2018版高考数学(理)一轮复习第九章解析几何9.8

§9.8

曲线与方程根底知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引根底知识自主学习1.曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：知识梳理那么，这个方程叫做

，这条曲线叫做

.曲线的方程方程的曲线这个方程的解曲线上的点2.求动点的轨迹方程的根本步骤任意x,y所求方程1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.知识拓展判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.()(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.()(3)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.()(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.()(5)y＝kx与x＝y表示同一直线.()×××√×思考辨析

考点自测1.(教材改编)点F(，0)，直线l：，点B是l上的动点，假设过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，那么点M的轨迹是答案解析A.双曲线

B.椭圆C.圆

D.抛物线由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.几何画板展示

A.两条直线

B.两条射线C.两条线段

D.一条直线和一条射线解析即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.答案

3.(2016·南昌模拟)A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，那么P点的轨迹方程是A.(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)B.(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)C.(x－2)2＋y2＝4(y≠0)D.(x－1)2＋y2＝1(y≠0)答案解析由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故选C.几何画板展示4.过椭圆(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，那么线段MN中点的轨迹方程是________________.答案解析设MN的中点为P(x，y)，几何画板展示5.(2016·唐山模拟)设集合A＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝}，C＝{(x，y)|2|x－3|＋|y－4|＝λ}.假设(A∪B)∩C≠∅，那么实数λ的取值范围是________.解析答案几何画板展示由题意可知，集合A表示圆

上的点的集合，集合B表示圆

上的点的集合，集合C表示曲线2|x－3|＋|y－4|＝λ上的点的集合，这三个集合所表示的曲线的中心都在(3,4)处，集合A、B表示圆，集合C则表示菱形，可以将圆与菱形的中心同时平移至原点，如图所示，题型分类深度剖析题型一定义法求轨迹方程例1

如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1<t<3，与椭圆C2：

＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2的左，右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.

解答几何画板展示由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0).设点A的坐标为(x0，y0)；由曲线的对称性，得B(x0，－y0)，设点M的坐标为(x，y)，应用定义法求曲线方程的关键在于由条件推出关于动点的等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解.思维升华跟踪训练1两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.

解答几何画板展示如下图，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0).设动圆M的半径为r，那么由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3<4＝|O1O2|.∴点M的轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3的双曲线的左支.题型二直接法求轨迹方程

解答

(1)求椭圆C的标准方程；因此a＝3，b2＝a2－c2＝4，(2)假设动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.

解答几何画板展示若两切线的斜率均存在，设过点P(x0，y0)的切线方程是y＝k(x－x0)＋y0，Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，又所引的两条切线相互垂直，设两切线的斜率分别为k1，k2，若两切线中有一条斜率不存在，因此，动点P(x0，y0)的轨迹方程是x2＋y2＝13.直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系那么可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.思维升华跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆(a>b>0)的左，右焦点.△F1PF2为等腰三角形.

解答(1)求椭圆的离心率e；设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0).由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足＝－2，求点M的轨迹方程.解答几何画板展示由(1)知a＝2c，b＝

c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2的方程为y＝

(x－c).消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝

c，设点M的坐标为(x，y)，题型三相关点法求轨迹方程例3(2016·大连模拟)如下图，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1的切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x0＝1－时，切线MA的斜率为－.

解答(1)求p的值；因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)的切线斜率为y′＝

，且切线MA的斜率为－

，由①②得p＝2.(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O).

解答几何画板展示由N为线段AB的中点，知所以切线MA，MB的方程分别为当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB的中点N为点O，坐标满足x2＝

y.因此AB的中点N的轨迹方程是x2＝

y.“相关点法”的根本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式(3)代换：将上述关系式代入曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.思维升华跟踪训练3

设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程.

解答几何画板展示设△ABC的重心为G(x，y)，点C的坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).消去y并整理得x2－12ax＋16a2＝0.∴x1＋x2＝12a，y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.∵G(x，y)为△ABC的重心，又点C(x0，y0)在抛物线上，(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，∴将点C的坐标代入抛物线的方程得∴△ABC的重心的轨迹方程为典例(12分)抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，椭圆＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.

分类讨论思想在曲线方程中的应用思想与方法系列22(1)求抛物线与椭圆的方程；(2)假设P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ(λ≠0)，试求Q的轨迹.思想方法指导标准解答(1)由含参数的方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，一般情况下，根据x2，y2的系数与0的关系及两者之间的大小关系进行分类讨论.(2)等价变换是解题的关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程.(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题.

