人教A版高中数学必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题 (六)(含答案解析)

必修二第六章第1节《平面向量的概念》解答题(6)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.若间=1>\b\=m>\a+b\=2.

⑴若|苍+2石|=3,求实数m的值;

(2)若行+消”泓勺夹角为拳求实数"的值.

2.已知三个点4(2,1),8(3,2),。(-1,4).

(1)求证：AB1AD;

(2)若四边形ABCQ为矩形，求点C的坐标及矩形ABC。两对角线所夹的锐角的余弦值.

3.一架执行任务的飞机从A地按北偏西30。的方向飞行300M?后到达8地，然后向C地飞行，已

知C地在A地北偏东60°的方向上，且A,C两地相距300h〃，求飞机从B地到C地飞行的方向

及B,C间的距离.

4.如图，平行四边形A8C。中，AB=a，AD=b，荏=：而，CF=|CD.

(1)用五石表示前；

(2)若同=1,同=4,^DAB=60°,分别求|国和前.两的值.

5.已知向量五，h，不满足日+加+下=6,|五|=1,|石|=在产，a,方的夹角为45。，求

(1)求的大小

(2)求五，下夹角的大小.

6.边长为1的正三角形ABC,E、尸分别是边A8、AC上的点，若荏=m四，AF=nAC，其中

m,ne(0,1),设E尸的中点为M,BC中点、为N.

(1)若A、M,N三点共线，求证：m=n；

(2)若rn+n=l,求|MN|的最小值.

7.已知|7T|=4,|了|=3,(2/—3%)•(2H+17)=61.

(1)求|N+初.

(2)求向量亍与向量H+方的夹角的余弦值.

8.如图，已知向量五，石,c,d.

(1)求作五+7+m+Z

(2)设|砧=2,芭为单位向量，求|行+3|的最大值.

9.若。是△ABC所在平面内一点，且满足|南一历|=|南—市+近一成试判断AABC的

形状.

10.⑴已知4(5,1),8(1,3),C(2,4)>D(x,y),AB=DC，求靠坐标及。点坐标.

(2)已知|方|=6,|3|=4，0—2方)-0+33)=—72.求|方+2+及五在3+2方方向上的投影.

11.已知向量五=3可-2石，3=4瓦*+石，其中2=(1,0),可=(0,1).

(1)求五不，\a+b\;

(2)求五与方的夹角的余弦值.

12.己知向量沆—(cosa,sina'),n-(—1,2).

(1)若沆〃元，求s-osa的值;

sina+cosa

(2)若|而—五|=鱼，a£管,〃)，求cos(a+E)的值.

13.如图，在平面斜坐标系xOy中，z.xOy-60°,平面上任一点P在该斜坐标系中的斜坐标是这

样定义的：若而=x^+y区(其中宕、京分别为与x轴、y轴正方向同向的单位向量)，则P点

斜坐标为(x,y).

(1)若P点斜坐标为(2,-2),求尸到O的距离仍。卜

(2)若44BC三个顶点的斜坐标分别为4(1,4),B(4,2),C(3,5),求三角形的内角

14.已知百，石是夹角为g的两个单位向量，石=3瓦-2筱,3=2瓦-3夙.

(1)求五不；

(2)求证:(ot+T)lC^-T);

(3)求正与B夹角的余弦值

15.在①(ta+方)〃(五+t办(2)(ta+b)1(a+tb)：③(ta+1|=|五+t1|这三个条件中任选一

个，补充在下列问题中，并回答问题，己知五=(一1,一1),K=(o,i).

(1)若,求实数r的值，

(2)若H=(x,y),且不=yN+(1-x)石，求同.

16.如图所示，在AABC中，点。为AB边的中点，点E为BC上靠近点B的三等分点，线段AE与

CD交于点、P.

(1)设而=m超+n恁，求m-n的值;

(2)若4B=3,AC=2,^BAC=y,求|万

17.已知平面非零向量配了的夹角是|兀.

(1)若|a|=l,a+2b=77,求b；

(2)若］=(2,0)，b=(t,V3))求，的值，并求与［一：共线的单位向量之的坐标•

18.已知同=4,|6|=8>:与湎夹角是60。，计算:

(l)(2a+6)-(2a-K);

(2)|4a-26|.

