2019高考数学（浙江）二轮复习教师用书第二板块考前熟悉3大解题技法

第二根抉/考前熟悉3大解题技法

DPERBANKUAI提速度、保高分

(一)小题小做巧妙选择

高考数学选择题历来都是兵家必争之地，因其涵盖的知识面较宽，既有基础性，又有

综合性，解题方法灵活多变，分值又高，既考查了同学们掌握基础知识的熟练程度，又考

查了一定的数学能力和数学思想，试题区分度极佳.这就要求同学们掌握迅速、准确地解

答选择题的方法与技巧，为全卷得到高分打下坚实的基础.

一般来说，对于运算量较小的简单选择题，都是采用直接法来解题，即从题干条件出

发，利用基本定义、性质、公式等进行简单分析、推理、运算，直接得到结果，与选项对

比得出正确答案；对于运算量较大的较复杂的选择题，往往采用间接法来解题，即根据选

项的特点、求解的要求，灵活选用数形结合、验证法、排除法、割补法、极端值法、估值

法等不同方法技巧，通过快速判断、简单运算即可求解.下面就解选择题的常见方法分别

举例说明.

ma直接法

直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的

推理和准确的运算，得出正确的结论.涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直

接法.

［典例］(2016•浙江高考)已知椭圆G：营+炉=1(m>1)与双曲线C2：£—产=1(">0)

的焦点重合，ei,e2分别为G,C2的离心率，贝!!()

A.机>〃且。迷2>1B.且Cie2Vl

C.m<neie2>lD.〃且e*2Vl

［技法演示］考查了椭圆与双曲线的焦点、离心率，抓住焦点相同这个条件得到〃

之间的关系，代入离心率的公式即可得解.

/而2-j+1

法一：由题意知i=〃2+i,即，"2=/+2,则m>n,€但=\1加、层=

I(7+1)2//?+2n2+l,

7^+2)=AJ>+亦>1•故选A.

法二：由题意知，1=〃2+］,即,”2=“2+2,则不妨设,小=3,则“2=］,ei

=A/|,e2=y［2,则故选

［答案］A

[应用体验]

1.(2016•浙江前考)已知集合P={xCR|lWx<3},Q={xGR|x2^4},贝！|PU(CRQ)=

()

A.[2,3]B.(-2,3]

C.[1,2)D.(-8,-2]U[1,+°o)

解析：选BVQ={xGR|x2^4},

-CRQ={X€R|x2<4}={xeR|-2<X<2}.

VP={xGR|l^x^3),

.,.PU(CRQ)={xeR|-2<x^3}=(-23].

2.(2014•浙江高号)在(l+x)6(l+y)4的展开式中，记廿y项的系数为八小，")，则43,0)

+八2,1)十八1,2)+人0,3)=()

A.45B.60

C.120D.210

解析：选C由题意知八3,0)=a(X/(2,l)=acj,f(l,2)=cici,/(O,3)=aci,因

此1A3,0)+八2,1)+八1,2)+/(03)=120,选C.

数形结合法

根据题目条件作出所研究问题的有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断.

［典例］(2017•浙江高考)如图，已知平面四边形A8CD,ABA.BC,

AB=BC=AD=2,CD=3,AC与8。交于点O.记人=示•苏，12=

~dB:OC,h=~OC：OD,贝！J()

A.Ii<l2<hB./i</j</2

C.h<h<l2D.I2<h<h

［技法演示］如图所示，四边形ABCE是正方形，尸为正方形的对角

线的交点，易得40<4尸，而NA尸8=90°,二NA08与NCOO为钝角，

NAOD与NBOC为锐角.

