2020-2021学年育才教育集团八年级上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年育才教育集团八年级上学期期末数学试卷

一、选择题(本大题共8小题，共32.0分)

1.点P(-3,6)关于y轴的对称点在坐标为()

A.(―3,—6)B.(3,6)C.(—6,3)D.(6,-3)

2.已知血、九是正整数，且。力=3,a九=2,则。加十"的值为()

9

A.5B.1C.6D.I

3,某种生物抱子的直径为0.0000636，用科学记数法表示为（）

A.0.63x10-4mB.6.3x104mC.6.3x10-5mD.6.3x10-6m

4.在下列说法中，正确的是()

A.任何等腰三角形的顶角都大于底角

B.关于某直线成轴对称的两个三角形全等

C.等腰三角形的对称轴是底边中线

D.等边三角形只有一条对称轴

5.如图，中，P、Q分别是BC、4C上的点，作PRL4B于点R,

PS14C于点S,若PR=PS,则下列结论正确的个数是()

(1)PQ=P8；(2)XS=AR；(3)APSC(4)zC=/.SPC

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

6.在AABC中，AB=BC,点D在AC上，BD=6cm,E,F分另Ll是4B,

BC边上的动点，AOEF周长的最小值为6cm,贝此=()

A.20°

B.25°

C.30°

D.35°

7.如果3^=243X92,那么x的值等于()

A.5B.9C.20D.10

8.4.在南水北调工程中，某施工单位对运河一段长2240nl的河堤进行加固，由于采用了新的技术，

实际每天加固的长度比原计划增加了20小，因而实际工程所需天数比原计划缩短了2天，实际每

天加固多少米？若设实际每天加固富米，则所列方程为：

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

9.要使分式上有意义，则无的取值范围是____.

2-x

10.若正多边形的一个外角是45。，则其边数为.

11.已知ADEF三△ABC,AB=AC,且△ABC的周长为23cm,BC=4cm,贝！］△DEF的边中必有一

条边等于.

12.已知x+y=17,xy=60,贝咏？+y2=.

13.在AABC中，AB=10,CA=5,BC=6,NB4C的角平分线与41cB的角平分线相交于/,且

川〃BC交于D,则D/的长等于.

14.如图，NMON内有一点P,PPi、PP2分别被OM、ON垂直平分，P$2与

OM、ON分别交于点4、B.若HP?=10cm,则AP/IB的周长为

___cm.

三、解答题（本大题共9小题，共70.0分）

15.学校有一边长为2+。的正方形草坪，现将其各边增长占，扩大草坪面积。有同学说“扩建后比

扩建前面积增大V"，你认为正确吗？如正确，请说明理由；如不正确，请你计算出扩建后比

扩建前草坪面积增大多少？（写出过程）

16.解方程:

x1

(1—一』=2

(2)2/-2x-1=0

17.因式分解:

(l)mx2—my2；

(2)(%—1)(%—3)+1.

18.已知：4MAN=60。,点B在射线AM上，4B=4(如图).P为直线2N上一动点，以BP为边作等边

三角形BPQ(点B,P,Q按顺时针排歹U),。是ABPQ的夕卜心.

(1)当点P在射线4V上运动时，求证：点。在NAMN的平分线上;

(2)当点P在射线4V上运动(点P与点4不重合)时，2。与BP交于点C,设4P=x,AC-AO=y,求y关

于x的函数解析式，并写出函数的自变量取值范围;

(3)若点。在射线AN上，AD=2,圆/为AaBD的内切圆.当ABPQ的边BP或BQ与圆/相切时，请直

接写出点4与点。的距离.

19.如图，在△ABC中，AB=AC,BDLACK'D,CELAB^E,BD、CE交

于F.

(1)求证：AABD^AACE.

(2)求证：AF平分NBAC.

20.△ABC在直角坐标系中如图所示.

⑴在图中作出AABC关于久轴的轴对称图形AaiBiCi；

(2)将△ABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位，画出平移后的△482C2；

(3)求△ABC的面积.

21.2021年2月1日后，南海区将用1年时间实现“双百目标”，即全区生

活垃圾分类示范100%达标创建、生活垃圾八大产生源100%达标创建，

我区的生活垃圾分类工作正式进入“提速”模式.某小区准备购买4B

两种分类垃圾桶，通过市场调研得知:4种垃圾桶每组的单价比B种垃圾桶每组的单价少150元,

且用8000元购买4种垃圾桶的组数量与用11000元购买B种垃圾桶的组数量相等.