19.如图所示，在△ABO中，OC=^OA,OD=^OB,AO与BC相交于点M,设瓦？=洒OB=b，

(1)试用向量方，E表示而;

(2)在线段AC上取点E,在线段8。上取点F,使EF过点M.设赤=AOA,OF=〃而，其中尢4£

1121

R.当EF与AO重合时，A=l，n=\此时；+-=5；当EF与BC重合时，2=：,〃=1,此时

2人〃3

1+；=5,能否由此得出一般结论：不论E,尸在线段AC,20上如何变动，等式：+；=5恒成

立？请说明理由.

20.已知|五|=2,|3|=1，方与石的夹角为60。，若向量沅=2。+3，向量”=1一4石，求:

(l)m-n；

(2)向量沆与记夹角的余弦值.

21.如图，在团AOB中，。是边08的中点，C是边0A上靠近点。的一个三等分点，AD与BC交于

(1)用a，b表示0M・

(2)过点M的直线与边。4,。8分别交于点£1,凡设OE=p»OF=qb'求;+泉的值.

22.已知向量五=(cosa,sina),b=(cos/?,sin/?)»\a—b\=

(1)求COS(Q-£)的值;

(2)若一]v夕v0vQv且sin0=_1,求sina的值.

23.设向量五,9满足|五|=3=1及|3五-2刈=y/7.

(1)求五，方夹角的大小;

(2)求|3方+2石|的值.

24.如图:

(1)以A为始点,作出五+无

(2)以B为始点，作出不+胃+若；

25.已知向量日与1的夹角9=拳且同=3,b=2y/2.

⑴求归+b］；

(2)求之与：+力的夹角的余弦值.

26.已知向量怖=(-1,-1),0=(o,i>

(1)若向量(t方+彳)〃0+1月)，求实数f的值;

(2)若向量c=(x,y)满足不=—ya+(1—x)£，求|c|的值.

27.已知云=(1,2),3=(1,4)，分别确定实数4的取值范围，使得:

(1)五与方的夹角为直角；

(2)五与方的夹角为钝角；

(3)4与石的夹角为锐角.

28.已知同=鱼，同=1,五与B夹角为45。.

(1)当五+/13与；I五+至相互垂直时，求4的值.

(2)当方+，石与4五+1共线时，求|五+4方|.

(3)当五+4E与4日+坂的夹角为钝角时，求;I的取值范围.

29.已知回ABC在平面直角坐标系xOy中，其顶点4B,C坐标分别为4(—2,3),8(1,6),C(2cos。,2sin。).

(1)若ZBAC=],且。为第二象限角，求cos。一sin。的值.

(2)若。=|兀，且耳万AA5(A€R)＞求|而|的最小值.

30.已知两个非零向量落b.

(1)若向量区石是夹角为120。的单位向量，试确定实数%,使%五+石和往-石垂直;

(H)若丽+方，~BC=2a+6b>CD=2(a-b).求证：48,。三点共线.

【答案与解析】

1.答案：解：(1)因为|五+方|=2，

所以I1+至|2-4.

即为2+另2+2五•3=4，

又|2|=1,=m，

所以1不=已匕

2

由|五+23|=3，

所以|4+23|2=9.

即整+414-4a-b=99

所以1+4x^^+4m2=9,

2

解得m=±1,

又曲>0，

所以?n=1.

(2)因为|中=1,\b\=mf五•方=等

所以|五一=324-£>2—2a-b=1—2x+m?=2m2—2,

\a-b\=V2m2-2.

又因为为+石与五—b的夹角为

所以(54-K)•(a-b)=a2—b2=|a4-6|x\a-b|cos，

所以l—m2=2x\/2m2—2cos

解得7n=土汽,

又巧|>0，

所以m=V3.

解析：本题考查了平面向量的数量积运算，平面向量的模，向量的夹角，掌握运算性质是关键，属

于中档题.

⑴由|2+方|=2，|五+2刈=3，得片+才+2苍不=4和片+4方之+4为不=9，即可求解;

(2)利用@+b')(a-b')=a2—b2=\a+b\x\a-b|cos与求解.