：：：

根据题意，Il-I2=l)AOB-~dBOC=~aBCOA-7)C)=~OBCA

=\OB1-1^4\cosZAOB<0,：.h<h,

同理得，Ii>h,作于G,又A8=A。,

：.OB<BG=GD<OD,而04<4尸=尸。<。。,

：.\OAY\OB\<\OC\-\ODI,

而cosNAOb=cosNCOZ)vO,

即3/3,

**•/3</l</2.

［答案］c

［应用体验］

3.(2016•浙江高考)在平面上，过点尸作直线I的垂线所得的垂足称为点尸在直线I上

fx-2^0,

的投影.由区域x+y》0，中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为A8,

1x-3y+4》0

则|A5|=()

A.272B.4

C.3巾D.6

解析：选C作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所

示，过点C,Z)分别作直线x+y-2=o的垂线，垂足分别为A,B,

'x=2,

则四边形ABDC为矩形，由｛,'得CQ,-2),由

x+y=0、

I«+y=0

x—3y+4--0,

''得。(一1,1).所以|48|=|。)|=/(2+1)2+(—2—1)2=3啦.故选C.

x+j=0

4.(2018•浙江高考)已知a,b,e是平面向量，e是单位向量，若非零向量a与e的夹

角为全向量b满足b2-4e・b+3=0,则|a-b|的最小值是()

A.V§-1B.6+1

C.2D.2一小

解析：选A法一：；b2—4e,b+3=0,

/.(b-2e)2=l,.*.|b-2e|=l.

如图所示，把a,b,e的起点作为公共点0,以。为原点，向量e所在直线为x轴,

则b的终点在以点(2,0)为圆心，半径为1的圆上，|a-b|就是线段A8的长

度.

要求阴的最小值，就是求圆上动点到定直线的距离的最小值，也就是

圆心M到直线OA的距离减去圆的半径长，因此|a-b|的最小值为由一1.

法二：设。为坐标原点，a=~OA,b=~OB=(x,y),e=(l,0),由b?一

4e・b+3=0得炉+产-4*+3=0,即(x-2)2+y2=i,所以点8的轨迹是以C(2,0)为圆心，1

为半径的圆.因为a与e的夹角为:，不妨令点A在射线y=45x(x>0)上，如图，数形结合

可知|a-bhm=|CA|一|(78一|=巾一1.故选A.

Era验证法

将选项或特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题目条件，然后选择符合题目条件的

选项的一种方法.在运用验证法解题时，若能根据题意确定代入顺序，则能提高解题速度.

［典例］(2016•浙江高考)已知实数a,b,c,()

A.若|a2+b+c|+|a+庐+c|Wl,则A+"+c2Vl00

222

B.若|«2+力+(;|+|(12+"-awi,JU!)a+b+c<100

C.若|a+b+c2|+|a+〃-CWL则a2+ft2+c2<100

D.若|«2+b+c|+|a+b2-c|Wl,则。2+62+。2Vl00

［技法演示］通过逻辑判断，借助于举反例排除A、B、C选项，选项D的证明对于学

生来说是很高的要求.

法一：对于A,取a=b=10,c=­11(),

显然|a2+6+c|+|a+Z>2+c|41成立，

但。2+方2+《2>100,即a2+/>2+c2<100不成立.

对于B,取“2=10,6=—10,c=0,

显然暧+万+可+炉+6一c|近1成立，

但a2+b2+c2=110,即a2+/>2+c2<100不成立.

对于C,取a=l(),方=—10,c=(),

显然|a+b+c2|+|a+b—成立，

但a2+b2+c2=200,即a2+Z>2+c2<100不成立.

综上知，A、B、C均不成立，所以选D.

法二:选项A,取a=瓦c=—(a2+a),则M+b+cl+la+:+cFOWl,

此时由于a可任取，则c无界，显然无法得到a2+fe2+c2<100;

选项B,取c=0,b=~a2,JJ'J|a2+*+c|+|a2+*-c|=0<l,

此时由于。可任取，则/>无界，显然无法得到/+展+，2<100；

选项C,取c=0,b=~a,则|«+8+回+|4+方一>|=0・1,

此时由于a可任取，则6无界，显然无法得到a2+〃2+c2<i00；

选项D,l，|«2+5+c|+|a+b2—c|2|a2+b+a+b2］,

而a2+1,Z>2+一：今一：4层++今a,bG

一畤亚，甘可,CG］苧，然斗则。2+加+。2<100.

