2022-2023学年河北省邯郸市九县区高一下学期期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2河北省邯郸市九县区2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理知：，得.故选：B.3.如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，则（）A. B.2 C. D.5〖答案〗C〖解析〗依题意由直观图可得如下平面图形，因为，所以，，所以.故选：C.4.已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（）A.－16 B.16 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，，因为B，C，D三点共线，所以，则，得.故选：A.5.在中，，，，则面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，则的面积为.故选：A.6.若一扇形的圆心角为，面积为，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设该圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则，得，由，得，因为，所以圆锥的体积为.故选：C.7.如图，在圆柱中，AB，分别为圆O，圆的直径，C为上靠近A的三等分点，为上靠近的三等分点，且，则异面直线与OC夹角的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，连接，，，AC，因为，，为等边三角形，所以异面直线与OC的夹角为或其补角，因为，，，所以异面直线与OC夹角的正切值为.故选：D.8.老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东方向上的B地，立刻以的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以的速度往北偏东方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（）A.60s B.80s C.100s D.120s〖答案〗C〖解析〗如图，设甲最快捕获乙的地点是点C，时间为t（单位：s），则，，由题意得，由余弦定理，得，解方程得或（舍去）.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若向量，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由题意得，，因为，，所以与不垂直，因为，所以.故选：ABD.10.在直角梯形ABCD中，，，，，以AD所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（）A.该几何体为棱台B.该几何体的母线长为C.该几何体的表面积为D.该几何体的体积为〖答案〗BCD〖解析〗由题意可知该几何体为圆台，故A选项不正确；该圆台的母线长为，故B选项正确；该圆台的表面积为，故C选项正确；该圆台的体积为，故D选项正确.故选：BCD.11.已知复数z的虚部大于0，且，则（）A.B.C.D.复数在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗BC〖解析〗设（，，且），则，得，所以，所以，所以，，故A错误，B正确；，故C正确；因为，所以复数在复平面内对应的点位于第三象限，故D错误.故选：BC.12.在三棱锥中，和均是边长为的正三角形，二面角的平面角为，则（）A.B.点A到平面BCD的距离为C.三棱锥外接球的球心到平面ABC的距离为2D.三棱锥外接球的表面积为〖答案〗ABD〖解析〗如图，取BC的中点M，连接AM，DM.∵，，∴二面角的平面角为，且平面AMD，∴，A正确；过A作直线DM的垂线，垂足为N，易证平面BCD，易得，，∴，B正确；外接圆的圆心在AM上，，外接圆的圆心在DM上，.过，分别作平面ABC和平面BCD的垂线并相交于O点，则O点为三棱锥外接球的球心.连接，，OA，OM，OD，则三棱锥外接球的半径为OA.易知.则，∵，∴，，则外接球的表面积为，C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知向量，，且，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为______，______〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，在上的投影向量的坐标，所以，.故〖答案〗为：.14.已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是______.〖答案〗或〖解析〗根据三角形的性质，只能用长度分别为2，3，4或3，4，6的3根细钢丝围成三角形，则该三角形最小内角的余弦值为或.故〖答案〗为：或.15.在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为______.〖答案〗〖解析〗如图，在上取，连接CF，，在上取，连接GF，BG，因为，，所以四边形BCFG为平行四边形，所以，易得，则，，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，由题意得，，所以周长为.故〖答案〗为：.16.在平行四边形ABCD中，，，，，线段AE与BF相交于点G，则______.〖答案〗〖解析〗如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，过作轴于M点，由题意可得，，则，，，，，得，，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数.（1）若z为实数，求m的值.（2）若z为纯虚数，求m的值.解：（1）由题意得，得，即.（2）由题意得，得，即.18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求外接圆的周长；（2）若，求的周长.解：（1）由题意得，所以，设外接的半径为R，则，得，故外接圆的周长为.（2）由余弦定理，得，由，得，得，所以，，故的周长为.19.如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.（1）证明：平面ABED.（2）证明：平面平面BCFE.解：（1）证明：如图，连接BG，∵M为BC的中点，N为GC的中点，∴，∵平面ABED，平面ABED，∴平面ABED.（2）∵G，O分别为DE，DF的中点，∴，∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE，∵且，∴四边形OFCH是平行四边形，∴，∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE，又，∴平面平面BCFE.20.如图，某海产养殖户承包一片靠岸水域，AB，AC为直线海岸线，，，.（1）求B与C之间的直线距离.（2）在海面上有一点D（A，B，C，D在同一平面上），沿线段DB和DC修建养殖网箱，若DB和DC上的网箱每米可获得30元的经济收益，且，求这两段网箱获得的最高经济总收益.解：（1）在中，，由正弦定理，得，故B与C之间的直线距离为100m.