(1)求4、B两种垃圾桶每组的单价.

(2)该小区物业计划用不超过18000元的资金购买4B两种垃圾桶共40组.则最多可以购买8种垃圾桶

多少组？

22.如图，在四边形48CD中，点H是8C的中点，作射线在线段及其延长线上分别取点E,F,

连结BE,CF.

(1)请你添加一个条件，使得ABE"三△CFH,你添加的条件是,并证明.

(2)在问题(1)中，当与E”满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由.

23.(1)【问题发现】如图1,AABC和AADE均为等边三角形，点B,D,E在同一条直线上.填空:

①线段BD,CE之间的数量关系为；②乙BEC=

(2)【类比探究】如图2,A/IBC和AaDE均为等腰直角三角形，AACB=^AED=90°,AC=BC,

AE=DE,点、B,D,E在同一条直线上，请判断线段BD,CE之间的数量关系及NBEC的度数,

并给出证明.

⑶如图3,在△4BC中，4ACB=90°,乙4=30°,AB=5,点。在4B边上，DE14C于点E,AE=3,

将AADE绕点4旋转，当DE所在直线经过点B时，CE的长是多少？(直接写出答案)

图3

参考答案及解析

L答案：B

解析：解：点P(-3,6)关于y轴的对称点在坐标为：(3,6).

故选：B.

直接利用关于y轴对称点的性质，横坐标互为相反数，纵坐标相等得出答案.

此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键.

2.答案：C

解析：［分析］

根据同底数幕的乘法法则计算即可.

本题主要考查了同底数幕的乘法，同底数幕相乘，底数不变，指数相加.

［详解］

解：,；m、九是正整数，且a771=3,an=2,

am+n=am-an=3X2=6.

故选C.

3.答案：C

解析：解：0.000063=6.3X10-5m,

故选：C.

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlOf,与较大数的科学记数法不同

的是其所使用的是负指数幕，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为ax10-n,其中1<\a\<10,ri为由原数左边起

第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

4.答案:B

解析：解：4任何等腰三角形的顶角都不一定大于底角，故本选项错误；

R关于某直线成轴对称的两个三角形全等，故本选项正确；

C.等腰三角形的对称轴是底边中线所在直线，故本选项错误；

D等边三角形有三条对称轴，故本选项错误；

故选：B.

依据等腰三角形的性质，等边三角形的性质以及轴对称的性质，即可得到正确结论.

本题主要考查了轴对称的性质，解题时注意：等腰三角形的对称轴是底边中线所在直线.

5.答案：A

解析：解：连接AP,

PR1AB,PSLAC,PR=PS,

.♦.点P在4的平分线上，^ARP=^ASP=90°,

•­•/.SAP=^RAP,

在RM2RP和RtAASP中，"=个，

1Ap=AP

•••Rt△ARP=Rt△ASP,(HL),

4R=as,.,.②正确；

VPR=PS,乙PRB=4PSC=90°,

••.无法判断ABRP三APSC,故③错误；

•••乙PRB=乙PSQ=90°,PR=PS,

无法判断4BRP=APSQ,

：.PQ手PB,故①错误；

•••△PSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形,

NC与NSPC不一定相等，故④错误；

故选：A.

连接4P，根据角平分线的性质得到点P在乙4的平分线上，乙4RP=乙4sp=90。，根据全等三角形的

性质得到2R=aS,②正确；只有两个条件无法判断ABRPmAPSC,故③错误；无法判断△BRPmA

PSQ,得到PQ不PB,故①错误；由于APSC是直角三角形，不一定是等腰直角三角形，于是得到NC

与NSPC不一定相等，故④错误.

本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是

解题的关键.

6.答案：C

解析：解：如图,

G

H

WAABD^AOBC沿着48和BC向外翻折，

得AABG和△BC”,

连接GH交48和8c于点E和F，

此时△DEF的周长最小即为G”的长，

GH=6,

BD=6,

BG=BH=BD=6=GH,

・•.△BG”是等边三角形，

•••乙GBH=60°,

•••2乙ABD+2乙DBC=60°,

4ABD+乙DBC=30°,

4ABe=30°.