［答案］D

［应用体验］

5.（2016•浙江高考）已知a,5>0且aWl,b^l,若1。即方>1,贝!1（）

A.（a-1）（6—l）V0B.（a—1）（。一〃）>0

C.（力一1）（8一”）V0D.（万一1）（。一a）>0

解析：选D法一:log/>l=loga。，当a>\时，b>a,即b>a>\,则（a—1）（6—1）>0,

（a—1）（。一b）v0,（A—1）（6-。）>0,选D.再验证：当Ovavl时，b<a9即OvAvavl,则（力一l）（b

一〃）>（）,正确.（说明：作为选择题，“Ovavl”是不用验证的）

法二：取〃=2,b=3,代入选项，选D.

E2I3排除法

排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提是答案唯一，具体的做法是从条件出

发，运用定理、性质、公式推演，根据“四选一”的指令，对各个备选答案进行“筛选”，

将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论.

erex

［典例］（2018•全国卷II）函数人工）=且三一的图象大致为（）

ABCD

［技法演示］先根据奇偶性排除一个选项，再根据特值排除另外两个选项，最后剩余的

一个即为正确答案.

•.•y=ex—e.”是奇函数，丁=必是偶函数，

—e、

♦v/u）=r—是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项•

e-e।1

当x=l时，｛1）=-=e-/0,排除D选项.

又e>2,排除C选项.故选B.

［答案］B

［应用体验］

6.（2017•浙江高考）函数y=/（x）的导函数y=/'（x）的图象如图所示，则函数yfx）的

图象可能是（）

解析：选D由/'(x)的图象知，/'(x)的图象有三个零点，故八x)在这三个零点处取

得极值，排除A、B；记导函数，(X)的零点从左到右分别为Xi,X2,X3,又在(-8,X1)

上/'(x)<0,在(Xi,X2)上/'(幻>0,所以函数_/lx)在(-8,X1)上单调递减，排除C,故选

D.

7.(2014•浙江高考)在同一直角坐标系中，函数八》)=炉(*》0),g(x)=l08ax的图象可能

是()

解析：选D当4>1时，函数,Ax)=X0(X>0)单调递增，函数g(X)=logflX单调递增，且

过点(1,0),由薪函数的图象性质可知C错；当0<a<l时，函数人工)=f(工>0)单调递增，函

数g(x)=lo8ax单调递减，且过点(1,0),排除A,又由卷函数的图象性质可知B错，因此选

D.

rm割补法

“能割善补”是解决几何问题常用的方法，巧妙地利用割补法，可以将不规则的图形

转化为规则的图形，这样可以使问题得到简化，从而缩短解题时间.

［典例］(2018•全国卷II)在长方体ABCD-A181G01中，AB=BC=1,44=小，则异

面直线ADt与DBt所成角的余弦值为()

A.1B.乎

3o

［技法演示］用补形法，再补上一个相同的长方体，构造出一个三角形,使三角形一个

内角为所求角或其补角，然后解三角形得解.

如图，在长方体ABB-AiBiGDi的一侧补上一个相同的长方体

EFBA-EiB&Ai.连接明尸，由长方体性质可知，BxF//ADi,所以NOaf

为异面直线Ad与081所成的角或其补角.连接。F,由题意，得。尸=

、#+(i+i)2=黄,FBi=q#+昨y=2,DBI='#+#+(巾)2=下.

在△ORBi中，由余弦定理，得

DF2=FBf+DBi-2FBi-Z)BrcosZDBtF,

即5=4+5—2X2X小XcosZDBtF,

.J5

所以cosZDB|F=-V.

