人教版专 题 8.2空间中的平行和垂直关系

专题8.2空间中的平行和垂直关系

【题型目录】

题型一线面平行、面面平行的判定定理

题型二补全平行的条件

题型三线面平行、面面平行的性质定理

题型四线面垂直、面面垂直的判定定理

题型五补全垂直的条件

题型六线面垂直、面面垂直的性质定理

题型七判断平行，垂直的有关命题

题型八平行，垂直的综合应用

【典型例题】

题型一线面平行、面面平行的判定定理

例1.（2023春•福建泉州•高一校联考阶段练习）如图,已知四棱锥P-ABCD中,

ABHCD,。、M分别是C。、PC的中点，P。/底面ABC。，且

PO=OD=DA=AB=BC

⑴证明：PA//平面O8M；

（2）若PO=1,求三棱锥的体积.

例2.（2023春•江苏盐城•高三江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱

ABC-A£G的所有棱长都等于2,E,F,G分别为4G,,A3的中点.

（1）求证：平面AGG〃平面BEP；

举一反三

练习1.（2022春.甘肃兰州.高一兰州市第二中学校考期末）如图，中，

AC=BC=与AB,ABED是正方形，平面ABED_L平面A8C,若G、尸分别是EC、BD

的中点.

⑴求证：GF//平面ABC；

练习2.（2023・安徽安庆・安庆一中校考三模）如图,四棱锥P-43CD中,PAL底面

ABCD,A。〃8C,N为依的中点.

3

⑴若点M在A£>上,24〃=用£»,49=48。,证明：加/7平面PC£>;

练习3.(2023春•黑龙江牡丹江•高一校考阶段练习)如图，已知矩形A8CD所在

平面垂直于直角梯形河/力所在平面，EP=g,

BP=2,AO=4E=1,J.EP,AEHBP、F，G分别是BC,BP的中点.

P

(1)设过三点P，E，C的平面为a,求证：平面AFG〃平面a；

(2)求四棱锥与三棱锥P-8CQ的体积之比.

练习4.(2023・四川•校联考模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面

ABCD,四边形ABCD为矩形，£为棱A8的中点，OE与AC交于点£G为.PBC的

重心.

A

(1)求证：FG,平面

练习5.(2023•全国•高三专题练习)已知点E,尸分别是正方形A8CO的边AD,

8c的中点.现将四边形所8沿EF折起，如图所示.若点G,H分别是AC,BF的

中点，求证：G4//平面EPS.

题型二补全平行的条件

例3.(2023・全国•高三专题练习)如图，四棱锥的底面A8CD为平行四

边形，EG分别为的中点.

(1)证明：AF平面PCG；

(2)在线段BD上是否存在一点N,使得FN平面PCG,并给出必要的证明.

例4.(2023・贵州毕节•统考模拟预测)三棱柱ABC-”6中，四边形"百B是菱

形，N4AS=60。，平面"平面ABC，45c是等腰三角形，ZACB=120°,

AB=2C,B。与BC1交于点M,AA,A1耳的中点分别为N,O,如图所示.

G

(1)在平面AA4B内找一点。，使M3//平面GN。，并加以证明;

举一反三

练习6.(2023•浙江•校联考三模)如图，三棱台ABC-A4G中，AG=4,AC=6,

。为线段AC上靠近C的三等分点.

(1)线段BC上是否存在点E,使得48〃平面CQE,若不存在，请说明理由；若存

在，请求出笠的值;

练习7.(2023春.黑龙江牡丹江.高三牡丹江市第三高级中学校考期中)如图所示,

三棱柱ABC-A£G，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面A8C,点E,F分

别是棱CG，网上的点，点例是线段AC上的动点，EC=2FB=2.

(1)当点M在何位置时，创1//平面4£尸？

练习8.(2022秋.安徽合肥.高二校考学业考试)如图，四棱锥中，PA±

平面A8CD,AS1AD,点E在线段4)上，CE//AB.

⑴求证：CE_L平面PAD；

(2)若E为AO的中点，试在上确定一点尸，使得平面CE尸〃平面并说明

理由.

练习9.（2023春.福建厦门.高三厦门一中校考期中）如图，已知P是平行四边

形A8CD所在平面外一点，M.N分别是A6、PC的三等分点（M靠近8,N靠近

C）；

（1）求证：MV//平面PAD.

⑵在P8上确定一点。，使平面MN。//平面PAD.

练习10.（2021秋・河南•高三校联考开学考试）如图，在三棱锥尸-A3C中，PA1

底面ABC,ZBAC=90.点DE,N分别为棱PA,PC,8c的中点，M是线段A3的中点,

PA=AC=4,AB=2.

⑴证明：平面平面BDE；

（2）已知点尸在AB上，且平面MNF//平面BOE,求线段""的长.

题型三线面平行、面面平行的性质定理

例5.（2023春•高二课时练习）如图，矩形ADPE和梯形ABC。所在平面互相垂

直，AB//CD,ZABC=ZADB=90°,CD=1,BC=2,DF=1.

(1)求证：BE//nDCF；

例6.（2023春・福建泉州•高三校联考阶段练习）（多选）如图，在四面体ABQ3中,

截面MNP。是正方形，则下列判断正确的是（）

A.AC=BDB.AC//平面MNPQ

C.AC±BDD.点3,。到平面MNPQ的距离不相等.