故选：C.

将AABD和ADBC沿着4B和BC向外翻折，得AASG和△BCH,,此时

△DEF的周长最小即为GH的长，进而证明△BGH是等边三角形，即可得N2BC的度数.

本题考查了轴对称-最短路线问题、等腰三角形的性质和等边三角形的判定，解决本题的关键是根

据等腰三角形的性质找动点E和工

7.答案：B

解析：

主要考查幕的乘方和同底数幕的乘法，转化为同底数幕相乘是解决此题的关键.

先转化为底数为3的幕相乘，然后根据指数相等解答.

25

解：243X9=3X(32)2=39；

••・%=9.

故选8.

8.答案：A

解析：可以通过表格解此题.

a

故选：A.

9.答案：久力2

解析：

此题主要考查了分式有意义的条件，正确记忆分式有意义分母不能为0是解题关键.

利用分式有意义的条件得出其分母不能为0,进而求出即可.

解：分式I—有意义，・•・2—%H0,

Z—X

•••%W2・

故答案为：X丰2.

10.答案：8

解析：解：•••多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45。，

•••边数为：360。+45。=8

故答案为：8.

根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360。+45。可求得

边数.

主要考查了多边形外角和、正多边形的性质，关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相

等.

11.答案：4cm或9.5cm

解析：解：△ABC的周长为23cm,BC=4cm,AB=AC,

则AB=AC=m=9.5cm,

又因为全等三角形的对应边相等，

因而△DEF的边中必有一条边等于4cm或9.5cm.

故填4cm或9.5cm.

12.答案:169

解析：解：x+y=17,xy=60,

•t•%2+y2=(%+y)2-2xy=172—2X60=169.

故本题答案为：169.

根据完全平方公式(x+y)2=/+2%y+f,把原式变形后求值.

本题考查了完全平方公式，通过对公式的变形，达到灵活使用公式的目的.

13.答案：y

解析：解：如图，连接B/,延长4/交BC于K,作KN1AB于N,KM，4c交4C的延长线于M.易知B/平

分N28C,

•••AKAB=^KAC,KNA.AB,KMA.AC,

KN=KM,

...SEABK=如=JB-KN=翌=2,

"SAAKCCK^ACKMAC'

：.BK=2CK,

2

・•・BK—BC=4,

3

•・•DI//BC,

・•・乙DIB=乙IBC=乙IBD,

・•.DI=BD,设0/=BD=x,

•・•DI//KB,

.DI_AD

,,—»

BKAB

.x_10-x

,,—―，

410

解得％=y,

故答案为弓.

如图，连接B/,延长4/交BC于K,作KN1AB于N,KM12C交4c的延长线于M.利用面积法证明器=

CK

案=2,求出BK,再利用平行线分线段成比例定理构建方程解决问题即可.

本题考查角平分线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线

段之间的关系，属于中考填空题中的压轴题.

14.答案：10

解析：解：•.■2「1、PP2分别被OM、ON垂直平分，

PA=APr,PB=BP2；

又；Pi02=PJ.4+4B+BP2=PA+AB+PB=10cm

•••AP28的周长为10cm.

故答案为10.

根据轴对称的性质1的全等关系进行等量代换，便可知「#2与4P4B的周长是相等的.

本题考查了线段的垂直平分线的性质，要求学生熟练掌握轴对称的性质特点，并能灵活运用，便能

简单做出此题.

15.答案：不正确由题可知增加后正方形的边长为a+b

则增加后的面积

s2=(以+8+c)

=a2+2a(S+c)+(B+c)2

=a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2

原正方形面积

S]=g+c)'

=a2+2ac+c2

所以增加的面积

S=S》-S]

=a1+2ab+2ac+b24-2bc+c2-(a2+2ac+c2)

=a24-2ab+2ac4-i2+2bc4-c2-a2-2ac-c2

=2ab4-2bc+8’

答：扩建后比扩建前草坪面积增大加3+2庆+/

解析：试题分析：此题考查学生对乘法公式中完全平方公式+力y=/+2a力+/的运用，在出

现三项时应把其中两项看成一个整体从而变成两项，然后运用多项式相减得出结果。也可以用平方

差公式d-"=3+3)3-3)求出结果，在计算时同样需要把它们各自看成整体，即

(a+S+c)2-3+C)2=(_a+b+c+a+c)(a+b+c-a-c')再进行计算。

考点：乘法公式的运用。(整式〉乘法公式)

