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线

厂办2+6x+c(a<0)过矩形顶点8、C.

(1)当〃=1时，如果o=-1,试求6的值；

(2)当〃=2时，如图2,在矩形048。上方作一边长为1的正方形使EF在线段

CB匕如果V,N两点也在抛物线匕求出此时抛物线的解析式；

(3)将矩形。8c绕点。顺时针旋转，使得点8落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时

经过原点O,

①试求出当〃=3时a的值；

②直接写出。关于〃的关系式.

分

(3)①当〃=3时，OC=1,BC=3,

设所求抛物线解析式为y^ax2+bx,

过C作于点。，则RfAOCDsRfACBD,

.OPOC\

~CD~~BC~T

设OD=f,则CD=3t,

•：OD2+CD2=OC2,

：.(3/r+/=『，

:.c巫:M),又B(V10,0),

1010

.•.把B、C坐标代入抛物线解析式，得

0=10“+71巫，

解得L平

3心1V10,2分

—V10=——o-\h.

1101010

CA/H+1

@a=--------2分

n

(2011福建福州,22,14分)已知，如图11,二次函数歹=浸+2*-3。(0工0)图象的顶

点为，，与x轴交于2、8两点(8在4点右侧)，点〃、8关于直线/:夕=坐丫+百对称.

(1)求4、8两点坐标，并证明点Z在直线/匕

(2)求二次函数解析式;

(3)过点8作直线2K//4H交直线？于K点,M、N分别为直线加7和直线/上的两个动

点，连接HN、NM、砂,求期+初1/+胸和的最小值.

4

【答案】解：(1)依题意，得ax2+2ax-3a=0(a^0)

解得士=-3,忆=1

；B点在A点右侧

，A点坐标为(-3.0),B点坐标为(1.0)

:直线/:夕=9+石

当x=-3时,y=^x(-3)+6=0

(2)•点4、8关于过4点的直线/：y=平才+力对称

，AH=AB=4

过顶点H作HC交4B于C点、

则打制/8=2,叱=2石

顶点”(-1,26)

把"(-1,26)代入二次函数解析式，解得a=-小

二次函数解析式为y=-日工2-岛+岁

(3)直线AH的解析式为y=瓜+3G

直线BK的解析式为y=&-也

由屋；一曜解得屋有

即K（3,2百），则8K=4

,:点、H、8关于直线NK对称

/.HN+MN的最小值是MB,过K作K。_Lx轴于D点。KD=KE=2框

过点K作直线AH的对称点。，连接QK,交直线4H于E

则。/=髅，0E=EK=2G,ZE，0K

BM+MK的最小值是8。,即BQ的长是HN+NM+MK的最小值

BK//AH

：.ZBKQ=ZHEQ=90°

在放BKQ由勾股定理得。8=8

HN+NM+MK的最小值为8

(不同解法参照给分)

已知关于x的二次函数尸亦2+版+也＞0)的图象经过点C(0,1),且与x轴交于不同的两

点/、8,点A的坐标是(1,0).

(1)求c的值:

(2)求〃的取值范围；

(3)该二次函数的图象与直线y=l交于C、O两点，设“、B、C、。四点构成的四边形

的对角线相交于点尸，记△尸CD的面积为S，△以8的面积为$2，当0<。<1时，求证：

S-S2为常数，并求出该常数.

【答案】(1)c=l

(2)将C(0,1),A(1,0)得

。+6+1=0

故b=—a—1

由b2~4ac>0,可得

(-a—1)"—4a>0

即(°-1)2>0

故存1,又a>0

所以a的取值范围是a>0且a/1.

(3)由题意b=—a—1可得一,故B在A的右边，B点坐标为(一£—1,0)

C(0,1),D(一/1)

L.L.

|AB|=---l-l=---2

ICDIT

S]—S2=S/^CDA-SABCW*|CD|xl--X|AB|X1

=4x(­-)xl—(---2)xl

2a2a

=1

所以S]-S2为常数，该常数为1.