举一反三

练习11.（2023.北京海淀•校考三模）如图I,在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是

边长为2的正方形，侧面PAO为等腰直角三角形，且=点F为棱PC上

的点，平面AOF与棱尸8交于点E.

⑴求证：EF//AD；

练习12.（2023.重庆万州.统考模拟预测）如图1所示，在四边形ABCD中,

BCLCD,E为8c上一点，AE=BE=AD=2CD=2,CE=&，将四边形A£C£＞沿AE

折起，使得8c=百，得到如图2所示的四棱锥.

⑴若平面BCD平面A8E=/,证明：CD//1；

练习13.（2023.全国.高三专题练习）如图，四棱锥的底面为平行四边

形.设平面PAD与平面PBC的交线为I,M、N、Q分别为PC.CD、AB的中点.

（1）求证：平面MNQ〃平面应0；

（2）求证：BC//1.

练习14.（2023・全国•高三专题练习）如图，矩形ACFE,A£=1,A£，平面

ABCD,AB//CD,ZBAD=90°,AB=l,AD=CD=2,平面相＞P与棱BE交于点G.求证:

AG//DF；

E

练习15.（2023•全国•高三专题练习）如图，四棱锥E-ABC。，AB=AD=6,

CD=CB=\,AC=2,平面E4CL平面ABC。，平面ABEc平面CDE=/.若点M为

线段AE中点，求证：BM//1；

题型四线面垂直、面面垂直的判定定理

例7.（2023春・浙江杭州•高三杭师大附中校考期中）如图，在四棱锥S-ABCD中,

底面A8CO是平行四边形，AC.LBC,^ABC=60°,SA=SB=SC=4,ZASB=90°.

（1）求证：平面SAB_L平面ABC；

例8.（2023春・山东临沂•高三校考阶段练习）如图，是。的直径，C是圆周

上异于A,8的点，P是平面A8C外一点，且PA=PB=PC=&

p

(1)求证：平面P45,平面ABC；

举一反三

练习16.(浙江省北斗星盟2023届高三下学期5月联考数学试题)已知四棱锥

P—ABCD中，底面A5C。为平行四边形，平面PCDJ•平面A8C2尸。=A£>.

(1)若H为AP的中点，证明：AP/平面”8；

练习17.(2023春•广西柳州•高三柳州地区高中校考期中)如图,在四棱锥

P-ABCD^,PA_L平面A8C£>,AD!IBC,ABIBC,PA=AD^4,BC=\,AB=43,

CD=25

(1)证明：DC_!■平面PAC；

练习18.（2023.江苏盐城.盐城中学校考三模）如图，该几何体是由等高的半个

圆柱和:个圆柱拼接而成，点G为弧8的中点，且C,E,D,G四点共面.

（1）证明：平面平面BCG；

练习19.（2023•全国•高三对口高考）如图1所示，E,f分别是矩形A8CO的边

48,。。的中点,6是石月上的一点,将4648,，8分别沿45,8翻折成4^48,

△G2CD,并连接G,G2,使得平面GA8，平面ABCD,G,G2//AD，且G,G2<AO.连

接驱,如图2.

图1图2

⑴证明：平面GAB,平面G|AOGz；

练习20.（2023•江西・江西师大附中校考三模）已知四棱锥P-A3C。的底面是正

方形，ACCBD=O,PA=PD=6PO=6A。=2,E是棱PC上任一点.

⑴求证：平面8/）E_L平面PAC；

题型五补全垂直的条件

例9.(2023春•山东青岛•高三青岛二中校考期中)如图，在四棱锥中,

PAL^ABCD,AB=BC=2,AD=CD=^,PA=拒,ZABC=120,G为线段PC

(1)证明：801面APC；

PG

(2)若G满足PCL面BG£>,求名的值.

GC

例10.(2021秋.陕西渭南•高二校考阶段练习)如图，在四棱锥P-458中，底

面A8CD是菱形，ZDAB=60,PA=PD,G为AO的中点.

(1)求证：AD1.PB；

(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F,使DF1AD?请证明你的结

论.

举一反三

练习21.(2023・全国•高三专题练习)如图，在直三棱柱ABC-A/C中，ABAC^90°,

AB=AC=\.

(1)试在平面ABC内确定一点凡使得AH_L平面A8C,并写出证明过程；

练习22.(2022秋•青海海东.高二校考期中)如图，四棱柱ABCD-AAGR中，底

面A8CQ是菱形，ZABC=6O°,A4t，平面ABC。，E为4A中点，AAt=AB=2.

⑴求证：AG〃平面8QE；

(2)在AG上是否存在点M,满足AC1平面MAR?若存在，求出AM长，若不存在,

说明理由.

练习23.(2022春.辽宁葫芦岛.高三统考期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底

面ABCD是矩形，AB=3,BC=4,已知AE=：E。，且PEL平面ABC。，BF=FC,

CG=2GD.

(1)在线段FG上确定一点M使得平面PEM_L平面PFG,并说明理由;

练习24.（2020秋.黑龙江哈尔滨.高二哈尔滨市第六中学校校考期中）如图，在

四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZDAB=60°,侧面皿＞为正三角形，且

平面PAD_L平面ABCD.

⑴求证：ADA.PB.

（2）若E为BC中点，试在PC上找一点尸，使平面DEF,平面ABCO.