2.答案：(1)证明：・••4(2,1),6(3,2),£>(-1,4),

■.AB=(1,1)>AD=(-3,3)-

.-.AB-AD=lx(-3)+1x3=0，即而1而，

・•・AB1AD.

(2)解：♦.♦荏_L而，四边形ABC。为矩形,

AB=DC-

设点C的坐标为(x,y),

则配=(x+l,y-4).

又•.•荏=(1,1).

.9+1=1，

(y-4=1,

解啜：5.

二点C的坐标为(0,5).

AC=(-2,4)，~BD=(-4,2)，

||=2V5-\BD\=2V5，AC-~BD=8+8=16.

设而与前的夹角为。，

AC-^D_16_4

则COS。=

|Zc||ED|一2遍x2遥-5

故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为：

解析：本题主要考查了向量垂直的判定与运用、向量相等的坐标间关系、向量的夹角与数量积，向

量的坐标运算，属于中档题.

(1)计算向量荏，近的坐标，通过计算它们的数量积为0判定垂直即可：

(2)根据题意得到向量荏=尻进而列方程组求得点C坐标，最后利用向量的数量积及夹角公式求得

结果.

3.答案：解：如图，

BC=BA+AC，^.BAC=90°,\AB\=\AC\=300km，

.-.\BC\=300V2/cm.

又乙4BC=45。，且4地在3地的南偏东30。的方向上，

C地在8地的南偏东75。的方向上.

解析：本题主要考查利用向量加法解决实际问题，难度不大.

作出方位示意图，由向量的加法以及向量的模可求得.

4.答案：解：(1)平行四边形ABCD中，AB=a，AD=b，CE=^CB,GF=ICD,

—,―>―，2—>1―»

・・・EF=CF—CE=-CD--CB

33

=--AB+-AD=

3333

(2)・・・|五|=1,曲=4,CLUB=600,

―>2T1一4-24-T1-2

・••1阳9=(一铲+?)=铲+

——x1X4XcocsGO''4"，

9993

.•.|丽|=咨

v~AC=a+b，

__、__>T21_

AC•FE-0+b)•qZ—§Z?)

2-21--I

=-a4--a-h--b

333

2,1..11.x

=-+-xlx4x---x4Z2=-4.

3323

解析：本题主要考查了向量的线性运算，向量的数量积，属于中档题.

(1)根据向量的线性运算用向量乙另表示前直接求解即可；

(2)利用向量的关系，把前用向量五花表示，再结合(1)的结论利用向量的模和数量积的运算性质,

求解即可.

5.答案:解：(1)由题意下=—(五+b),

_»2T_2V6+V2V6+V2r

|c|2=(a+b)2=a+2五+b=14-2x1x-------cos45°+(-------)2

1―8+4^3r-r—

=1+遮+1H------=4+2v5=(遮+l)29

|c|=V3+1

(2)a-c=-a-(a+K)=-a2-a-b=-卫二

a•cV3

cos<a,c>=

l^lklT

v0<<a,c><Ti

：.<a7c>=—

6

解析：本题考查向量的模、向量的夹角以及向量的数量积，属于中档题；

⑴由题意不=—(a+|c|2=(a-I-6)2=a24-2a-K+K2=(V3+1)2,可得|H|=V3+

1

(2)由cos<a,c>=系即可求解；

6.答案：(1)证明：由A,M,N三点共线，得祠〃丽，设宿=4就(46/?),

即“近+碣=/港+硝，

所以m而+nE=A(AB+ACy

由南，而不共线得m=ri=4,

即m=n.

(2)解：荏•刀=1x1xcos60°=

因为丽=AN-AM=^(AB-AC)-^(AE-AF)

=0通+三亚，

22

又jn+n=l,所以MN=W^通+/正，

所以।丽产=立普同？+?而，*1-m)m荏.前

2

=*1_⑹+加2+*1_m)m=i(m-1)+亮.

故当m=T时，|而|min=f-

即|而|的最小值为f.