16.答案：解：(1)方程两边都乘以％—7得：x+l=2(x-7),

解得：x=15,

检验：当x=15时，x—70,

所以％=15是原方程的解,

即原方程的解是尤=15；

(2)2x2-2x-1=0,

b2-4ac=(—2)2-4x2x(-1)=12,

X=—2+V——12

2X2

1+V31-V3

X1-x2=

解析：(1)先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解即可;

(2)先求出炉—4ac的值，再代入公式求出即可.

本题考查了解一元二次方程和解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解(1)的关键，能熟记公

式是(2)的关键.

17.答案：解：(1)原式=一y2)

=m(x+y)(x—y)；

(2)原式=%2—4%+3+1

=(X—2)2.

解析：(1)直接提取公因式再利用公式法分解因式;

(2)直接利用多项式乘多项式化简，再利用公式法分解因式.

此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键.

18.答案:(1)证明：如图1,连接OB,OP.

■■。是等边三角形BPQ的夕卜心,

.•.圆心角NBOP=乎=120°.

当乙MAN=60°,不垂直于4M时，作OT1AN,则OB=OP.

由乙“。7++乙AHO+/-ATO=360°,且NA=60°,乙AHO=^ATO=90°,

••・乙HOT=120°.

・•・乙BOH=乙POT.

'.ABOH^APOT(AAS).

・•.OH=OT.

・•.点。在乙M/N的平分线上.

当OB1AM时，AAPO=360°-AA-(BOP-/-OBA=90°.

即0PlzN,

.・•点。在NM4V的平分线上.

综上所述，当点P在射线AN上运动时，点。在4M4V的平分线上.

(2)解:如图2,

・••^BAO=^PAO=30°.

由(1)知,OB=OP,Z-BOP=120°,

・•・乙CBO=30°,

••・Z-CBO=Z.PAC.

•••Z.BCO=Z-PCA,

・••Z.AOB=Z.APC.

・•.△AB。*ACR

AB_AO

"AC~AP'

/.AC-AO=AB-AP.

・・.y=4x.

自变量取值范围为：%>0.

(3)解:①如图3,当BP与圆/相切时，AO=2V3;

图3

②如图4,当BP与圆/相切时，4。=?百;

P9

③如图5,当BQ与圆/相切时，AO=0.

图5

解析：（1）证。在NAMN的平分线上，可证。到角两边的距离相等，分两种情况：

①0B不与4M垂直，过。作。TIAN,OHLAM,可通过构建全等三角形来求解.

连接OB,0P,则。B=OP,只需证明△OHB与△OTP全等即可.

这两个三角形中，已知的条件有0B=0P,一组直角.只需再证得一组角对应相等即可，NH0T和

NBOP都等于120。，因此NBOH=NTOP,则两三角形全等，。7=。凡由此得证.

②当OBJ.AM时，由于OB=OP,只需证明OP_L2N即可.

由于NBOP=120。,而N28。=90°,AN=60。,根据四边形的内角和为360。，即可求得OP_L4N,

由此可得证.

（2）本题要通过相似三角形4CP和28。来求解.

这两个三角形中，已知了NBA。=NC4P（在1题中已经证得）.

只需再找出一组对应角相等即可，在AACP和AOBC中，NC4P=N08C=30。，^ACP=/.BCO,因

此N4PC=N40B,由此证得两三角形相似，可得出关于AB,AC,AO,4P的比例关系式，据此可

求出y,久的函数关系式.

(3)本题分三种情况：

①圆/在^BPQ外,且与8P边相切，止匕时。、P重合，4。=2P=2,2B=4,乙MAN=60°,因此△ABP

为直角三角形，不难得出A4B。也是直角三角形，因此可得出AAB。三AB4P,AO=BP=2相;

②圆/在ABPQ内，与BP,PQ边相切时，此时P与4重合，可在直角三角形。中，根据2。=2,

Z.DAO=300,求得4。=延；

3

③圆/在ABPQ内，与BQ边相切时，A,。重合，因此40=0.