练习25.（2023・全国•高三专题练习）已知四棱锥P—ABCO中，△PBC为正三

角形，底面ABC。为直角梯形，AD//BC,ZADC=90,AD=CD=3,8c=4.

（1）设F为BC中点，问：在线段AO上是否存在这样的点E,使得平面山。，平

面PEE成立.若存在，求出AE的长；若不存在，请说明理由；

题型六线面垂直、面面垂直的性质定理

例11.（2022春.福建.高二统考学业考试）如图，在三棱锥P-MC中，侧面PA8L

底面ABC,且PAJ.48,PA=5后,A8C的面积为&

p

c

(1)求三棱锥P-A8C的体积;

(2)若AB=5,AC=4,且-BAC为锐角，求证：BC人平面P4C.

例12.(2023•四川•校联考模拟预测)如图,直角梯形A8CD中,AD//BC,

44)=90。，A8=AE>=0,BC=2C，将ZVlB。沿比)翻折至_4双)的位置，使

得A'3±AC.

(1)求证：平面A8D_L平面BCO；

(2)若尸，H分别为BC,AC的中点，求三棱锥A-D/77的体积.

举一反三

练习26.(2023,河南安阳・统考三模)如图所示,在直角三角形48。中，/48。=90,

DEHBC,BD=2AD=4,DE=1,将VADE沿DE折起至U4PDE的位置，使平面PDE±

平面BCED,点/满足CM=2MP.

⑴证明：BCLME-

练习27.（2023•广西•校联考模拟预测）如图，在多面体ABCDE中，平面48,

平面ABC,BE_L平面ABC,.ABC和ACD均为正三角形，AC=2,BE=6点

M为线段8上一点.

⑴求证：DEYAM；

练习28.（2023•全国•校联考二模）如图，在四棱锥P-MCD中，ABCO且

2AB<CD,其中PAD为等腰直角三角形，AP=4/PD4=I，/PAB=：,且平面

24

PAB±nPAD,DB±BA.

⑴求A8的长;

练习29.（2023春.吉林长春.高三长春市第二中学校考期中）如图，在直三棱柱

A8C-AB£中，AB=BC=CJ=g,AB^BC.

B

(1)求证：AC.1B.C；

练习30.（2023•江苏常州•江苏省前黄高级中学校考模拟预测）如图，在三棱台

ABC—ABG中，BBi=B©=CC=；BC=2,ABLBC,平面惧48，平面BgC。.

（1）证明：平面B8CC；

题型七判断平行，垂直的有关命题

例13.（2023•江苏扬州•扬州中学校考模拟预测）已知/、加、〃为空间中三条不

同的直线，夕、7为空间中三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）

A.若尸=〃，aJ■尸，B］丫，则

B.若a0=1,Pr=m,y\a=n,若〃/利，则〃〃6

C.若a%,/、，"分别与。、4所成的角相等，则

D.若掰〃x,m///3,ally,则卬/y

例14.（2023•全国•校联考二模）（多选）已知a也/为不同的直线，为不同

的平面，则下列说法正确的是（）

A.若。〃/?,aua,6u分，则“//B

B.若a，a,bu仇a/中,则。J

C.若£，/?℃尸=/,“<=。,。<2：/?,4_1人，则分至少有一条与直线/垂直

D.若aA.0,aLy，0cy=l,则/_Lc

举一反三

练习31.（2023・重庆•统考模拟预测）已知/,m,〃表示不同的直线，。，夕，7

表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）

A.若〃/夕，且,则/_1_机B.若aJ■尸，mlla,秣工。，则相〃〃

C.若“?〃/,且m_La,则/_LaD.若，"_L〃，mVa,nlip,则aJ■广

练习32.（2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测）两个平面a与夕相交但

不垂直，直线，”在平面a内，则在平面夕内（）

A.一定存在直线与机平行，也一定存在直线与加垂直；

B.一定存在直线与机平行，不一定存在直线与“垂直；

C.不一定存在直线与加平行，一定存在直线与加垂直；

D.不一定存在直线与加平行，也不一定存在直线与“垂直

练习33.（2023•北京・首都师范大学附属中学校考模拟预测）设〃?，〃为两条不同

的直线，a,4为两个不同的平面，则下列结论正确的是（）

A.若mlln,nila,则〃M/a

B.若加//〃，ml/a,nll/3,则a//£

C.若根J_”，mA.a,〃-L£,则。

D.若a_L£,"iua,n<^/3,则m_L〃

练习34.（2023.四川•校考模拟预测）已知a,b是不同的两条直线，夕是不

同的两个平面，现有以下四个命题：

①…a_皿La]卜②/"a_“La]卜0%；③…皿卜"④〃_〃La]/=»♦

其中，正确的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

练习35.（2023•黑龙江哈尔滨・哈尔滨市第六中学校校考三模）（多选）已知I,m,

〃为空间中三条不同的直线，7为空间中三个不同的平面，则下列说法

中正确的有（）

A.若m_La,mV13,ally,则////

B.若c//，/,加分别与%夕所成的角相等，则〃/加

C.若aB=l,py=m,y\a=n,若〃/加，则〃//m

D.若aP=n,a,力，7,则〃，7

题型八平行，垂直的综合应用

例15.（2023・全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABC。中，已知底面ABCD

是菱形，且对角线AC与8。相交于点。.