（2）在中，由余弦定理，即，得，，即，当且仅当时，等号成立，故这两段网箱获得的最高经济总收益为元.21.如图1，小明同学发现家里的地板是正六边形木质地板组合而成的，便临摹出了家里地板的部分图形，其平面图如图2所示，其中O为正六边形ABCDEF的中心.（1）用，表示，；（2）若，求.解：（1）如图，连接OB，OF，由正六边形性质，得四边形ABOF为平行四边形，所以，，.（2）由正六边形性质，得，因为，所以.22.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABP，，E为BC的中点.（1）证明：平面平面PAD.（2）若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值.解：（1）如图，取PD的中点F，PA的中点G，连接EF，FG，BG，∵平面ABP，平面ABP，∴，∵，∴，∵AP，平面PAD，，∴平面，∵，，，，∴，，∴四边形BEFG平行四边形，∴，∴平面PAD，又平面PED，∴平面平面PAD.（2）取AB的中点H，连接PH，AC，∵平面ABP，平面ABP，∴，∴，∴，易得，∵，∴，∵平面ABP，平面ABCD，∴平面平面ABP，又，∴，∴平面ABCD，易得，，，，∴，设点A到平面PCD距离为h，∵，得，∴直线PA与平面PCD所成角的正弦值为.河北省邯郸市九县区2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由正弦定理知：，得.故选：B.3.如图，水平放置的的斜二测直观图为，若，则（）A. B.2 C. D.5〖答案〗C〖解析〗依题意由直观图可得如下平面图形，因为，所以，，所以.故选：C.4.已知向量，，，若B，C，D三点共线，则（）A.－16 B.16 C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，，因为B，C，D三点共线，所以，则，得.故选：A.5.在中，，，，则面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，则的面积为.故选：A.6.若一扇形的圆心角为，面积为，该扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗设该圆锥的母线长为l，底面半径为R，高为h，则，得，由，得，因为，所以圆锥的体积为.故选：C.7.如图，在圆柱中，AB，分别为圆O，圆的直径，C为上靠近A的三等分点，为上靠近的三等分点，且，则异面直线与OC夹角的正切值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如图，连接，，，AC，因为，，为等边三角形，所以异面直线与OC的夹角为或其补角，因为，，，所以异面直线与OC夹角的正切值为.故选：D.8.老虎甲在A地发现野鹿乙在北偏东方向上的B地，立刻以的速度进行追捕，与此同时，野鹿乙以的速度往北偏东方向逃窜，假设甲、乙都是匀速直线运动，且，则甲能够一次性捕获乙的最短时间为（）A.60s B.80s C.100s D.120s〖答案〗C〖解析〗如图，设甲最快捕获乙的地点是点C，时间为t（单位：s），则，，由题意得，由余弦定理，得，解方程得或（舍去）.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若向量，，，则（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗由题意得，，因为，，所以与不垂直，因为，所以.故选：ABD.10.在直角梯形ABCD中，，，，，以AD所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则（）A.该几何体为棱台B.该几何体的母线长为C.该几何体的表面积为D.该几何体的体积为〖答案〗BCD〖解析〗由题意可知该几何体为圆台，故A选项不正确；该圆台的母线长为，故B选项正确；该圆台的表面积为，故C选项正确；该圆台的体积为，故D选项正确.故选：BCD.11.已知复数z的虚部大于0，且，则（）A.B.C.D.复数在复平面内对应的点位于第二象限〖答案〗BC〖解析〗设（，，且），则，得，所以，所以，所以，，故A错误，B正确；，故C正确；因为，所以复数在复平面内对应的点位于第三象限，故D错误.故选：BC.12.在三棱锥中，和均是边长为的正三角形，二面角的平面角为，则（）A.B.点A到平面BCD的距离为C.三棱锥外接球的球心到平面ABC的距离为2D.三棱锥外接球的表面积为〖答案〗ABD〖解析〗如图，取BC的中点M，连接AM，DM.∵，，∴二面角的平面角为，且平面AMD，∴，A正确；过A作直线DM的垂线，垂足为N，易证平面BCD，易得，，∴，B正确；外接圆的圆心在AM上，，外接圆的圆心在DM上，.过，分别作平面ABC和平面BCD的垂线并相交于O点，则O点为三棱锥外接球的球心.连接，，OA，OM，OD，则三棱锥外接球的半径为OA.易知.则，∵，∴，，则外接球的表面积为，C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把〖答案〗填在答题卡中的横线上.13.已知向量，，且，的夹角为，则在上的投影向量的坐标为______，______〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，在上的投影向量的坐标，所以，.故〖答案〗为：.14.已知4根细钢丝的长度分别为2，3，4，6，用其中的3根细钢丝围成一个三角形，则该三角形最小内角的余弦值可以是______.〖答案〗或〖解析〗根据三角形的性质，只能用长度分别为2，3，4或3，4，6的3根细钢丝围成三角形，则该三角形最小内角的余弦值为或.故〖答案〗为：或.15.在正方体中，，E为棱上一点，且，则，E，C三点所在的平面截正方体所得截面的周长为______.〖答案〗〖解析〗如图，在上取，连接CF，，在上取，连接GF，BG，因为，，所以四边形BCFG为平行四边形，所以，易得，则，，E，C三点所组成的平面截正方体的截面为，由题意得，，所以周长为.故〖答案〗为：.16.在平行四边形ABCD中，，，，，线段AE与BF相交于点G，则______.〖答案〗〖解析〗如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系，过作轴于M点，由题意可得，，则，，，，，得，，所以.故〖答案〗为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数.（1）若z为实数，求m的值.（2）若z为纯虚数，求m的值.解：（1）由题意得，得，即.（2）由题意得，得，即.18.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求外接圆的周长；（2）若，求的周长.解：（1）由题意得，所以，设外接的半径为R，则，得，故外接圆的周长为.（2）由余弦定理，得，由，得，得，所以，，故的周长为.19.如图，在三棱柱中，G，O，H，M分别为DE，DF，AC，BC的中点，N为GC的中点.（1）证明：平面ABED.（2）证明：平面平面BCFE.解：（1）证明：如图，连接BG，∵M为BC的中点，N为GC的中点，∴，∵平面ABED，平面ABED，∴平面ABED.（2）∵G，O分别为DE，DF的中点，∴，∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE，∵且，∴四边形OFCH是平行四边形，∴，∵平面BCFE，平面BCFE，∴平面BCFE，又，∴平面平面BCFE.20.如图，某海产养殖户承包一片靠岸水域，AB