4.(2011山东日照，24,10分)如图，抛物线产以2+6X(a>0)与双曲线产="相交于点

x

A,B.已知点8的坐标为(-2,—2),点工在第一象限内，且tanNNOx=4.过点N作直

线/C〃x轴，交抛物线于另一点C.

(1)求双曲线和抛物线的解析式；

(2)计算△/8C的面积；

(3)在抛物线上.是否存在点。，使△48。的面积等于△43。的面积.若存在，请你写出点

。的坐标；若不存在，请你说明理由.

k

【答案】(1)把点5(—2,-2)的坐标，代入户一，

x

k

得：—2=-----,.\k=4.

-2

4

即双曲线的解析式为：j=--

x

设A点的坐标为(m,〃)。TA点在双曲线上，.•・/n〃=4.…①

m

XVtanZA0x=4,:.—=4,即6=4〃・・••②

n

又①，②，得：/i2=l,.\n=±l.

■A点在第一象限，，/i=l即=4,工A点的坐标为(1,4)

4—Q+b

把4、B点的坐标代入尸得：\'解得a=l,Z>=3；

-2-4a-2b

，抛物线的解析式为：y=x2+3x；(2)；4C〃x轴，...点C的纵坐标产4,

代入得方程F+3x—4=0,解得*i=-4,x2=l(舍去).

点的坐标为(-4,4),且AC=5,

又5c的高为6,.,.△ABC的面积='X5X6=15；

2

(3)存在。点使ZkAB。的面积等于△ABC的面积.

过点C作CD//AB交抛物线于另一点D.

因为直线45相应的一次函数是：y=2x+2,且C点的坐标为(-4,4),CD//AB,

所以直线。相应的一次函数是：y=2x+I2.

解方程组卜=厂+比得所以点D的坐标是(3,18)

[y=2x+12,3=18,

5.(2011浙江省，24,14分)如图，在直角坐标系中，抛物线丁=办2+瓜+。(存0)与

x轴交与点A(-1,0)、B(3,0)两点，抛物线交y轴于点C(0,3),点D为抛物线的顶点.直

线y=x—1交抛物线于点M、N两点，过线段MN上一点P作y轴的平行线交抛物线于点Q.

(1)求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)问点P在何处时;线段PQ最长，最长为多少？

(3)设E为线段OC上的三等分点，链接EP,EQ,若EP=EQ,求点P的坐标.

【答案】：(1)由题意，得:

a-b+c=0a=-1

9。+36+c=0<b=2

c=3解得：〔

J；=_X2+2X+3=-(X-1)2+4,顶点坐标为(1,4).

(2)由题意，得P(x,x-1),Q(x,-x2+2x+3)»

,1,1

***线段PQ=_X2+2X+3_(XT)=-x2+x+4=+4-

当x=；时，线段PQ最长为4；。

(3)TE为线段OC上的三等分点，OC=3,/.E(0,1),或E(0,2)

VEP=EQ,PQ与y轴平行，

2

2XOE=-X+2X+3+(X-1)

当OE=1时，xi=0,X2=3,点P坐标为(0,-1)或(3,2)。

当OE=2时，xi=l,xz=2,点P坐标为(1,0)或(2,1)»

6.(2011浙江温州，22,10分)如图，在平面直角坐标系中，。是坐标原点，点Z的坐标

是（一2,4）,过点/作轴，垂足为8,连结04

（1）求△0/8的面积；

（2）若抛物线y=-》2-2x+c经过点力.

①求c的值；

②将抛物线向下平移机个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△048的内部（不包

括△WB的边界），求机的取值范围（直接写出答案即可）.