⑴若依=。，求证：平面P8C_L平面PAC;

⑵设点E为BC的中点，在棱PC上是否存在点尸，使得依平面AEF?请说明理

由.

例16.（2023春・陕西榆林・高二绥德中学校考阶段练习）如图，在四棱锥S-AB8

中，底面ABCD是矩形，SA，底面ABCD,SA=A£>,点M是SD的中点，AN1SC

且交SC于点M

s

N

(1)求证：SB〃平面ACM；

(2)求证：平面SAC_L平面AMN.

举一反三

练习36.(2023•山东潍坊•三模)如图，P为圆锥的顶点，。是圆锥底面的圆心,

AC为底面直径，为底面圆。的内接正三角形，且边长为石，点E在母线PC

上，且AE=6,CE=1.

(1)求证：直线尸O//平面由犯；

(2)求证：平面平面A8D；

练习37.(2023春・河南•高三洛阳市第三中学校联考阶段练习)在如图所示的几

何体中，平面平面ABC。，PALAD,E,尸分别为棱出，PC的中点.

C

D

p

（1）求证：EF/mABCD-,

⑵若P4J.P3,求证：平面P4）J_平面P3C.

练习38.（2023•全国•模拟预测）（多选）在正四面体P-ABC中，D,E,F分别

是48,BC,CA的中点，则（）

A.BC//平面PD尸

B.PA1.DE

C.平面PAEL平面ABC

D.平面平面A3C

练习39.（2023•全国•高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A8CO

为矩形，5。工平面弘8,ZAPB=90°,PB=BC,N为PC的中点.

（1）若M为A8的中点，求证：MV〃平面ADP.

（2）求证：平面BDN_L平面AC尸.

练习40.（2022.高三课时练习）（多选）如图AB为圆。的直径，点C在圆周上

（异于A,B点），直线以垂直于圆所在的平面，点M为线段的中点，则以

下四个命题正确的是（）

A.PB1.ACB.OC，平面

C.MO〃平面以CD.平面%C，平面PBC

参考答案与试题解析

专题8.2空间中的平行和垂直关系

【题型目录】

题型一线面平行、面面平行的判定定理

题型二补全平行的条件

题型三线面平行、面面平行的性质定理

题型四线面垂直、面面垂直的判定定理

题型五补全垂直的条件

题型六线面垂直、面面垂直的性质定理

题型七判断平行，垂直的有关命题

题型八平行，垂直的综合应用

【典型例题】

题型一线面平行、面面平行的判定定理

例1.（2023春・福建泉州•高一校联考阶段练习）如图，已知四棱锥P-AB8中,

AB//CD,。、M分别是8、PC的中点，POl^ABCD,且

PO=OD=DA=AB=BC

⑴证明：PA〃平面08M；

（2）若PO=1,求三棱锥钻的体积.

【答案】（1）证明见解析

⑵且

24

【分析】（1）可以通过作辅助线结合中位线得到线线平行证明线面平行或者通过

证明面面平行得到线面平行；

（2）先求三棱锥P-ABC的体积，得到三棱锥的体积，利用几何体的分

割可得答案.

【详解】（1）证法一：连接AC交8。于点N,连接MMOA.

AB//CD,OC=OD=AB,

二四边形A3C。为平行四边形,I.N是C4的中点；

：,C4P中，用是CP的中点,.

,?弘0平面。8加，的Vu平面OBM,

二P4〃平面OBM.

证法二：.二COP中，。，知分别是CQ,C尸的中点，.•.OM//DP,

又W平面以。，PDu平面〃平面PAD,

AB!/DCSLAB=DO,

.•.四边形•。。是平行四边形，:.BO//AD,

又3。0平面PAD,AOu平面PAD,.〔BO//平面PAD；

OMcOB=O,08,OMu平面OBM，，平面OBM〃平面PAD,

PAu平面PAD,:.PAU平面OBM.

（2）连结M4,AC,

p

由△08C中，OB=AD=BC=CO=\,

得NBCO=60",ZABC=120",

,回

：../BC的面积S“於=-8A-BC-sinNABC=Y-；

24

又P。/平面ABC。，PO=\,

三棱锥P-A8C的体积为也花=*21=9¥'1=奈

••.M是PC的中点，.•.%TBc=g/_MC=^，

例2.（2023春•江苏盐城•高三江苏省响水中学校考期中）如图，正三棱柱

ABC-A£G的所有棱长都等于2,E,F,G分别为4G,Ag,AB的中点.

（1）求证：平面AGG〃平面BEF；

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）利用面面平行判定定理即可证得平面ACG〃平面3EF；

【详解】（1）E,F分别为4G,的中点，

AGu平面4GG,EF（z平面AGG,E尸〃平面A。。，

又F,G分别为分另,A3的中点，尸=BG,

又A尸〃8G,.•.四边形AGBF为平行四边形，则BF〃4G,

AGu平面ACQ,研0平面4GG,

BFH平面AGG,

又EFBF=F,EF,3Fu平面3ER

二.平面AGG〃平面BEF.

举一反三

练习1.（2022春.甘肃兰州.高一兰州市第二中学校考期末）如图，/BC中，

AC=BC咚AB,是正方形，平面AB£D_L平面A8C,若G、尸分别是EC、BD

⑴求证：GF//平面A8C；

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）作出辅助线，得到面面平行，从而得到线面平行;

【详解】（1）证明：如图，取物的中点“，连接“尸，GH.

