圆锥曲线的最值(范围)问题专题复习

专题7圆锥曲线的最值（范围）问题专题复习关于圆锥曲线最值（范围）问题处理常见有两种方法：①利用圆锥曲线的定义和几何关系解决；②利用基本不等式或函数最值问题解决。方法1、利用定义法和几何关系求最值解题技巧:遇见椭圆和双曲线中的最值问题常把到左焦点的距离转化为右焦点，反之也可以；遇见抛物线中的最值常把到焦点的距离转化为到准线的距离，反之也可以。经典例题：例1.（2020年广东省深圳四校联考）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点a，b的距离之比为定值丸a，1）的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系》。歹中，A（-2,1），B（-2,4），点P是满足x=1的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为；若点Q为抛物线E：歹2=4x上的动点，Q 1.在直线k-1上的射影为凡则-|pB+|pQ+Q）H\的最小值为.x2y2例2、（2020年成都市外国语实验学校高三二诊模拟12题）已知点P在离心率为2的双曲线一-4二1的a2b2左支上，A（0,4<3），F是双曲线的右焦点，若APAF周长的最小值是20，则此时NPAF的面积为（ ）一点，则|PA|+|PBB.10c3 C一点，则|PA|+|PB例3、（2021江苏高三期中）已知椭圆上十£;1内有两点Ad，3），B（3，0），P为椭圆2516的最大值为 例4.（2018年成都市高三模拟16题）已知F是双曲线C：=-4y2=1（a>0）的右顶点到其一条渐近线a2V3的距离等于24，抛物线E:y2=2px（p>0）焦点与双曲线C的右焦点重合，则抛物线上的动点M到直线:l:4x-3y+6=0,l:x=-1的距离之和的最小值为.2

方法2、利用均值不等式或函数最值求最值（范围）方法技巧:合理引入变量（长度，角度，斜率等）根据已知条件建立函数关系求最值（范围）或利用均值不等式求最值（范围）。例1.（2017新课标112题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线/,l,12直线l与C交于A、B两点，直线l与C交于D、E两点，则IAB1+IDEI的最小值为12TOC\o"1-5"\h\zA．16B．14C．12 D．10例2、（山东省日照市2019届高三三模）在等腰梯形ABCD中，AB\\CD且|AB\=2,|AD|=1,|CD|=2x，其中x£（0,1），以A,B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e，以C,D为焦点且过点A的椭圆的离心1率为e，若对任意x£（0,1），不等式t<e+e恒成立，贝I"的最大值为（ ）12A.<3 B.<5 C.2D.22例3、已知椭圆C:北+2=l{aA>b>0）与双曲线C:二-y2=I（a。>0,b>0）有相同的焦点F,F,1a2b2 1 1 2a2b2 2 2 1 211 22点P是曲线C与C的一个公共点，e,e分别是C和C的离心率，若PF±PF，则4e2+e2的最小值JL 乙 JL 乙 JL 乙 JL 乙 JL 乙为（）95A.- B.4 C.- D.922例4.（2018年衡水中学12题）已知过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,且第=3FB,抛物线的准线l与x轴交于C,AA111于点A1,且四边形AACF的面积为6出,过K（-1,0）的直线l，交抛物线于M,N两点，且攻二九就G£（1,2D,点G为线段MN的垂直平分线与x轴的交点，则点G的横坐标x0的取值范围为（D.例5,例5,（2019成都七中二诊模拟12题）已知过点尸（0,2）的直线l与椭圆7+y2=1交于两个不同的点A(x1，A(x1，y1)、B(x2,y2),记入二PAPB入2+1则的取值范围是（A. (2, +8) B. (2, 10)C. (2, 4) D. (2, 10]33兀例6.已知Fi，q是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且/勺PF2="则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为方法3、其他类型技巧方法：利用题中的代数和几何关系（如角度、向量、斜率等）或判别式等，建立不等式构建最值或范围。x2y2例1、（2017新课标1卷12题）设A，B是椭圆C:y+m=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足a.(ojLh+8)b,(0,曲]u[9ZAMB=a.(ojLh+8)b,(0,曲]u[9；+8)c.(0,l]uh+8)d.Q,志]u[4,+8)例2.（2018例2.（2018衡水中学12题）已知双曲线C:x2-方=I（b>0）的左、右焦点分别为F,F,点P是双曲线b212C上的任意一点，过点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A,B两点，若四边形PAOB（O为坐标原点）的面积为姬，且P『尸2>。，则点P的横坐标的取值范围为（）A．-8,-平V 7）U［亍，十二B．()V-亍，亍7C.U

7VA．-8,-平V 7）U［亍，十二B．()V-亍，亍7C.U

7V,+8)D．(2折2折)—-3-,^^V7例3.（2020年绵阳市南山中学高三二诊模拟12题）已知点A（-3,-是抛物线C：y2=2px(p>0)准线上的一点，点F是C的焦点，点P在C上且满足|PF|=叫PA，当m取最小值时，点P恰好在以原点为中心，F为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为332例4.（2020•全国高三月考）已知抛物线y=4x2的焦点F，直线l过点F且与抛物线相交于M,N两点，M，N两点在y轴上的投影分别为C,。，若IC。1<8<3，则直线l斜率的最大值是（ ）B.2C.3例5.（2020•全国高三专题练习）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2-x2=1,yell,101在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（ ）则清洁钢球的最大半径为（ ）A．1 B．2 C．3 D．2.5例6.（2020•四川成都市•树德中学高三月考）已知圆C：（x+3）2+（y—4）2=4和两点4—m,0）,B（m,0）.若圆C上存在点P，使得乙APB=90。，则m的最大值为（）A.8 B.7 C.6 D.5同步练习1.（2020年河北省高三模拟10题）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为X2+y2<1，若将军从点A（3,0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y=4，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.v17-1 B,乖八2 C,<17 D,3-%'2x2y22、（2019年衡水中学高三模拟）已知双曲线--J=1（〃>b>0）的右焦点为F,虚轴的上端点为B，Pa2b2为左支上的一个动点，若△PBF周长的最小值等于实轴长的3倍，则该双曲线的离心率为（ ）A.巫A.巫<10223、（2019年湖南省郴州市检测12题）已知椭圆M:三+号=1（〃>b>0）的左、右焦点分别为F、F,〃2b2 1 2点A是椭圆M与圆C:x2+（y-2<2b）=4m2在第一象限的交点，且点A到F的距离等于1m.若椭9 2 3圆M上一动点到点F与到点C的距离之差的最大值为2〃-m,则椭圆M的离心率为