解析：本题考查平面向量的加减及数乘运算，考查平面向量共线的条件，考查平面向量的数量积与

求向量的模长，是中档题.

(1)由A,M,N三点共线，得硒/丽,设宿=4前(46R)，所以：(荏+而=之2(荏+而)即

可求解；

(2)化简而为丽=^AB+^AC,再两边平方利用数量积即可求解.

7.答案：解：(1)|五|=4,|山=3,设区石的夹角为。，

(2a-3b)-(2a+b)=61，

所以4片一4年•万一3才=61>

即4x42-4x4x3xcosO-3x32=61,解得cos。=

|a+K|=J(a+b)2=Ja2+2a-b+b

=J|a|2+2|a||K|cos6i+|b|2

=J42+2X4x3x(-1)+32=V13.

(2)va-(a+b)=\a\2+|a||b|cos0

=16+4x3x(-1)=10,

设向量正与向量五+3的夹角为0(/?G[0,7T])

五值+8)_io_5x/n

则cos/?=

\a\[a+b\―4>/13-26

所以向量方与向量1+E的夹角的余弦值为鸳.

解析：本题考查向量的数量积、模和夹角，属基础题.

(1)利用模长公式即可求解.

(2)利用夹角公式即可求解.

8.答案：解：(1)在平面内任取一点。，作成=为，同=&，前=3方=2则丽=4+方+不+1

(2)在平面内任取一点。，作a=五，AB=e，则Z+E=a+荏=话，因为3为单位向量，所以

点B在以4为圆心的单位圆上(如图所示)，

由图可知当点B在点当时，O,A,a三点共线，|而|即他+即最大，最大值是3.

解析：本题考查平面向量的加法运算以及向量模的计算问题，属于基础题.

(1)根据三角形法则即可画出结果；

(2)在平面内任取一点0,作瓦？=8，荏=济则W+3=而，点B在以A为圆心的单位圆上，当

点。，A,B三点共线时，|布|最大.

9.答案：解：•••0B-0A+0C-0A=AB+AC>0B-0C=CB=AB-AC.

又|通-玩|=|而-M+玩-两，

|AB+AC|=|AB-AC|，

・•・以AB,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，

••.该平行四边形为矩形，

ABX.AC,

•••△4BC是直角三角形.

解析：本题考查平面向量的三角形法则以及平行四边形法则，属于基础题，

由题意得到|海+亚|=|丽-熊|，从而得到以A3,AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度

相等，得到该平行四边形为矩形，从而得到结论.

10.答案:(1)解:因为4(5,1),8(1,3),C(2,4),D(x,y),

所以检=(-4,2),DC=(2-x,4-y),

山四=反得仁；工4,解得1空，

所以获坐标为(-4,2),。点坐标为(6,2).

(2)解：因为(万一2石)•@+3])=片一6二+五不

=36—6x16+五,b=-72,

所以五,石=-12，

则B+23=J(五+21)2=6+4b+4五•b

==36+4x16+4X(-⑵=2g，

又益.(1+23)=12+2方.3=36—24=12.

所以行在五+2B方向上的投影为平翳=磊=骞.

\a+2b\2V1313

解析：本题考查平面向量的坐标运算，考查向量的数量积和模，考查向量的数量积，属于中档题.

(1)根据向量的坐标运算分别表示出荏和诧，根据向量相等的条件即可得到点。坐标;

(2)根据向量的数量积得到五%=-12,进而计算向量的模和投影即可.

11.答案：解：由己知，向量Z=3宕一2名，石=45+五，其中友=(1,0),(0,1),

a=(3,-2)5=(4,1))

(l)a-b=3x4-2x1=10)|a+b|=|(7,-1)|=5Vl.

(2)由上得|方|=g,@=g,

,-y、ab10107221

cos<cifb>=~~~—•

|a|-|d|V13XV17221

解析：本题主要考查向量的模、平面向量的坐标运算、数量积运算.属基础题.

(1)先根据百=(1,0),夙=(0,1)表示出向量五、b，然后根据向量的数量积运算和向量模的运算求出

答案.

(2)先求出向量正石的模，然后根据cos(五花>=蒜，将数值代入即可得到答案.