G,尸分别是EC和8。的中点,

:.HG//BC,HF//DE.

又四边形4）朋为正方形，

:.DE//AB,从而HF//AB.

BCu平面ABC,"Go平面ABC,

.•.HG〃平面ABC,

同理HF〃平面A8C,又HGHF=H,

平面5〃平面A5C,

•:GFu平面HGf，

则GF〃平面ABC；

练习2.（2023•安徽安庆・安庆一中校考三模）如图,四棱锥P-A8CD中,PAL底面

ABCD,A£>〃BC,N为阳的中点.

3

⑴若点加在人。上,2人加=用£>,4£）==8（7,证明：历％『平面产。；

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）取PC中点/，连接NF,DF，根据已知条件证明四边形NFDM是平行四

边形，即可证明；

【详解】（1）如图所示：

取PC中点F,连接N££>F,

2

因为所以加。=§4）,

又4£>=；8C,所以

因为AO〃8C,所以〃O〃8C,

又因为N为尸8的中点，所以NF〃8c且NF=《BC,

即有NF〃M。且NF=,

所以四边形MDM是平行四边形，

所以MN〃。尸，

又因为MNC平面PCD,DFu平面PCD,

所以MN平面PCD.

练习3.（2023春.黑龙江牡丹江.高一校考阶段练习）如图，已知矩形ABCD所在

平面垂直于直角梯形WE所在平面，EP=0

BP=2,AD^AE^\,AE1.EP,AE//BP,F,G分别是BC,8P的中点.

（1）设过三点P，E，C的平面为a,求证：平面AFG〃平面a；

（2）求四棱锥。与三棱锥P-BC£>的体积之比.

【答案】（1）证明见解析

（2）1

【分析】（1）先分别证明PG〃平面a,AG〃平面a,再根据面面平行的判定定理

即可得证；

（2）过P作垂足为“，先根据面面垂直的性质分别证明A£>J■平面

ABCD,平面ABCO,再根据锥体的体积公式即可得解.

【详解】（1）..七是8尸的中点，PG=3BP=1,

XVAE=\,：.AE=PG,

又AE//PG,AEA.EP,：.四边形AEPG是矩形，,AG//EP,

,.,AG<z平面a,PEu平面a,二AG〃平面a,

•.•£G分别是BC,BP的中点，AFG//PC,

FGa平面a,PCu平面a,FG〃平面a,

VAG^FG=G,且4G,FGu平面AFG,

二平面AFG〃平面a；

(2)过P作垂足为H,

因为平面ABCD1平面ABPE,平面MCZ)c平面ABPE=AB,

ADJ.AB,ADu平面A8CO,

所以4)J_平面ABCD,

VD-ABPE=^X-^-X^X1=)

,因为平面ABCD1平面ABPE,平面ABCDC平面ABPE=AB,

PHVAB,P”u平面ABPE,

PH_L平面ABCD,即PH是三棱锥P-BCD的高，

AG=EP=6,PG=AE=BG=I,

由勾股定理得AB=JAG2+BG2=>/571=2,

CD=AB=2,sinZABG=—=—,

AB2

PH=BPsinNABG=也,

VP-BCO=|X|x2xlx>/3=-y-,

73

四棱锥D-ABPE与三棱锥P-BCD的体积之比%=|.

T

P

练习4.（2023.四川•校联考模拟预测）如图，在四棱锥P-MCO中，PAJL平面

ABCD,四边形ABC。为矩形，E为棱AB的中点，£>£与AC交于点EG为PBC的

重心.

⑴求证：FG平面印；

【答案】（1）证明见解析

【分析】（1）根据线线平行和线面平行的证法和线面平行的判定即可求解;

【详解】（1）证明：延长CG交P8于点“，连接

则H为尸8的中点，

因为E为AB的中点，

所以43=C£>=2AE,

又A£〃C。,

所以告=矍=2,

FAAE

因为6为一肥。的重心,

所以等=2,

Un

所以於CG

~GH

所以FG〃47,

又47u平面PAB,FG<2平面PAB,

所以FG,平面

练习5.（2023・全国•高三专题练习）已知点E,尸分别是正方形A3CD的边AO,

BC的中点.现将四边形EFCD沿防折起，如图所示.若点G,H分别是AC,BF的

中点，求证：GH〃平面EFCD.

【答案】证明见解析.

【分析】连接AF,设点。为好的中点，连接G。，OH,则可证OG//C尸和OH//EF,

从而证得0G〃平面EFC£＞和OH〃平面EFCD,则平面GO“〃平面EFC£),即可证

GH〃平面EFCD.

【详解】证明：如图，连接设点。为〃■的中点，连接GO,OH,

在△ACF中，因为点。为AF的中点，点G为AC的中点，

所以OG//CE

因为OGu平面EFC3,CFu平面EFCZ),所以OG〃平面瓦'CO.

同理可证得

又因为E,尸分别为正方形A8CO的边AO,BC的中点，

故.EF/IAB,所以OH//EE

因为OHa平面EFCD,砂(=平面£/。＞,所以。，〃平面EFCD.

又因为O〃cOG=O,O”u平面GO",OGu平面GOH,

所以平面GOHH平面EFCD.

又因为G"i平面GO”,所以GH〃平面EFCD.