（第22题图）

【答案】解：（1）•••点4的坐标是（一2,4）,轴,

：.AB=2,08=4,

S&OAB=—xABxOB=-x2x4=4

(2)①把点A的坐标(-2,4)代入y=-x?-2x+c,

得-(-2>-2x(-2)+c=4,/.c=4

@VJ；=-X2-2X+4=-(X+1)2+4,

抛物线顶点D的坐标是(一1,5),AB的中点E的坐标是(一1,4),0A

的中点尸的坐标是（一1,2）,

：.m的取值范围为l</n<3,

7.(2011浙江丽水，23,10分)在平面直角坐标系中，如图1,将〃个边长为1的正方形

并排组成矩形相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线

产状2+6x+c(a<0)过矩形顶点B、C.

(1)当〃=1时，如果(?=—1,试求6的值：

(2)当〃=2时，如图2,在矩形0/8C上方作一边长为I的正方形使E厂在线段C8

上，如果胡，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

(3)将矩形W8C绕点O顺时针旋转，使得点8落到x轴的正半轴匕如果该抛物线同时经

过原点O,

①试求出当〃=3时a的值；

②直接写出。关于〃的关系式.

【解】(1)由题意可知，抛物线对称轴为直线耳,

~2a~2'得》=1；

y

(2)设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+\,

由对称性可知抛物线经过点2(2,1)和点M/2),

(1=4a+2h+1,a=一

九小L叫谆

4R

所求抛物线解析式为产一x+1：

(3)①当〃=3时，OC=1,BC=3,

设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx,

过C作CD_LOB于点D,则RtAOCD^RtACBD,

.ODOC]

,,CD~BC

设OD=t,WiJCD=3t,

•：oB+B=od,

(3r)2+/2=l2,/.>

C(丽)，又8C\/T6，o),

.•.把8、C坐标代入抛物线解析式，得

0=\Qa-^\[\0b9r—

,3E1叵解得：o=一然；

8.（2011江西，24,10分）将抛物线5：尸一JJx?+右沿x轴翻折，得抛物线C2,如图所

示.

（1）请直接写出抛物线C2的表达式.

（2）现将抛物线5向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M,与x轴的

交点从左到右依次为A,B；将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物

线的顶点为N,与x轴交点从左到右依次为D,E.

①当B,D是线段AE的三等分点时，求m的值；

②在平移过程中，是否存在以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请

求出此时m的值；若不存在，请说明理由.

备用图

【答案】

【答案】解：⑴y=J5x2—

（2）①令一V3x2+V3=0,得xi=-1,X2=1,则抛物线ci与x轴的两个交点坐标为（-1,0）,（1,

0).A(—1—m,0),B(l+m,0).

当AD=；AE时，如图①，(-1+m)—(―1—m)[(1+m)—(―1—m)],

当AB=§AE时，如图②，(1—m)—(―1—m)[(1+m)—(―1—m)],.\m=2.

...当m=，或2时，B,D是线段AE的三等分点.

2

②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M(一m,一也).即M,N关于原

点O对称，•••OM=ON.；A(—l-m,0),E(l+m,0),，A,E关于原点O对称，；.OA=OE,

二四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA,即

m2+(VJ)2=[—(―1—m)]2,/.m=1.

...当m=l时，以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形.

9.(2011甘肃兰州，28,12分)如图所示，在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边

长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=or?+bx+c经过

2

点A、B和D(4,----)o

3

(1)求抛物线的表达式。

(2)如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q由点B出发，

沿BC边以lcm/s

的速度向点C运动，当其中一点到达终点时、另一点也随之停止运动。设5=「()2(cm?)。

①试求出S与运动时间t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；

②当S取』时，在抛物线上是否存在点R,使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行

4

四边形？如果存在，求出R点的坐标；如果不存在，请说明理由。

(3)在抛物线的对称轴上求点M,使得M到D、A的距离之差最大，求出点M的坐标。

【答案】(1)由题意得A(0,-2),B(2,-2),抛物线y+&C+C过A、B、D三

点得

]_

4。+26+。=-26

2

16。+46+c=——解得<b

3-3

c--2c=-2

1)1

抛物线的表达式为y=-2

63

(2)①S=PQ2=8尸2+8。2=Q-2/>+/=5/一8+4(0<t<l)