［答案］C

［应用体验］

8.已知在正四面体A-BC。中，E为BC中点,尸为直线80上一点，则平面AEF与

平面ACZ）所成二面角的正弦值的取值范围是（）

A席IB.修1］

C惇当D.停用

解析：选A如图，将正四面体A-3CD放入正方体中，体对角线

3K_L平面ACD,所以平面AEF与平面ACZ）所成二面角的平面角的正

弦值等于直线8K与平面AE尸所成角的余弦值.由最小角定理，直线

3K与平面AE尸所成角不大于直线8K与AE所成角.当BK〃平面AEF

时，直线8K与平面AE厂所成角为0。8爪与AE所成角的余弦值为坐，

惇

故平面AE尸与平面ACO所成二面角的平面角的正弦值的取值范围是

E极端值法

选择运动变化中的极端值，往往是动静转换的关键点，可以起到降低解题难度的作用，

因此是一种较高层次的思维方法.

从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，运用极端值法解决某些问题，可以避

开抽象、复杂的运算，降低难度，优化解题过程.

［典例］（2016•全国卷川）在封闭的直三棱柱ABC-A^iCt内有一个体积为V的球.若

AB1BC,AB=6,BC=8,AA］=3,则V的最大值是（）

A.47rB.岑

C.67rD.

［技法演示］根据直三棱柱的性质找出最大球的半径，再求球的体积.

设球的半径为R,一△ABC的内切圆半径为"’=2,...RWRW3,

4

--

3972T故选B.

［答案］B

［应用体验］

9.双曲线》2一炉=1的左焦点为3点p为左支下半支异于顶点A的任意一点，则直

线尸产斜率的变化范围是（）

A.(-8,—1)U(1,4-°°)

B.(一8,0)

C.(—8,O)U(1,+<»)

D.(1,+8)

解析：选C如图所示，当尸-A时，PF的斜率h-0.

当PF_Lx轴时，P/的斜率不存在，即b*±8.

当尸在无穷远处时，尸产的斜率A-H.

结合四个备选项得，选C.

估值法

由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、

估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，避免“小题大做”.

［典例］（2017•浙江高考）如图，已知正四面体O-A5c（所有棱长均相

BQ_CR

等的三棱锥），P,Q,/?分别为48,BC,C4上的点，AP=PB,

QCRA

=2,分别记二面角O-PR-Q,D-Pq-R,O-QR-尸的平面角为a,fi,y,贝1（）

A.y<a<flB.a<y<p

C.a<fi<yD.fl<y<a

［技法演示］设o为△ABC的中心，则0到PQ距离最小，0到PR

距离最大，0到QR距离居中，而高相等，因此tana<tany<tanp,故a<y<fl,

选B.

［答案］B

［应用体验］

10.（2017•全国心口）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的

三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）

A.907rB.637r

C.427rD.367r

解析：选B法一：由题意知，

又Vam=7rX32X10=9（hr,

.,.457r<Vn.«*<90rt.

观察选项可知只有637r符合.故选B.

法二：由题意知，该几何体由底面半径为3,高为10的圆柱截去底面半径为3,高为6

的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3,高为7的圆柱的体积，所以它的体积丫=

nX32X7=63n.

（二）快细稳活填空稳夺

绝大多数的填空题都是依据公式推理计算型和依

据定义、定理等进行分析判断型，解答时必须按规则

填空题解答“五字诀”

进行切实的计算或者合乎逻辑的推理和判断.求解填

快一运算要快，力戒小题大做

空题的基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功

细——审题要细，不能粗心大意

夫.常用的方法有直接法、特殊值法、数形结合法、

稳——变形要稳，不可操之过急

等价转化法、构造法等.

活——解题要活，不要生搬硬套

解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，

全——答案要全，避免残缺不齐

故对正确性的要求更高、更严格.解答时应遵循

“快”“细”“稳”“活”“全”5个原则.

I.填空题一五招速解

|an直接法|

直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、

推理、计算等得出正确的结论.

［典例］（2018•浙江高考）在△A3C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,3若（1=木,

b=2,A=60。，贝（JsinB=,c=♦

［技法演示］由正弦定理就磊，得sin"、in4=场X^=卑.