题型二补全平行的条件

例3.(2023・全国•高三专题练习)如图，四棱锥P-ABCD的底面A5C。为平行四

边形，EG分别为的中点.

(1)证明：AF平面PCG；

(2)在线段BD上是否存在一点N,使得FN平面PCG,并给出必要的证明.

【答案】(1)证明见解析

⑵存在，证明见解析

【分析】(1)取PC中点”，证明四边形为平行四边形即可；

(2)设BDcCG=O,取OB中点K,先证明FK//平面PCG,即可证明点N在线

段BD靠近B端的三等分点时符合题意.

【详解】(1)证明：取PC中点“，连接在_PBC中，产为总的中点，

；.FH//-BC.

=2

G为A。的中点，AAGAGFH,AG=FH,

即四边形AG”口为平行四边形，A尸〃G〃.

QGHu平面PCG,A/(z平面PCG,,AF,平面PCG.

(2)设8£>cCG=O,取。B中点K,连接FK,则在‘PO3中,

F,K分别是O5PB的中点,

：.FK//OP

QPu平面PCG,FK<z平面PCG,

:.FK平面PCG.

二。OG与30c相似，且相似比为1:2,

:.BO=2DO=2KB

.•.K为友)的三等分点.

・•.N在K点位置时满足FN平面PCG.

即点N在线段8。靠近8端的三等分点时符合题意.

例4.（2023・贵州毕节・统考模拟预测）三棱柱ABC-A£G中，四边形独田8是菱

形，NAA5=60。，平面AAgBL平面ABC，是等腰三角形，ZACB=120°,

AB=2&BC与8G交于点M,A4,A蜴的中点分别为N,O,如图所示.

C

（1）在平面4148内找一点。，使M。//平面GN。，并加以证明;

【答案】（1）。为BN的中点，证明见解析；

【分析】（1）取BN的中点。，利用线面平行的判定推理作答.

【详解】（1）连接8N,取BN的中点为。，连接M£>,则MD〃平面GNO.

在三棱柱ABC-4向G中，四边形BCC向是平行四边形，即M为BG的中点,

而。为BN的中点，于是MD/gN,平面GNOCNu平面GN。，

所以MD〃平面GNO.

举一反三

练习6.（2023•浙江•校联考三模）如图，三棱台ABC-3与G中,AG=4,AC=6,

D为线段AC上靠近C的三等分点.

⑴线段BC上是否存在点E,使得4田〃平面GDE,若不存在，请说明理由；若存

在，请求出黄的值；

【答案】⑴存在，歌RF=92

【分析】（1）取8C的靠近点C的三等分点E,连接GE、DE、DC},证明出平

面44蜴8〃平面CQE,利用面面平行的性质可得出AB〃平面G〃E,由此可得出

结论；

【详解】（1）取BC的靠近点C的三等分点E,连接GE、DE、DC.,

B

22

则A£>=,AC=§x6=4=A6,

又因为AW/4C,所以，四边形"CQ为平行四边形，则AV/OG,

因为。G<z平面AA48,441<=平面4448,所以，0G〃平面A4,g8,

因为*=等4,所以,DEMB,

ACoCJ

因为。E<Z平面43u平面朋53,所以，方石〃平面秋田田，

因为。GDE=。，DC-Z）Eu平面G。*所以，平面A44B〃平面GDE,

因为ABu平面AA4B,故AB〃平面CQE,

因此，线段8c上是否存在点E,且当B芸E=彳2时，A©/平面CQE.

oC3

练习7.（2023春•黑龙江牡丹江•高三牡丹江市第三高级中学校考期中）如图所示,

三棱柱ABC-A/Ci，底面是边长为2的正三角形，侧棱AA—底面A8C,点E,F分

别是棱CG，网上的点，点"是线段AC上的动点，EC=2FB=2.

⑴当点M在何位置时，8M//平面AE尸？

【答案】（1）点M为AC的中点

【分析】（1）分别取AE,AC的中点为O,M,连接O£OM.可推得四边形0W8F为

平行四边形，BM//OF.进而根据线面平行的判定定理，得出线面平行;

如图1所示，分别取AE,AC的中点为0,",连接OF,OM.

因为0,M分别是4E,AC的中点，

所以OW//EC,且0M=gEC.

又因为BBJ/AA-

所以FB〃EC,所以FB//OM.

又EC=2FB=2,所以FB=0M.

所以四边形OM8F为平行四边形，

所以3M〃。F.

因为OFu平面A£F,3二平面叱尸，

所以BM//平面AEF.

所以，当点M为AC的中点时，有BM//平面AE。

练习8.（2022秋.安徽合肥.高二校考学业考试）如图，四棱锥中，PAL

平面ABC。，AB±AD,点E在线段"）上，CE//AB.

⑴求证：CE_L平面P4）；

（2）若E为AO的中点，试在尸。上确定一点尸，使得平面CM〃平面匕出，并说明

理由.

【答案】（1）证明见解析

（2）当F为PD的中点时平面CEFH平面PAB,证明见解析

【分析】（1）由线面垂直得到PAJLCE,再说明即可得证；

（2）当尸为PO的中点时平面CEF〃平面可B,由CE//AB可得CE//平面RW,根

据中位线的性质得到EF//PA,即可得到/平面PAB,从而得证.