②由5/-8/+4=工解得1=工或1=口(不合题意，舍去)

4210

3

此时，P(1,-2),B(2,-2),Q(2,一一)

2

35

若以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形，则R(3,——)或(1,一己)或(1,

22

_2)

2

3

经代入抛物线表达式检验，只有点R(3,--)在抛物线上

2

3

所以抛物线上存在点R(3,--)使得以点P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形。

2

(3)过B、D的直线交抛物线对称轴于点M,则该点即为所求。因为如在对称轴上另取一

点N,则

ND-NA=ND-NB〈BD,而MD-MA=MD-MB=BD,故点M到D、A的距离之差最大。

2210

由B(2,一2)、D(4,求得直线BD的解析式为歹=§x—5

10.（2011湖南益阳,20,10分）如图9,已知抛物线经过阿，卓/（1,0）,它的顶点P是》

轴正半轴上的一个到卓，尸点关于x轴的对称点为P,过P作x轴的平行线交抛物线于8、

D两点（B点在y轴右侧），直线BA交y轴于C点.按从特殊到一般的规律探究线段CA与

CB的比值:

（1）当尸点坐标为（0,1）时，写出抛物线的解析式并求线段C/与C8的比值；

（2）若P点坐标为（0,w）时（机为任意正实数），线段C4与CB的比值是否与⑴所

求的比值相同？请说明理由.

【答案】解：⑴设抛物线的解析式为夕="2+1（。*0）,

...抛物线经过4（1,0），:.Q=a+\,a=-\,

y=-x2+1.

•；P'、P关于x轴对称，且尸（0,1）,.•/点的坐标为（0,-1）

•••P'B〃x轴,3点的纵坐标为-1,

由一1=-/+1解得x=±0,

■.■OA//PB,\CP'BsI^COA,

,CA_OA_172

"CB~P'B~-J2~2,

(2)设抛物线的解析式为夕=。/+〃?(4*0)

1•抛物线经过40,1),.,.O=q+w,a=-a

/.y=—mx2+m.

•.•PZ〃x轴8点的纵坐标为-机，当了=-%时,-也2+加二-tn

...〃?(一—2)=0,，/m>0,x2—2=0,x—±V2,

:-m),P'B=V2,

同⑴得2=且=:=也

CBP'BV22

.•.根为任意正实数时，包=包.

CB2

11.(2011广东株洲，24,10分)孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研

究某条抛物线歹=办2(〃<0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐

标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：

(1)若测得。4=。8=2加(如图1),求a的值；

(2)对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BFLx

轴于点F,测得OF=1,写出此时点B的坐标，并求点A的横半标；

(3)对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连

线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标.

J

EF一

图1/图2

【答案】解：(1)设线段AB与y轴的交点为C,山抛物线的对称性可得C为AB中点，

OA=OB=2V2,ZAOB=90°,

，AC=0C=BC=2,，B(2,-2),

将B(2,-2)代入抛物线歹=依2(。＜0)得，q=

~2'

(2)解法一：过点A作AE±x轴于点E,

••,点B的横坐标为1,

2

ZAOB=90°,易知NAOE=NOBF,又NAEO=NOFB=90'

：./\AEO^/\OFB,：.——=——=丁=2；.AE=20E,

OEBF1

2

设点A(-m,--m2)(m>0),则OE：=m,AE--tn2,—m2-2m

222

.'.w=4,即点4的横坐标为-4.

y

解法二：过点4作ZE上x轴于点E,

:点8的横坐标为1,.•.8(1,--)

2

tanNOBF==2

BF1

2

*.•/NOB=90°,易知〃0E=NOBF,

4E

---=tanZ.AOE—tanZ.OBF—2,：.AE=2OE,

OE

1,1,

设点/(一机，—nr)(w>0),则AE=­m~,1.-w2=2w

222

.,.m=4,即点”的横坐标为-4.