由余弦定理a2=b2+c2~2bccos

得7=4+C2-4CXCOS600,

即c2—2c—3=0,解得c=3或c=—1（舍去）.

［答案］卑3

［应用体验］

1.若等差数列｛呢｝和等比数列｛瓦｝满足。1=加=-1,内=d=8,则胃=.

解析：设等差数列｛%｝的公差为d,等比数列｛瓦｝的公比为q,则a4=-l+3d=8,解得

d=3;b4=-l-q3=8,解得的=-1+3=2,岳=-1X（—2）=2,所以发=1.

答案：1

2.（2016•浙江高考）已知aGR,方程a2x2+（a+2）/2+4x+8y+5a=0表示圆，则圆心坐

标是,半径是,

解析：由二元二次方程表示圆的条件可得出="+2,解得“a=2时，方程为4炉+4产

+4x+8j+10=0,即x2+y2+x+2y+?=o,配方得（*+32+。+1）2=—*0,不表示圆；

当。=一1时，方程为炉+炉+4*+89-5=0,配方得（*+2）2+6+4）2=25,则圆心坐

标为（-2,-4）,半径是5.

答案：（-2,-4）5

OS特殊值法

当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中

的参变量用特殊值代替即可得到结论.

［典例］已知等差数列｛%｝的公差为d,等比数列｛瓦,｝的公比为q,设｛a“｝,｛瓦｝的前n

项和分别为S“，T„,若〃2（7“+I）=2"S"，"GN",则〃=;q=.

［技法演示］法一：特殊化思想，取S“="2,T„=2"-l,则瓢=2〃-1,"满

足条件，故d=2,q=2.

法二：若g=l,则/（〃仇+1）=2｛"为+%二%,这是不可能的，所以gWl,

故〃1］_q十—2"J，所以q—2.

于是于［61（2"-1）+1］=2｛.+"（”2%,

比较两边系数得A=bi,ai=z,-6i+l=0,解得｛仇=1,d=2,a\=l.

综上，d=2,q=2.

［答案］22

［应用体验］

3.在等差数列｛斯｝中，若。3+"4+。5+。6+。7=25,则。2+a8=.

解析：法一：（特殊值法）

等差数列｛%｝为常数列，则43+44+45+46+47=25=545今45=5,。2+。8=2。5=10.

法二：（直接法）

因为数列｛4“｝是等差数列，由下标和性质知。3+。4+。5+”6+。7=25=545今痣=5,«2+

。8=2语=10.

答案：10

已知双曲线E：=l(a>0,Z»0).矩形A5C。的四个顶点在E上，AB,C。的

中点为E的两个焦点，且2|A8|=3|8C|,则E的离心率是

解析：法一：(特殊值法)

2b2

如图，由题意知|AB|=-屐，|5C|=2c,又21ABi=3|〃C|,

.••设|A6|=6,13cl=4,

则|APi|=3,|尸i尸21=4,

A|AF2|=5.

由双曲线的定义可知，a=l9c=2,.\e=~=2.

法二：(直接法)

2b2

如图，由题意知|4阴=/，|3C|=2c.

又2|A8|=3|BC|,

2b2

A2X—=3X2c,即2b2=3ac,

,*.2(c2—a2)=3ac,两边同除以标并整理，得2e?—3e—2=0,解得e=2(负值舍去).

答案：2

|数形结合法

根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往

往可以快速简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想.

f3x-1»xWO,

［典例］已知函数yu)=11在区间［-1,，川上的最大值是2,则"?

lx2,x>0

的取值范围是.

3'—1,xWO,

［技法演示］yu)=<1作出函数的图象，如图所示，因为函数八工)在

,x>0

［-1,何上的最大值为2,又八一1)=八4)=2,所以一lv/〃W4,即/"£(一1,4］.

［答案］(-1,4］

［应用体验］

X—4,

5.(2018•浙江高考)已知2GR,函数｛x)=J,,当2=2时，不等式/(x)<0

4x+3,x<2.