【详解】（1）证明：PAL平面ABCO,CEu平面ABCD,.•.PA，CE,

ABLAD,CE//AB,：.CELAD,

又iPA\\AD=A,PAu平面PA。，A£）u平面PAO,r.CEJ_平面PAO；

(2)解：当尸为尸。的中点时平面CEF〃平面

证明：因为CE//45,CEO平面PAB,ABu平面E4B,所以CE〃平面2B,

又E为AQ的中点，/为PO的中点，所以所〃出，

日飞平面以B,PAu平面以B,所以£77/平面以8,

又EFcCE=E,EFu平面CEF,CEu平面CEF,

所以平面CEFH平面PAB.

练习9.(2023春.福建厦门.高三厦门一中校考期中)如图，已知P是平行四边

形A8CD所在平面外一点，M.N分别是A6、PC的三等分点(M靠近8,N靠近

(1)求证：MV//平面PAD.

⑵在P8上确定一点。，使平面MNQ〃平面PAD.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)过点N作NE〃CD,交.PD于点E,连接AE,证得证得四边形AMNE

为平行四边形，得到结合线面平行的判定定理，即可求解；

(2)取总取一点Q,使得BQ=；8P,证得MQ//P4,得到MQ〃平面以£),结合

(1)中肱V〃平面PAD,利用面面平行的判定定理，证得平面MNQ//平面PA)

【详解】(1)证明：过点、N作NE//CD,交PD于点E,连接AE,

2

因为N为PC的三等分点，可得NE='CD,

7

又因为M为AB的三等分点，可得

因为A8//CD且A8=CD,所以AM//NE且AM=7VE,

所以四边形AMNE为平行四边形，所以MN//AE,

又由MN<Z平面PA£>,AEu平面叫£）,所以MV//平面PAO.

（2）证明：取PB取一点Q,使得=即点Q为尸8上靠近点8的三等点,

在_PAB中，因为M,Q分别为A8,PB的三等分点，可得当=黑,所以狼〃巴

ABBP

因为MQ（Z平面aw,PAU平面PAD,所以MQ〃平面PA。；

又由（1）知MN〃平面PAO,且MNcM2=M,MN,MQu平面MNQ,

所以平面MNQ〃平面尸4）,

即当点。为心上靠近点B的三等点时，能使得平面MNQ〃平面PAD.

练习10.（2021秋・河南•高三校联考开学考试）如图，在三棱锥P-A8C中，PAA.

底面ABC,ZBAC=90.点D,E,N分别为棱PA,PC,8c的中点，M是线段A。的中点,

PA=AC=4,AB=2.

BN

⑴证明：平面平面

(2)已知点尸在A8上，且平面MN///平面8£＞E,求线段"•的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)1

【分析】(1)由三角形中位线性质可证得DE//4C,结合线面垂直的性质和

N8AC=90可证得OE，a,DEJLAB,由线面垂直的判定可得DEL平面P/S,

根据面面垂直的判定可得结论；

(2)由面面平行和线面平行的性质可证得MF//BO,由此可知产为AB中点，由

此可得结果.

(1)

2E分别为P4,PC中点，.•.0E//AC,又NBAC=90,..DEA.AB；

%_L平面ABC,ACu平面ABC,:.PALAC,又DEUAC,:.DELPA；

PA\AB=A,PAABu平面ftAB,.•.DE_L平面/MB,

又DEu平面30E,•.平面平面

(2)

平面MVF〃平面BDE,MFu平面"NR,MF//TffiBDE,

怖＜=平面43，平面平面比匹=比＞,MF//BD,

又M为AD中点，,产为AB中点，.•.AF=；A8=1.

题型三线面平行、面面平行的性质定理

例5.(2023春•高二课时练习)如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂

直，AB//CD,ZABC=ZADB=90°,CD=\,BC=2,DF=\.

(1)求证：BE〃平面。CF；

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)通过证明平面A8E〃平面。FC即可得解；

【详解】(1)证明：：得4B〃CD,平面。CECDu平面。b,

平面DCF；

'：AE//DF,AEe平面。CT；DFu平面OCE〃平面。b,

•.♦AEcA8=4,A£u平面ABE,ABu平面ABE,

，平面ABE〃平面DFC,

BEu平面ABE,：.BE//平面DCF.

例6.（2023春・福建泉州•高三校联考阶段练习）（多选）如图，在四面体ABC。中,

截面MNP。是正方形，则下列判断正确的是（）

A.AC=BDB.AC//平面MNP。

C.AC1BDD.点B,。到平面"NPQ的距离不般等.

【答案】BC

【分析】由平行线分线段成比例可判断A；由线面平行的判定定理和性质定理可

判断B；由线线平行和垂直的性质可判断C；由线面平行性质可判断D.

［详解］在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形，可得PQ//MN,MN9平面

ACD,尸Qu平面AC。,可得MNH平面A8,

又AWu平面4CB,而平面AC2平面AC£>=AC,可得AC7/MN,

又AC仁平面PQMN,MNu面PQMN,则AC//平面PQMN，故B正确；

同样可得出）〃平面PQWV,所以点以。到平面MNPQ的距离相等，故D错误；

由BD//PN,AC//PQ,PN，PQ,可得AC1,故C正确；

由黑=或，隼=黑，且*阻但W不一定与6相等，故ACQ不一定相等，故

BDCDACCD

A错误.