解法三：过点4作ZE工x轴于点E,

•.•点8的横坐标为1,二^。，一;)

1,

设/(—/??,—m)(w>0),则

2

OB-=F+一,OA2+-m4,AB2=(l+m)2+(一一+-/M2)2,

4422

•/408=90°,AB2=OA2+OB2,

(1+/M)2+(-g+；/7?)2=(1+加r+(_；+；加2)2,

解得：m=4,即点/的横坐标为-4.

1,1,

(3)解法一：设Z(-m,——m')(机>0),8(”，——n~)(〃>0),

22

12

-mk+b=——m（I）

设直线43的解析式为：y=Ax+b,则｛2,

nk+b=~~n2（2）

11

（l）xn+（2）x机得，（加+〃）〃=-5（相2n+tnn2）=--mn（m+n）,

,1

/.b=——mn

2

又易知△HEOsAOFB,：.—=—,°'5w.=—,：.rnn=4,

OFBFn0.5/

.•.6=—,x4=—2.由此可知不论％为何值，直线恒过点（0,-2）,

2

（说明：写出定点C的坐标就给2分）

1,1,

解法二：设/（-/«,一一〃一）（m>0）,5（/7,一一n-）（n>0）,

22

直线48与y轴的交点为C，根据=S梯形尸£•—S^QE—SABO尸=SMOC+S2OC,可得

1/212、/、1121121"1"

_・（一〃+—777）（川+〃）---m,—m----n・-n=—.OC-mH---OC-n,

222222222

化简，得OC='a〃.

2

PLA,A4EOE0.5w2w、一8…小

又易知AAEOS/^OFB,：.—=—,二------=-----：,mn=4,：.OC=2为固定值.

OFBFn0.5/

故直线恒过其与夕轴的交点C（0,-2）

说明：mn的值也可以通过以下方法求得.

由前可知，OA2=m2+^m4,OB2=n2+^n4,v452=（w+/?）2+（-1w2+|M2）2,

由0/2+0炉=/82,得：（加2+；加4）+（〃2+；〃4）=（加+.2+（—；/+3〃2）2,

化简，得mn=4.

12.（2011江苏连云港，25,10分）如图，抛物线丁=5刀2-8+。与x轴交于4,8两点,

与y轴交于点C,其顶点在直线尸一2x上.

⑴求。的值；

(2)求4B两点的坐标；

(3)以NC,CB为一组邻边作口/88,则点D关于x轴的对称点。'是否在该抛物线上?请说明理

【答案】解：(I)、•二抛物线夕=1/一胆+。的顶点坐标为(__L,4比一〃),.x=1..

22a4a

,.......13

顶点在直线y=-2x上，所以y=-2,即顶点坐标为(1,—2),2=5—1+a,即a=一万4;(2)

二次函数的关系式为歹=5%2—X—2,当y=0时，

1.3

—

—X—x——=09解之得：Xj=1,x2=3,即A(—1f0),B(3,0)；(3)如图所不：

333

直线BD//AC,AD//BC,因为A(-1.0),C(0,—一)，所以直线AB的解析式为y=--x——，所以

222

39

39

设BD的解析式为y=—/x+公因为B(3,0),所以b=—,直线BD的解析式为:y=2-2-

113

同理可得:直线AD的解析式为:歹=一》+—,因此直线BD与CD的交点坐标为:(2,—),则点

222

D关于x轴的对称点”是(2,一一)，当x=2时代入y=-f一》一一得小=一一,所以》在二次

2222

第25题图

13.(2011四川广安，30,12分)如图9所示，在平面直角坐标系中，四边形/8CO是直

角梯形，BC//AD,ZBAD=90°,8C与y轴相交于点且M是8C的中点，4、B、

。三点的坐标分别是Z(-1.0),5(-1.2),£>(3.0),连接。M,并把线段。M沿。4

方向平移到。/匕若抛物线严水2+bx+c经过点。、M、N。

(1)求抛物线的解析式

(2)抛物线上是否存在点P.使得以=PC.若存在，求出点P的坐标；若不存在.请

说明理由。

(3)设抛物线与x轴的另一个交点为£点。是抛物线的对称轴上的一个动点，当点

Q在什么位置时有|0E-0C|最大？并求出最大值。

【答案】(1)解：由题意可得/(0.2),N(-3.2)