12.答案：解：(1)vm//n,sina=—2cosa,

sine—2cowa-2cs6n—2csia

.=-：---------------=—x------------------=4.

"sine+cows-2cosa+COHO

(2)v\m-n\=V2»/.《(coso++(sina_2)'=y/2

即2suin-cosn=2.

:.cos2a=4(sina—l)2,：•1—sin2a=4(sina—l)2,

,:aeg,n),・•・解得:sina=|,cosa=—

(i实、一J..开7\/2

sc(\H-----I=------suwisin——=------—・

\4/441()

解析：本题考查了向量共线定理、同角三角函数基本关系式、向量模的计算公式、属于中档题.

(1)由沆〃记知sine2cosn,代入汉竺士竺即可得解.

'stna+cosa

(2)根据模长公式知2sinc-"即=2.解出sincm的值，代入cos(八+即可•

13.答案:解:(1>P点斜坐标为(2,-2),

•••丽=2可—2式・•••|而/=（2五-2均2=8-8^・可=8-8xcos60°=4.

•••|0P|=2，即|0P|=2.

(2)依题意，三角形的内角乙4为屈，前的夹角，

又荏=(.3,-2'),AC=(2,1)，

所以超=3百一2五，正=2瓦+或，

._AB-AC_(3久-2玩)《2药+与)_6可2-2直2-可.瓦

所以8s一府口祠一口瓦一2可|2瓦+司一小百•的小可?+豆，+4宣司

«r17T

=$=LZ.4€(0,7r),所以乙A

V7XV723

解析：本题考查斜率的几何运用，考查斜率的数量积运算。属基础题.

(1)依题意，加=2瓦(—2或，二|前『=(2可一2的2,计算即可.

(2)依题意，三角形的内角乙4为同，下的夹角，求得南=3瓦•-2与，前=2可+五,

AB-AC_（3e1-2^）。（2瓦+e2）

根据cosA运算即可.

|J4P|E|^C||3e1一2。2'卜|2&1+02‘1

14.答案：解：（1）•・•瓦•，石是夹角为W的两个单位向量，

.•.同|=同|=1,N•N=同同cosg=ixlxi=i.

又•:五=3瓦-2瓦石=2瓦>一3瓦

・•・（1）a-K=（3瓦-2筱）•（2否一3司）

=6五2一9百•①一4部•筱+6匹2

=6同2+6同2—13百年

1

=6+6-13X-

_11

=~2~；

（2）v|a|=J（3可-21）2=19|,|2+4|八|2-12瓦・石=<9+4-6=近,

\b\=J（24-3葭产=,4|可J+9|石/一121•可=，4+9—6=夕,

v（a+h）-（a-K）=同2一间2

=7-7

=0,

，(/+1)乂/-了)；

(3)令值㈤=。，

COS0=

|a||d|=V-7x？VL7=—14•

行与石夹角的余弦值为芸.

解析：本题考查平面向量数量积，夹角的运算以及向量垂直的证明，属于基础题.

结合题设条件先求得I否：|=I宅I=te-e=^.

(1)结合以上结论运用平面向量的数量积的运算律即可求得乙.b；

(2)先求得|矶同，之后用向量的数量积可得(五+石).(五一3)=o，从而证得(下+石)，(下.7T)：

(3)应用(1)(2)中结论运用平面向量的夹角公式即可求得结果.

15.答案：解：(1)若选条件①，

因为方=(-1,-1).b=(0,1)1

所以t五+b=(—t,—£+1)，五+tb=(-1,一1+t)>

因为«五+方)//(五+19)，

所以-t(一l+t)=-(-t+l),解得t=l或t=-l.

若选条件②，

因为茄=(-1,—1),b=(0,1),

所以ta+b=(—t,-t+1)>a+tb=(-1,—1+t)>

因为(tN+石)1(a+tb).

所以(一t)x(-1)+(-1+t)(-t+1)=0,解得t=学或t=哈

若选条件③，

因为五=(—1,—1),b=(0,1),

所以t胃+b—(—t,—1+1)，五+tZ?=(-1,-1+t)»

因为|£方+方|=|a+tb\f

所以J(—t)2+(—c+l)2=J(_l)2+(-i+t)2,解得t=1或1=-1.