的解集是.若函数式x)恰有2个零点，则2的取值范围是

X—4,x22,

解析:当z=2时，於)=

X2—4x+3,x<2,

其图象如图①所示.

由图知y(x)<o的解集为(1,4).

4,

大幻=,’.’恰有2个零点有两种情况:

X2-4x+3,x<2

①二次函数有两个零点，一次函数无零点；

②二次函数与一次函数各有一个零点.

在同一平面直角坐标系中画出j=x—4与j=x2—4x+3的图象如图②所示，平移直线

x=A,可得2G(1,3］U(4,+«>).

答案：(1,4)d,3］U(4,+~)

E等价转化法

通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而得到

正确的结果.

［典例］(2018•浙江高考)已知点尸(0,1),椭圆5+了2=机(心1)上两点A,B满足/=

2PB,则当机=时，点8横坐标的绝对值最大.

［技法演示］设4(xi,ji),8(X2,J2),由方'=2前,

—X1=2X2,

得,“，、即X1=-2X2，yi=3-

1—Ji=2(>2—1),

学+(3-2y2)2=，",

因为点A,5在椭圆上，所以《

131591

得>2=中》+4，所以与=机一（3—ZyzAn—w/nZ+i”?一不=一丁小一5A+4W4,

所以当,〃=5时，点〃横坐标的绝对值最大.

［答案］5

［应用体验］

6.（2016•浙江高考）如图，在△/!5c中，AB=BC=2,ZABC=120°.

若平面ABC外的点P和线段AC上的点O,满足尸PB=BA,贝!I

四面体PBCD的体积的最大值是.4上丝

解析：在△A8C中，AB=BC=2,NA5C=120°,

：.AC=Y22+22-2X222x（-3=2小.

设CZ）=x,则AO=2［3-X,

工PD=2小一x,

:.Vp-Bcr）=^S^ncD'h

当且仅当x=2小一x,即》=布时取“=”，

此时P〃=S，BD=l,PB=2,满足题意.

故四面体PBCD的体积的最大值为;.

答案G

7.设X，y为实数，若4]2+72+盯=1,则2x+y的最大值是______.

解析:V4x2+j2+xy=1,A(2X+J)2=3XJ+1=^X2xj+1,A(2x+

、2<8c,、2V10

J)2^5，(2x+j)max==-・

答案：申

tm构造法

根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助它来认识和解决问

题.

［典例］（2016•浙江高考）设数列｛%｝的前〃项和为S,,.若S2=4,即+I=2S“+L"WN*,

则©=,Ss=.

［技法演示］先构造等比数列，再进一步利用通项公式求解.

,:%+I=2S"+1,/.Sn+l—Sn=2Sn+1,

:.S"+1=3S"+1,,S"+1+g=3（S"+£）,

・••数列卜”+多是公比为3的等比数列，

S2+5

：・r=3.

SI+5

又Sz=4,Si=1,7•==1,

Ss+；=（S1+；）X34=,X3,=竽，

.,.$5=121.

［答案］1121

［应用体验］

8.（2016•浙江海学）已知向量a,b,|a|=L|be,均有|a-e|+|b-e|W#,则a・b的最

大值是.

a+b

解析：由于e是任意单位向量，可设e=u，

|a+b|

a-(a+b)b(a+b)

则|a-e|+|b-e|=+

|a+b||a+b|

a-(a+b)b-(a+b)

/|a+b||a+b|

(a+b)-(a+b)

=------------------=|a+b|.

|a+b|

T|a-e|+|b-eW不，

.♦.|a+b|W祈，；.(a+b)2W6,

...|aF+|bF+2a-bW6.

7|a|=i,|b|=2,

；・l+4+2a・bW6,

Aab^|,Aab的最大值为;.