2-c

<2=9a-3b+c

0-9a+3h+c

9

解得：b=--

3

c=2

(2)9：PA=PC：.P为AC的垂直平分线上，依题意，AC的垂直平分线

经过(一1.2)(1.0)所在的直线为尸一x+1

歹=一工+1

,y=——1x2——1x+c2

[93

x.=3+3>/2=3—3A/2

解得：\「「

y}=-2-3v2[y2=-2+3V2

•**Pi(34-3V2,—2—3\/2)P2(3—3>/2,—2+3^2)

(3)D为E关于对称轴x=1.5对称

CD所在的直线产一x+3

：.yQ=4.5・・・Q(-1.5.4.5)

|0E-0C|最大值为QC=V2.52+2.52=-V2

14.(2011四川宜宾,24,12分)已知抛物线的顶点是C(0,a)(a>0,a为常数)，并经过

点(2a,2a)，点D(0,2a)为一定点.

⑴求含有常数a的抛物线的解析式；

⑵设点P是抛物线上任意一点，过P作PHJ_x轴，垂足是H,求证：PD=PH；

⑶设过原点O的直线/与抛物线在第象限相交于A、B两点,若DA=2DB,且鼠皿=4役,

【答案】解：⑴设抛物线的解析式为丁=小+。

•点D(2a,2a)在抛物线上，4a2Jc+a=2a

二抛物线的解析式为y+a

4a

⑵设抛物线上一点P(x,y),过P作PHJ_x轴，PGJ_y轴，在放AGOP中，由勾股定理得:

PD-=DG-+PG-=(y-2a)2+x2=y2-4ay+4a2+x2

Vy=­x2+ax2=4ax(y—a)=4ay—4a2

4a

：.PD2=y2-4ay+4a2+4ay-4a2=y2=PH2

Z.PD=PH.

⑶过B点BE，x轴，AF，y轴,

由⑵的结论：BE=DBAF=DA

VDA=2DB，AF=2BEAA0=2B0

；.B是OA的中点

是OD的中点

连接BC

：.BC=-=—=BE=DB

22

过B作BR，y轴，

VBRICDACR=DR,OR=a+-=—,

22

••.B点的纵坐标是四，又点B在抛物线上+，

2

.3a1.。

・・—=­x+a..r=2a

24a

■/x>0：.x=&a/.B(争~

AO=2OB,S,=S*=4A/2P

所以，gx2ax7Ia=4&p

（第24题解答图），

a=4,'.'a>0/.a=2。

15.（2011江西南昌，24,10分）将抛物线ci：尸一6沿*轴翻折，得抛物线C2,

如图所示.

（1）请直接写出抛物线C2的表达式.

（2）现将抛物线5向左平移m个单位长度，平移后得的新抛物线的顶点为M,'jx轴的交

点从左到右依次为48；将抛物线Q向右也平移，〃个单位长度，平移后得到的新抛物线的

顶点为N,与x轴交点从左到右依次为。，E.

①当8,。是线段AE的三等分点时，求机的值；

②在平移过程中，是否存在以点/,N,E,材为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请

求出此时机的值；若不存在，请说明理由.

备用图

【答案】解：⑴尸百X2一石.

(2)①令一Jix2+V3=0,得xi=-l,X2=l,则抛物线J与x轴的两个交点坐标为(-1,0),(1,

0)./.A(—1—m,0),B(1+m,0).

当AD=；AE时，如图①，(-1+m)—(—1—m)=；[(1+m)—(―1—m)],

当AB=^AE时，如图②，(1—m)—(―1—m)[(1+m)—(―1—m)],/.m=2.