(2)因为=ya+(1—x)b，所以(%,y)=(y,y+1—,

所以｛;?+一，解得d

所以1=(1,1),所以性|=VL

解析：本题考查了向量的模、向量垂直、向量平行和平面向量的坐标运算，是基础题.

(1)若选条件①，先得出t五+B和的坐标，由(tZ+W〃0+tB),可得「的值；

若选条件②，先得出tW+石和方+tB的坐标，由(td+E)1(W+tE)，可得♦的值；

若选条件③，先得出t4+石和五+tB的坐标，由|tk+石|=|百+t石|，可得，的值：

(2)因为3=yZ+(1-x)B，所以(x,y)=(y,y+1-x),则｛；=；十1_%可得尤，y,从而得出同.

16.答案：解：(1)•••D是AB的中点，E为BC上靠近B的三等分点，•••/=:超，丽=：阮，

•.TE与C£＞相交于点尸，

；・设荏=xAD+(1-x)AC,AP=y荏，

.••9=楙屈+(l-x)正，於=y(屈+屁)，

.•・方=丫解+海)=丫(|荏+河，

(X_

2=

1-久="

・•・~AP=-~AB+-Jc,Am—n=7

(2)CP=AP-AC=|而-1^4C,

।——».2/2——»4——A4——»216——>——>16——>2

\CP\=[-AB--AC]=天48--AB-AC+—AC

\JJ/4D乙。乙J

解析：本题主要考查了平面向量的基本定理、向量的线性运算、向量的模与数量积，属于中档题.

(1)由平面向量基本定理及向量线性运算写出布的两种不同表达，根据相同向量列方程组求得参数值,

进一步求得向量及m-n的值；

(2)先求得向量而，再利用数量积求出|不f,最后求得|加唧可.

17.答案：解：(1)根据题意，设|B|=t，

若他|=1,|H+2h|=V7,且非零向量区下的夹角是|兀，

则有|/+21|2=片+414+4方2=l+4t2-2t=7>

变形可得：2t2-t-3=0,

解可得：1=弓或£=一1(舍)；

故Ib|=3

(2)若五=(2,0),b=(t,V3)>

则|五I=2,\b\=VFTS,a-b=2t,

又由向量落3的夹角是|兀，则有cos£=器，

即十而

解可得：t=-l,b=(-1,V3);

则五一石=(3.-V3);

设了=上(五一方)=(3fc,-V3fc))

贝II有(3k)2+(-原7=1,

解可得：k=土叵,

-6

则3=(苧，一｝或(一今｝

解析：本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题.

⑴根据题意，设|b\=t，由数量积计算公式可得|a+2b\2=a2+4a-b+4b2=l+4t2-2t=7>

变形解可得t的值，即可得答案；

(2)根据题意，由向量的坐标可得|矶、|石|和方方的值，又由夹角公式可得-：=工备，解可得f的

值，即可得方和0—E)的坐标，进而设3=10一方)=(3k,-gk)，由单位向量的定义可得(3k)2+

(-V3fc)2=l，解可得％的值，即可得答案.

18.答案：解：⑴因为同=4,曰|=8，

所以(2方+石)・(2五一5

=(2a)2—K2=4|a|2-|K|2

=4x42-82=0；

(2)因为|苍|=4,汤|=8,4与石的夹角是60。，

所以|44一2石『=(4a-2d)2=16a2-16a-K+4b2

=16X42-16x4x8xcos60°+4x82=256.

所以|4/一23|=16.

解析：本题考查向量的模的求解、向量的数量积，属于基础题.

(1)直接利用数量积的运算性质计算即可；

(2)先求出|43一23「，即可求出结果.