答案：\

n.多空题——辨式解答

并列式——两空并落"

此种类型多空题的特点是：根据题设条件，利用同一解题思路和过程，可以一次性得

出两个空的答案，两空并答，题目比较简单，会便全会，这类题目在高考中一般涉及较少，

常考查一些基本量的求解，一般是多空题的第一个题目.

［例1］(2016•浙江高考)已知2cos2x+sin2x=Asin((yx+°)+8(A>0),则A=,

b=.

［解析］V2cos2x+sin2x=l+cos2x+sin2x=l+V2sin^2x+^,l+A/isin(2x+§

=Asin(«xr+p)+6,:.A=地,b=l.

［答案］啦1

［点评］例1中根据题设条件把2cos2*+sin2x化成l+qisin(2x+§后，对比原条件

恒等式两边可直接得出两空的结果，A=r,b=l.

［应用体验］

I.(2015•浙江高考)双曲线日一步=1的焦距是,渐近线方程是.

2222

解析：由双曲线标准方程，知双曲线焦点在x轴上，且〃2=2,b=l,*.c=a+b=3f

即c=<3,，焦距2c=2、/5,渐近线方程为丁=玲，即7=±乎%.

答案：2小y=±坐r

ma分列式---一空一答

此种类型多空题的特点是：两空的设问相当于一个题目背景下的两道小填空题，两问

之间没什么具体联系，各自成题，是对于多个知识点或某知识点的多个角度的考查；两问

之间互不干扰，不会其中一问，照样可以答出另一问.

［例2］(1)(2016♦浙江高考谋几何体的三视图如图所示(单位：cm),则该几何体的表面

积是cm2,体积是cm3.

2.22,2

2

f2

(2)(2015•浙江高考)已知函数_Ax)=Jx"'则HA-3))=________,f(x)

UgC^+l),X<1,

的最小值是.

［解析］(1)由三视图知该几何体是一个组合体，左边是一个长方体，

交于一点的三条棱的长分别为2cm,4cm,2cm,右边也是一个长方体，/

交于一点的三条棱的长分别为2cm,2cm,4cm.二产黄沙

几何体的表面积为(2X2+2X4+2X4)X2X2-2X2X2=72(cm2),

体积为2X2X4X2=32(cm3).

(2)vy(-3)=lg［(-3)2+1］=lg10=1,

•\AA-3))=/U)=l+2-3=0.

2/~~52

当xNl时，x+—3^2A/x--3=2A/2-3,当且仅当X=-,即时等号成立，

xXX

此时八X)min=2也-3V0；

当X<1时，^+1)^18(02+1)=0,

此时於)min=o.

所以#x)的最小值为2g一3.

［答案］(1)7232(2)02&-3

［点评］例2(1)中根据题设条件三视图得出其几何体的直观图后，由面积的相关公式求

出几何体的面积，由体积的相关公式求出其体积；例2(2)中，两空都是在已知一分段函数

的解析式，考查两方面的知识，分别求出函数的值和函数的最值.

［应用体验］

2.(2015•浙江高考)函数八x)=sin2x+sinxcosx+1的最小正周期是,单调递

减区间是.

解析：=sin2x+sinxcosx+1

1—cos2x,1

=-----2-----+尹。2x+l

1・.1-3

=］sin2x-2C0S

=^sin（2x-j）+1,

，函数人x）的最小正周期T=n.

令冷+2«”W2》—手+2E,（AGZ）,

解之可得函数八幻的单调递减区间为

.3?r,.7n-|_

AJT+至，An+w」（AGZ）.

答案：n［痴+尊An+资（AGZ）

递进式——逐空解答

此种类型多空题的特点是：两空之间有着一定联系，一般是第二空需要借助第一空的

结果再进行作答，第一空是解题的关键也是难点，只要第一空会做做对，第二空便可顺势

解答.

［例3］（2018•萧山中学模拟）设等比数列他“｝的首项“1=1,且4内,2a2,方成等差数列，

则公比q=;数列｛斯｝的前〃项和Sn=.