②存在.理由：连接AN、NE、EM、MA.依题意可得：M(一m,一百).即M,N关于原

点O对称，.•.OM=ON.：A(-l—m,0),E(l+m,0),；.A,E关于原点O对称，，OA=OE,

二四边形ANEM为平行四边形.要使平行四边形ANEM为矩形，必需满足OM=OA,即

m2+()2=[—(―1—m)]2,

...当m=l时，以点A,N,E,M为顶点的四边形是矩形.

16.(2011江苏淮安，26,10分)如图，已知二次函数y=-/+云+3的图象与x轴的一个

交点为4(4,0),与y轴交于点A

(1)求此二次函数关系式和点B的坐标；

(2)在x轴的正半轴上是否存在点P,使得△玄8是以为底的等腰三角形？若存在，求出

点P的坐标；若不存在，请说明理山.

.,.0=-42+4Z)+3,

解得6=1"3，

4

B

.•.此二次函数关系式为：片-x2+—X+3,

4

点B的坐标为B(0,3).

7

(2)在x轴的正半轴上是否存在点P(—,0),使得△RI8是以AB为底的等腰三

8

角形.理由如下：

设点P(x,0),x>0,则根据下图和已知条件可得

.+32=(4-x)2,

7

解得x=一，

8

7

...点P的坐标为尸(一,0).

8

7

即，在无轴的正半轴上是否存在点P(—,0),使得△以8是以为底的等

8

腰三角形.

17.(2011湖北武汉市，25,12分)(本题满分12分)如图1,抛物线了=0?+瓜+3经过

A(一3,0),B(-1,0)两点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设抛物线的顶点为直线y=-2x+9与y轴交于点C,与直线0”交于点。.现

将抛物线平移，保持顶点在直线0。上.若平移的抛物线与射线CZ)(含端点C)只有个

公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；

(3)如图2,将抛物线平移，当顶点至原点时，过0(0,3)作不平行于x轴的直线交

抛物线于E,F两点.问在y轴的负半轴上是否存在点P,使△PEF的内心在y轴上.若存

在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

M

笫25«|图2

【答案】(1)抛物线y=o?+以+3经过/(-3,0),B(-1,0)两点

,9a—36+3=0且。一人+3=0

解得a=\,h=4

・・・抛物线的解析式为y=x2+4x+3

(2)由(1)配方得J=(X+2)2—1

二抛物线的顶点M(-2,1)

直线OD的解析式为y=gx

于是设平移的抛物线的顶点坐标为(4，-h),

2

平移的抛物线解析式为产(x-A)2+^h.

①当抛物线经过点。时，(0,9),：.h2+-h=9,

2

解得h=-l土画.

4

...当-1-V145^<-1+Vi45时，平移的抛物线与射线°只有一个公共点.

44

②当抛物线与直线8只有•个公共点时，

、1

由方程组^=&—y=-2x7-9.

得(—2%+2)x+〃?+-9=0,

2

・：Zi=(-20+2)2—4(7?2+—//-9)=0,

2

解得力=4.

此时抛物线y=(x-4)2+2与射线CD唯一的公共点为(3,3),符合题意.

综上：平移的抛物线与射线。只有一个公共点时:顶点横坐标的值或取值范围是〃=4

或土叵助〈小叵.

44

(3)方法1

将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为

设EF的解析式为y=Ax+3(时0).

假设存在满足题设条件的点P(0,/),如图，过尸作GH〃x轴,

分别过E,尸作G/7的垂线，垂足为G,H.

•.•△尸防的内心在卜轴上，

Z.ZGEP=ZEPQ=ZQPF=ZHFP,：.^GEP^/\HFP,

：.GP/PH=GE/HF,

—XE/XF=&E-tV(yp-。=(去g+3—t)/(kxp+3-7)

/.2kx£-xr=(Z—3)(XE+XF)

由尸也y=-lcc+3.得f-Ax-3=0.

第25(3)遨留

.•・XE+XF=左,XE'XF=-3・

：.2k（-3）=（Z-3）k

•.,时0,，七一3.

・・・y轴的负半轴上存在点尸（0,-3）,使△尸