A．B．C．D．A．B．C．D．4、已知点R（0,2）,曲线C:y4=（px>2（p>0）,直线y=m（m〉0且m中2）与曲线C交于M,N两点，若△RMN周长的最小值为2,则p的值为（）A.8 B.6C.4 D.2A.8 B.6C.4 D.2PF则谒的取值范围是（A．0,B．0,VJSiPF则谒的取值范围是（A．0,B．0,VJSiD．8、（2014年新课标16题）设点M（xo,1）,若在圆°：X2+y2=1上存在点N,使得/OMN=45。,5.（2018年成都市高三诊断改编）已知瓦,外是椭圆和双曲线的公共焦点，尸是它们的一个公共点，且上月9二g,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）TOC\o"1-5"\h\zA」百 R2百 r5 D2A• D・ U・1' U.r£|\o"CurrentDocument"3 36、（2016年四川省凉山州高三二诊12题）已知F,F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共12, 兀点，且/FPF=-，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）123A.433 B.233 C4<3 D.2<3小2019届重庆市第一中学月考12题）已知尸2是双曲线E：x2-二1的右焦点,过点F2的直线交E的右支于不同两点a,B，过点F且垂直于直线AB的直线交y轴于点P,2则x0的取值范围是9.已知椭圆9.已知椭圆C：02+^2=1(a>b>0)和圆C：X2+y2=b2,M是椭圆C上一动点，过M向圆作的两条切线MA,MB，切点为A,B.若存在点M使NAMB=3,则椭圆C的离心率e的取值范围是（）A(0,守A(0,守B.CI芋1D.129设/4是椭圆高*=1上长轴的两个端点，若椭圆上恒存在一点P，使得tanNApA=-2<612则椭圆离心率的取值范围是（）.(B)0,9V「.3}©则椭圆离心率的取值范围是（）.(B)0,9V「.3}©4-，1_(D)9’1,/10.已知椭圆C：021Ma>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得P，使得^FF2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是（）.A.V123,3A.V123,32，1C13,1D.V11\3,2lU-,111、在直角坐标系xOy中，F、F分别是双曲线C:x2—y2=1（a>0,b>0）的左、右焦点，点P（x,y）12 a2b2 00是双曲线右支上的一点，,若点P的横坐标取值范围是是双曲线右支上的一点，,若点P的横坐标取值范围是x0£1a，7aV4 -,则双曲线C的离心率取值范围为（A.B.C.A.B.C.(4a-v2)7，2VD.V4非572)

一，一V )12、阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山人时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离比值为定值九（九,0,九。1）的动点的轨迹.已知在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sinA=2sinB,acosB+bcosA=2，则AABC面积的最大值为（）A.最大值为（）A.v'2 B.<-4C.-D.x2y2直线x=2与双曲线二--二1的渐近线交于A,B两点，设P为双曲线上任意一点，若169OP=aOA+bOB（a,b£R,O为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）A.|ab|=2 B,a2+b2>4 C.|a-b|>2 D.|a+b|>2(2020•广东高三月考)已知圆C:(x—3>+(y—2V2)=1和焦点为F的抛物线C:y2=8x,N是C1 2 1上一点，M是C上，当点M在M时，|MF|+|MN|取得最小值，当点M在M”时，|MFHMV|取得2

最大值，则M1M2|二A.2<2 B.3<2 C4<2 D.<17（2020•全国高二课时练习）已知椭圆的方程为上+W=1（〃>1）,上顶点为A，左顶点为B，设P为a2，点。为椭圆上任意一点,椭圆上一点，则史AB面积的最大值为22+1.若已知M13,0）NQ，点。为椭圆上任意一点,14TOC\o"1-5"\h\z则QN\+QMi\的最小值为（ ）9A.2 B.3+2”2 C.3 D.4（2020・辽宁抚顺市•高三二模（理））已知双曲线C：x2—y2=1（〃>0,b>0）的虚轴的一个顶点为a2b2N（0,1），左顶点为M，双曲线C的左、右焦点分别为F,F，点P为线段MN上的动点，当丽•斤12 12取得最小值和最大值时，△PFF的面积分别为S「S,若S=2S则双曲线C的离心率为（ ）.12 1 2 2 1v12v122& C.2J3 D.2<5（2020•四川泸州市.泸县五中高三月考）已知抛物线C1：y2=8x,圆C2:（x-2）2+y2=1,若点P，Q|PM|分别在C，C上运动，且设点M（4,0）,贝I」 的最小值为（ ）2 |PQ|35453545C.4D.-418、已知点M在圆（x-6）2+（y-4）2=1上，点p在椭圆25+H=1上，F（—3,0），则PMHPF的最小值为 .19、已知双曲线C：x2-y2=1（a>0,b>0）的左、右焦点分别为F、