返回解

(1)因为抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，所以(－2)2＝4p，解得p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)，即椭圆的右焦点为F(1,0)，得c＝1.又椭圆的离t心率为

，所以a＝2，可得b2＝4－1＝3，故椭圆的方程为(2)设Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，设P(x，y0)，因为P为椭圆上一点，此轨迹是两条平行于x轴的线段；

[8分]此轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[－2,2]的局部；[10分]此轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[－2,2]的局部.[12分]

返回课时作业1.(2017·宜春质检)设定点M1(0，－3)，M2(0,3)，动点P满足条件|PM1|＋|PM2|＝a＋(其中a是正常数)，那么点P的轨迹是2345678910111213答案解析A.椭圆

B.线段C.椭圆或线段

D.不存在当|PM1|＋|PM2|＝6时，点P的轨迹是线段M1M2；故选C.1√2.假设曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，那么称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是12345678910111213答案解析A.x＋y＝5 B.x2＋y2＝9C.

D.x2＝16y√∵M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差的绝对值为8，∴M的轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线，方程为

.A项，直线x＋y＝5过点(5,0)，故直线与M的轨迹有交点，满足题意；B项，x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，

的右顶点为(5,0)，故椭圆

与M的轨迹有交点，满足题意；D项，方程代入

，可得y－

＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，满足题意.123456789101112133.(2016·银川模拟)点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，那么Q点的轨迹方程是A.2x＋y＋1＝0 B.2x－y－5＝0C.2x－y－1＝0 D.2x－y＋5＝0√2345678910111213答案解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.14.(2016·太原模拟)圆锥曲线mx2＋4y2＝4m的离心率e为方程2x2－5x＋2＝0的根，那么满足条件的圆锥曲线的个数为A.4 B.3 C.2 D.1√12345678910111213答案解析12345678910111213∵e是方程2x2－5x＋2＝0的根，当它表示焦点在x轴上的双曲线时，当它表示焦点在x轴上的椭圆时，当它表示焦点在y轴上的椭圆时，12345678910111213∴满足条件的圆锥曲线有3个.5.点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，假设，那么点P的轨迹方程为A.y＝－2x B.y＝2xC.y＝2x－8 D.y＝2x＋412345678910111213答案解析√12345678910111213设P(x，y)，R(x1，y1)，由

知，点A是线段RP的中点，∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.6.平面直角坐标系中，两点A(3,1)，B(－1,3)，假设点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，那么点C的轨迹是A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线√12345678910111213答案解析设C(x，y)，则

＝(x，y)，

＝(3,1)，

＝(－1,3)，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线.7.曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)的距离的积等于常数a2(a>1)的点的轨迹.给出以下三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③假设点P在曲线C上，那么△F1PF2的面积不大于a2.其中，所有正确结论的序号是________.12345678910111213答案解析②③12345678910111213因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)的距离的积是1，且a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应的轨迹关于原点对称，即②正确；8.(2017·西安月考)△ABC的顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sinB＋sinA＝sinC，那么C点的轨迹方程为________________.12345678910111213答案解析则|AC|＋|BC|＝10>8＝|AB|，∴满足椭圆定义.则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为12345678910111213答案解析12345678910111213设Q(x，y)，34567891011121310.圆的方程为x2＋y2＝4，假设抛物线过点A(－1,0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，那么抛物线焦点的轨迹方程是________________.设抛物线的焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4>2＝|AB|，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点).答案解析1211.实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.12345678910111213

解答(1)求动点S的轨迹C的方程，并指出它是哪一种曲线；∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆(除去x轴上的两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.12345678910111213

解答(2)假设m＝，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.∵t>0，∴t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个交点.12345678910111213

(1)求椭圆E的方程；

解答解得a2＝2b2，故椭圆E的方程可设为则椭圆E的左焦点坐标为(－b,0)，过左焦点且倾斜角为45°的直线方程为l′：y＝x＋b.设直线l′与椭圆E的交点为A，B，12345678910111213解得b＝1.12345678910111213(2)假设动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l的垂线，垂足为Q，求点Q的轨迹方程.12345678910111213

解答①当切线l的斜率存在且不为0时，设l的方程为y＝kx＋m，联立直线l和椭圆E的方程，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l和椭圆E有且只有一个交点，所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0.化简并整理，得m2＝2k2＋1.因为直线MQ与l垂直，1234567891011121312345678910111213把