19.答案：解：⑴:0A=五，OF=b，

由A,M,。三点共线可知存在实数f使得

——,—,—»一IT1—tb4-ia

OM=104+(1-t)0。=t五+(1-t)•胪=-----------

同理，由C,M,8三点共线可知存在实数"使得

0M=u0^4-(1—u)0C=ub

(入、1—7*,

1—w).-a=ub+-^-Q

,Iu=2C，解得〃=|，t=I，

心

―'1-2T

・•・0M=-a+-6;

(2)可以得出结论，不论E,尸在线段AC,上如何变动，等式：1+：a=5恒成立,

证明如下所示：

设0M'=xOF+yOF=xAa+ynb>

・••M,E,尸三点共线，则x+y=l,

由(1)可得，xA=1,y〃=|,联立可得：

1

(x+y=i(x-

5A2

品

"lI

y

=

12

得证，所以不论E,F在线段AC,8。上如何变动，等式：+±=5恒成立.

解析：本题主要考查的是平面向量基本定理及其应用，属于中档题.

(1)结合A,M,。三点共线可知存在实数r使得而=tE+(l-t)前，结合C,M,B三点共线

可知存在实数"使得而=n而+(1-“)诧，再分别转化为用UX而表示，进而求出"，r,即可

解答；

(2)由所给两种情况进行猜想，再设。所=x0©+y。尸=五+结合例，E,尸三点共线，则

x+y=l,进行推导证明即可.

20.答案：解：(1)因为向量记=2行+石，n=a—4b>

所以沆•元=2五之-4,一7为不=2X4-4-7=-3，

(2)因为向=J(2a+b)2=J4a2+K2+4a-K

=V4x4+1+4=V21，

|n|=J(a-4b)2=Ja2+16b2-8a-b

=V4+16-8=2A/3,

设向量记=2a+石与向量记=a—4石的夹角为a,

则cosa=沆.=~3=一包,

人JC°Sa网问V21X2V314,

即向量记=2五+石与向量元=五一4方的夹角的余弦值为一立.

14

解析：本题考查向量的模，考查平面向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，考查

运算能力，属于基础题.

(1)运用向量数量积的定义，的沆.元=2/_432_7小方，即可得到所求；

(2)求出向量记，元的数量积和模，再由夹角公式，即可得到所求余弦值.

21.答案：解：(1)■1>0^4=a>OB=设。答=xk+yb，

1•,AM=OM—0/1=(%—1)0^4+yOB=(x-1)a+yb,

AD=0D-0A=-a+-b.

2

-A,M,。三点共线，

AM,近共线，从而2(x-1)=_y.①

;又丽=而一近=%亚+(y-1)而=%五+(y—1)3，

““一♦一一»♦1_.—»

BC=OC-OB=-a-6,

3

即C,M,B三点共线，

.•.瓦环，灰共线，

即2-1)=T.②

联立①②解得《"

故丽=:方+：反

(2),•-0E=pa>OF=qb'

■•■EM=OM-OE=|a+|ib-pa=(^—p)a+|b,

FF=OF-OE=qb—pa>

•.•前，前共线，

-(1-P)Q=-|p即/号=pq.

故:汨=5.

解析：本题考查平面向量的基本定理，向量的加减法以及向量的数乘运算，向量共线的充要条件，

属于中档题.

(1)设丽=xZ+y8,利用向量的减法法则得宿=(x-1)3+丫石，初=一五+^结合戒，而共

线得到关于x,y的方程：1(x-l)=-y,同理得53-1)=一尢联立求解即可得到结论.

(2)应用题中条件结合(1)中结论得EM—0M—0E—(1—p)a+|b,'EF=O^F—OE=qb—pa-

结合前，就共线得g-p)q=-|p,整理即可得到欲证结论.

22.答案:解：(1)|a—

■■a2—2a-b+b2=：.

又•.,五=(cosa,sina),了(cos3,sin3).

a2=b2=1'37=|，

a*-6=co«ccu«3+sumsinJ=cos(c—0)，

:.cos(a-)?)=-,

(2)v-^</?<0<a<p0<a-/?<7T.

由(1)得cos(a-0)=I，

•••sin(a-S)=$

X"Sin/?=一卷，COS0=

sina=sui[(a—0)+3]

=sin(n-§)co«3+<xj«(n—0)sin3

4123533

=5X13+5X(-13)=65,

解析：本题考查了数量积和两角差公式的运用，是中档题.