故选：BC

举一反三

练习11.（2023・北京海淀•校考三模）如图I,在四棱锥P-AfiC。中，底面4BCD是

边长为2的正方形，侧面PAO为等腰直角三角形，且NPAD=m，点F为棱PC上

的点，平面ADF与棱尸B交于点E.

⑴求证：EFHAD-,

【答案】（1）证明见解析

【分析】⑴由底面ABC。是正方形得AD〃8C,用线面平行的判定定理证得4）〃平

面PBC,再用线面平行的性质定理证得M//A。；

【详解】（1）证明：因为底面A8CD是正方形，所以AD//BC,

BCu平面PBC,4）仁平面PBC,所以仞//平面PBC,

又因为平面4）尸与PB交于点E,/Wu平面AOFE,平面PBCc平面A。在=EF,

所以EF〃AD.

练习12.（2023.重庆万州•统考模拟预测）如图1所示，在四边形ABCD中，

BC1CD,E为BC上一点,AE=BE=AD=2CD=2,CE=V3,

折起，使得BC=g,得到如图2所示的四棱锥.

⑴若平面BCD。平面=证明：CD//1；

【答案】（1）证明见解析；

【分析】（1）先证明8〃AE,根据线线平行判定定理C。//平面48E,再由线面平

行性质定理证明线线平行；

【详解】（1）在图1中，因为3CJ_CD,CE=+，8=1,

所以DE=2,sinZC£>E=y-,又

所以NC£>E=],

因为£>E=2,AE=AD=2,

所以/DEA=g,故CD//AE,

在图2中，因为CD//4E,A£u平面ABE,CD(Z平面ABE,

所以8〃平面A8E,

因为CQu平面BCD,平面BC。。平面年=/,所以CD/〃；

练习13.(2023・全国•高三专题练习)如图，四棱锥P-ABC。的底面为平行四边

形.设平面应。与平面P3C的交线为/,M、N、。分别为PC、CD、AB的中点.

(1)求证：平面MNQ〃平面必。；

(2)求证:BC//1.

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】(1)由三角形的中位线定理、平行四边形的性质，结合线面平行和面面

平行的判定，可得证明；

(2)由线面平行的判定和性质，可得证明.

【详解】(1)证明：因为M、N、。分别为PC、CD、A8的中点，底面ABC。

为平行四边形，

所以MN〃尸O,NQ//AD,

又MNQ平面勿。，PDu平面物。，

则MN〃平面PAD,

同理可得NQ〃平面PAD,

又MNNQ=MMN,NQu平面MNQ

所以平面MNQ〃平面PAD.

(2)证明：因为8C〃AO,BCQ平面物。，AOu平面RLD,

所以3c〃平面也。，

又BCu平面PBC,平面PBCn平面PAD=l,

所以BC〃/.

练习14.(2023・全国•高三专题练习)如图，矩形人?尸乙4£=1,/^_1平面

ABCD,AB//CD,ABAD=90°,AB=\,AD=CD=2,平面AO/与棱BE交于点G.求证:

AG//DF-

【答案】证明见解析

【分析】根据题意，利用面面平行的判定定理证明平面A£B与平面CH>平行，再

根据面面平行的性质定理得到线线平行；

【详解】证明：矩形AC/芯，

:.AE//CF,

又A£u平面。尸匚平面。尸£),

.•.AE〃平面CTO,

AB//CD,

又ABu平面AEB,C£>u平面CFD,

〃平面CFO,

又McAS=A,

所以平面〃平面C/力，

平面相>F与棱8E交于点G,且BEu平面A£B,

平面ADFc平面A£B=AG,平面AQFc平面CF£>=OF,平面AEB〃平面CEO,

故AG〃OF,得证；

练习15.（2023•全国•高三专题练习）如图，四棱锥£-438,AB=AD=B

CD=CB=\,AC=2,平面E4CL平面ABCD,平面平面8E=/.若点M为

线段4E中点，求证：BMHI；

【答案】证明见解析

【分析】取AC中点尸，根据AABUA40c得到NAC8=ACD=60,由△BFC为正

三角形得到BF//CD,根据线面平行的判定得到BF//平面CDE和〃尸〃平面CDE,

进而得到平面BMFH平面CDE,结合面面平行和线面平行性质可证得结论.

【详解】证明：取AC中点F，连接MR8F,

也AB=AD=邪）,CD=CB=1,AC=2,

可得AA5C当A4DC且AC2=AB2+BC2=AD2+DC2,

所以43人BC,ADIDC,所以ZACS=ZACD=60,

因为F为AC中点，所以△BFC为正三角形，即/BFC=NA8=60,所以BF〃CD,

又因为BFa平面CDE,CDu平面CQE,所以BF〃平面COE,

在ZMCE中，因为M,F的中点，所以MF〃EC,

又因为用平面CDE,ECu平面CDE,所以用尸〃平面CDE,

又由班'"尸=尸，8尸,M尸u平面&;尸，所以平面四打〃平面CDE,

又因为BMu平面所以3M//平面CDE,

又由平面ABEC平面C£>E=/,且8A/U平面ABE,所以8M/〃.

E

题型四线面垂直、面面垂直的判定定理

例7.（2023春・浙江杭州•高三杭师大附中校考期中）如图，在四棱锥S-ABC。中,

底面ABCD是平行四边形，AC1BC