［解析］因为＜zi=l,且44i,2a2,43成等差数列，所以4a2=4ai+“3,即4g=4+d，解

1—2"

得4=2,所以S"=7==2"-l.

JL乙

［答案］22»-1

［点评］例3中根据题设条件求出g=2后，再根据等比数列的求和公式求出S,,.第二空

的解答是建立在第一空解答的基础上的，只有求出第一空才能求得第二空.

［应用体验］

3.（2017•浙江名校协作体联考）已知在△A5C中，AB=3,BC=币,AC=2,且。是

△A8C的外心，则就•元=,~AO^BC=.

解析：因为。是△ABC的外心，所以向量4。在向量AC上的投影箕£匕=1,向量A。

IACI

-A-A-AA9>—Aw>

在向量方'上的投影所以AO・AC=2,AOAB=y所以BC=40。AC

答案：2

（三）有舍有得压轴大题——多抢分

高考是选拔性的考试，试卷中必然要有综合考查数学知识、数学思想的能力型试题,

即拉分题（亦即压轴题）.对大部分考生来说，如何从拿不下的题目（压轴题）中分段得分，是

考生高考数学能否取得圆满成功的重要标志，是使考生能否达到“名牌大学任我挑”的关

键.对此可采用如下三个策略达到高分的目的.

策略一缺步解答（能做多少就做务少）

如遇到一个不会做的问题，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解

决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能写几步就写几步.特别是那些解题层次明显

的题目，每一步演算到得分点时都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半.如

下例：

［典例1］（本小瓶满分15分）如图，设椭圆C：5+/=1（＞。＞0）,动直线I与椭圆C

只有一个公共点P,且点尸在第一象限.

（1）已知直线/的斜率为A,用a,b,A表示点尸的坐标；

（2）若过原点0的直线人与/垂直，证明：点P到直线6的距离最大值为。一瓦

［规范解答及评分细则］

⑴设直线I的方程为y=Ax+/n（&vO）,

消去y得（从+。2々2戊2+2424/〃工+〃2/九2一〃242=0

由于/与C只有一个公共点，故/=0,

即b2—m2+a2k2=0,

解得点P的坐标为（一次舞，帚后）

又点尸在第一象限，

（—a2kb2

故点尸的坐标为（赤用标'd小+“2A2）脩分）

⑵由于直线过原点。且与/垂直，故直线人的方程为丫+心=0,（8分）

所以点尸到直线/i的距离

-a"kb2A

yjb2+a2k2y]b2+a2k2

（10分）

yll+k2

层一万2

整理得d=i（13分）

A/b2+a2+a2k2+~j^

因为a2k2+T2^2ab

K9

**d一护一通一心

以~//＞，-!_2_|_2^4昕飞方+。2+2而ab，

A/b"~i~a2~i~a2k2~v"'

当且仅当#2=］时等号成立.

所以点P到直线A的距离的最大值为“一尻（15分）

［抢分有招］

得满分不容易，得大部分分数还是很轻松的.第一小题中只要有直线方程与椭圆联立

方程的意识就给2分，尸点横纵坐标各2分，即第一小题6分；第二小题中只要设A直线方

程就给2分，至于直线方程有没有设对无所谓；有点到直线的方程公式给2分；把点的坐

标代入正确给3分；最后有标=/的结果或等价形式都给2分；第一小题是突破口，如果能

解出尸点坐标，顺势写出P到/i的距离，拿13分是非常轻松的.

策略二'逆向解答（此路不通用想法）

对一个问题正面思考发生思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往

能得到突破性的进展.顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证.

［典例2］（2017•台州邮研•满分15分）已知数列｛%｝满足：%＞0,a"+i+；〈2（”eN*）.

(1)求证：alt+2<an+\<2(nGNi)；

(2)求证：斯>1(〃WN*).

［规范解答及评分细则］

⑴由斯＞0,即+i+；＜2,

得«„+i<2—7"<2.(3分)

因为2＞斯+2+」一＞2、悭望