(1)由|五—b|=越可得苍,b=|,由数量积可得五.方=cosacosg+sinasin/?=cos(a—£)，故可得

55

cos(a—3)的值，

(2)由(1)得Kin(c—B)=-,故可由sins=sin[(a—8)+⑼=sin(a—0)cos0+co«(c-J)sinJ,代

5

入数值可得答案.

22

23.答案：解：(1)设为与石夹角为仇(3a-2b)=9|a|2+4|K|-12a-K=7.

而同=|K|=1，

则13-12a-b=7

a•b=3，

A\a\\b|cos6=(即cos0=|,

又8G[0,n],

.■.a,另所成的角为:.

<5

(2)因为足|苍|=方=1，a-K=|

则(3方+2至)2=9|方|2+6布・至+4|方|2=9+6乂[+4=16,

・•・|3为+b|=4-

解析：本题考查了向量的数量积、向量的模及向量的夹角，考查了学生的计算能力，培养了学生分

析问题与解决问题的能力.

(1)根据(34—2万)2=7,91al2+4|K|2-12五•方=7,可得|不=g再根据数量积的定义可求

出cos。=g进而得到为，石夹角.

(2)先求(3五+2方)2=9|a|2+12a-b+4\b\2=16,进而即可求得结果.

24.答案：解：(1)将五起点移至A,再将石起点移至云的终点，再连接A与B的终点即可得.

(2)将了起点移至8,再将之起点移至下的终点，再将3起点移至胃的终点，再连接8与之的终点即可得.

TTT

X->Tc+d+d

a+b

AY///

->B

c

a一/

解析：本题主要考查向量的概念及几何表示，属于基础题.

(1)将五起点移至A,再将区方首尾相连即可.

(2)m起点移至2,再将乙d，3按顺序首尾相连即可.

25.答案：解：(1)因为向量方与石的夹角。=拳且|初=3,\b\=2V21

所以五不=|a|•|K|cos0=3x2V2x(-y)=—6,

所以|2+方|=J(a+K)2=Ja2+2a-b+b2=J32+2x(-6)+(2V2)2=V5；

(2)设正与方+B的夹角为a,

则_a(a+b)_a2+ab_9-6_75

则c°sa-一会一T

所以五与五+3的夹角的余弦值为

解析：本题考查向量的模、向量的夹角、向量的数量积，属于基础题.

(1)根据题意求出五不，利用||+9|=«五+4=出+221+片,即可求出结果;

(2)设五与为+B的夹角为a,代入cosa=高鬻1=藉袅，即可求出结果.

26.答案：解：⑴•.•？?=(一1,-1))=(0.1)

二ta+/?=(-t,1—t),a+t/?=(-1,t—1)•

••5+初/0+£办

t(t—1)—(1—t)=0,

解得t=1或t=—1.

(2)vc=-ya+(1-%)/?,・•・(x,y)=(y,y4-1-x)»

即,解得忧：.

|cI=V2.

解析：本题考查平面向量共线的充要条件，考查平面向量的坐标运算，考查求向量的模，是基础题.

(1)分别求出取+瓦及+4向量的坐标，根据平面向量共线的充要条件求解即可；

(2)根据向量相等求出下的坐标，再根据向量的模长公式求解即可.

27.答案:解:设；与；的夹角为仇向=Vl2+22=V5>\b\=V1+A2>a-b=(1,2)-(1,A)=1+2A-

(1)因为；与了的夹角的直角，

所以之'b=0,

所以1+24=0,

所以

(2)因为之与；的夹角为钝角，

所以cos。<0且cos。H—1,

即；工<0且；与4不反向.

由；•b<0得1+2入V0,

故4<-1,由之与1共线得4=2,

厥与科可能反向.

所以；I的取值范围为(一8,-》.

(3)因为:与％的夹角为锐角，

所以es0＞()且cos。力1,即之工＞0且2、%不同向.

由；工＞0,得，＞

由之与总司向得a=2,

所以;I的取值范围为(一32)U(2,+00).

解析：本题考查的是向量的夹角以及数量积的运算，属于中档题.

(1)根据两个向量的夹角为直角，即可求出；I的值；

(2)根据两个向量的夹角为钝角，得到cos。的范围，继