本题考查了相似三角形、全等三角形、角平分线定理、等边三角形的性质、直线与圆的位置关系等

知识点.本题考点较多，难度较大.

19.答案：证明：(1)BD_L4C,CE1AB,

•••乙4EC=4ADB=90°,

在A28。和△4CE中，

NADB=2.AEC

乙BAD=Z.CAE,

AB=AC

•••△/BDwZkACE(44S).

(2)-^ABD=LACE,

AE=AD,

在Rt△AEF^Rt△AOF中，

(AF=AF

\AE=AD"

・•・Rt△AEF=Rt△ADF(HL),

Z.EAF=Z-DAF,

・•・AF平分NB4C.

解析：(1)求出N4EC=N4DB=90。，根据44S推出即可.

(2)木艮据全等求出4E=40,根据HL证出R1A4EF三RtAADF,推出NE4F=即可.

本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有S4S,

2S4A4S,SSS,两直角三角形全等还有定理HL,全等三角形的性质是：全等三角形的对应边相等，

对应角相等.

20.答案：解：Q)如图，△a/iG即为所求;

yf

X

(2)如图，A4B2c2即为所求;

(3)△ABC的面积为：3x3一：xlx2—：xlx3—：x2x3=9—l—；—3=；.

解析：(1)由关于%轴对称的点的坐标的特征可先确定点的坐标，再描点，连线即可；

(2)根据平移的性质即可将AABC先向上平移3个单位长度，再向左平移1个单位，画出平移后的△

儿人心；

(3)根据割补法可直接求出4ABC的面积.

本题考查了轴对称的性质，三角形的面积等，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特

征并灵活运用.

21.答案：解：(1)设2种垃圾桶每组的单价为x元，贝种垃圾桶每组的单价为(X+150)元，

解得：%=400,

经检验，x=400是原方程的解，且符合题意,

•••%+150=400+150=550(元).

答：4种垃圾桶每组的单价为400元，B种垃圾桶每组的单价为550元.

(2)设购买B种垃圾桶y组，则购买4种垃圾桶(40-y)组，

依题意得：400(40-y)+550y<18000,

解得：y<y.

又；y为正整数,

•••y的最大值为13.

答：最多可以购买B种垃圾桶13组.

解析：(1)设4种垃圾桶每组的单价为x元，贝/种垃圾桶每组的单价为(x+150)元，利用数量=总价

+单价，结合用8000元购买4种垃圾桶的组数量与用11000元购买8种垃圾桶的组数量相等，即可得

出关于万的分式方程，解之经检验后即可得出结论；

(2)设购买B种垃圾桶y组，则购买4种垃圾桶(40-y)组，利用总价=单价X数量，结合总价不超过

18000元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之即可得出y的取值范围，再取其中的最大整数值

即可得出结论.

本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关健是：(1)找准等量关系，正确列

出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

22.答案：EH=FH

解析：(1)答：添加：EH=FH,

证明：,••点H是的中点，

•••BH=CH,

ABEH^A中，

BH=CH

乙BHE=乙CHF,

.EH=FH

:.&BEHm&CFH(SAS)；

(2)解:•••BH=CH,EH=FH,

••・四边形BFCE是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形)，

•.•当=时，则BC=EF,

・•・平行四边形BFCE为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形).

(1)根据全等三角形的判定方法，可得出当=BE//CF,Z.EBH=zFCHHt,都可以证明△

BEWsACFH,

(2)由(1)可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出=EH

时，四边形BFCE是矩形.

本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定，是基础题，难度不大.

23.答案：BD=CE60

解析：解：(1)•••△ACB和AaDE均为等边三角形，

•••AB=AC,AD=AE,Z.BAC=/.DAE=60°,AADE=乙AED=60°,

Z-BAC-Z-DAC—乙DAE—Z-DAC,

即=/.CAE,

在△48。和△C;4E中，

AB=AC

Z.BAD=Z-CAE,

AD=AE

：.LABD=LACE{SAS},

BD=CE,Z-BDA=Z.CEA,

・・・点B,D,E在同一直线上，

・••/,ADB=180-60=120°,

・•・AAEC=120°,

・•・乙BEC=Z-AEC-Z-AED=120-60=60°,

综上，可得NBEC的度数为60。；线段BD与CE之间的数量关系是：BD