人教A版选择性必修第一册：第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（难）（学生版+解析版）

第一章空间向量与立体几何单元检测卷（难）

一、单选题

L（2021•全国高二课时练习）若向量而垂直于向量£和B,向量5=+（九〃wH）且4,〃。0,则（）

A.m//nB.mLn

C.m不平行于n>m也不垂直于nD.以上三种情况都有可能

2.（2020,江苏省姜堰第二中学高二月考）如图，在正方体ABC。-A4GB中，点M,N分别

是面对角线A8与84的中点，若方=£,DC=b^DD^=c,贝1」丽=()

A.^+b-a1/-1

B.+C.一aD.-

22

3.（2021,江苏高二期末）在棱长为1的正方体A3CO-A片GR中，M.N分别是4耳、AA的中点，则

直线AM与DN所成角。的余弦值为（）

12国D,还

A.-B.一r

5555

4.（2021・湖北荆州•高二期末）如图，在三棱柱ABC-A4G中，8G与与C相交于点

O,ZA^AB=Z\AC=ZBAC=60°,AtA=3,AB=AC=2,则线段AO的长度为()

A.叵V295D.叵

RC.一

2222

5.（2020•浙江温州市•温州中学高三月考）如图四边形ABCD,AB=BD=DA=2,BC=CD=M.现将△ABO

jrSTT

沿3。折起，当二面角A-BD-C处于过程中，直线AB与8所成角的余弦值取值范围

。。

是()

572叵V2542

A.B.

C.D.0,

6.（2021•北京高一期末）在棱长为1的正方体ABC。-A4G2中，M,N分别为AA「，CC,

的中点，。为底面A3CQ的中心，点尸在正方体的表面上运动，且满足NPLMO,则下列说

法正确的是（）

B线段NP的最大值为乎

A.点尸可以是棱B耳的中点

C.点尸的轨迹是平行四边形D.点尸轨迹的长度为1+&

7.（2021•河北饶阳中学高三其他模拟）如图，正方体ABCO-A4GQ的棱长为6,

点/是棱A4的中点，AC与应）的交点为。，点M在棱3C上，且BM=2MC,

动点T（不同于点M）在四边形ABCD内部及其边界上运动，且7M则直

线3尸与7M所成角的余弦值为（）

&屈RV10rV5□小

4545

8.（2022•全国高三专题练习）在棱长为1的正方体A3CO-4与G2中，P是线段BG上的点，过"的平面

。与直线垂直，当尸在线段3G上运动时，平面a截正方体ABC。-A耳G2所得的截面面积的最小值

是（）

A.1B.-C.—D.72

42

二、多选题

9.（2020,辽宁高二期中）给出下列命题，其中为假命题的是（）

A.已知为为平面a的一个法向量，沅为直线/的一个方向向量，若亢_L雨，则"/a

B.已知万为平面。的一个法向量，沅为直线/的一个方向向量，若限两=午，贝心与a所成角为?

C.若三个向量1,b,C两两共面，则向量方，b,C共面

D.已知空间的三个向量万，b，c,则对于空间的任意一个向量广，总存在实数％y，z使得力=尤万+防+z1

10.（2021•邵阳市第二中学高三月考）如图，菱形ABCD边长为2,Zfi4Z）=6O°,E为边AB的中点.将44DE

沿DE折起，使A到A，，且平面ADE_L平面BCDE,连接A3,A!C.

则下列结论中正确的是（）

A.BDIACB.四面体ACDE的外接球表面积为8兀

3D.直线A3与平面A'CD所成角的正弦值为亚

c.5c与的所成角的余弦值行

4

11.（2021•重庆南开中学高三其他模拟）设所有空间向量的集合为&=｛（%%,W）%,程玉€鸟，若非空集

合MUR，满足：@\yx,yeM,x+y&M,@VaeR,x&M,ax&M,则称"为G的一个向量次空间，

已知A,B均为向量次空间，则下列说法错误的是（）

A.Ar\B^0

B.AUB为向量次空间

C.若At",则8=店

D.若5片何,则或eA,总不eB且"6,使得小了=。

12.（2021•辽宁）已知直四棱柱ABCO-A4G2,底面ABCD为矩形，AB=2,BC=6侧棱长为3、

设尸为侧面的。2所在平面内且与。不重合的任意一点，则直线BR与直线所成角的余弦值可能为（）

A.--B.；C.—D.-

2228

三、填空题

13.（2020•全国高二课时练习）已知口=13,忖=19,卜+0=24,则,-@=.

14.（2021•浙江）如图，在棱长为4的正方体A8CD-A4G2中，/W是棱A1A上的动点，N是棱2C的中

点.当平面D'MN与底面ABCD所成的锐二面角最小时，AM=.

15.（2021•安徽高二期末（理））已知正四面体A-BCD的外接球半径为3,为其外接球的一条直径，

P为正四面体A-BCD表面上任意一点，则两.丽的最小值为.

16.（2021•全国高三其他模拟）在棱长为3的正方体ABC。-A4G2中，BE=2EC,点尸在正方体的表

面上移动，且满足q当户在CG上时，|AP|=；满足条件的所有点P构成的平面图形的周长

为.

四、解答题

17.(2021•全国高二课时练习)已知点。是正AABC平面外的一点，若。4=O3=OC=A3=1,E,F

分别是AB、。。的中点，试求。E与E5所成角的余弦值.

18.(2020•广东茂名市•高二期末)已知在四棱锥A-BCD石中，

AE=AB=ED=CD=^-BE=-BC,DE//BC,CD±DE,平面AB£_L平面3cDE.

22

(1)求证：6E」CE；

(2)求二面角3—AC—。的余弦值.

A

D

B仁

C

19.（2021•江苏省漂水高级中学高二月考）如图，四棱锥P-ABC。中，底面AB8为矩形，平面A3CQ,

E是PD的中点，过BC作平面BCEF交平面乃始于所.

（1）证明：尸是丛的中点；

（2）设二面角D-AE-C为60。，AP=1,AD=6，求三棱锥E—ACD的体积.

20.（2021•江苏省新海高级中学高二月考）如图1,在等边AABC中，点。、E分别为边AB、AC上的动点

DE

且满足DE//6C,记F=X.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE_L平面DECB,连接MB,

BC

MC得到图2,点N为MC的中点.

（1）当硒//平面AffiD时，求2的值；

（2）试探究：随着X值的变化，二面角3-MD-E的大小是否改变？如果改变，请求出实数；I与二面角平

面角的正弦值的函数关系；如果不改变，请求出二面角3-MD-E的正弦值大小.

21.（2021•河南高二期末（理））如图，四棱锥P-ABCD中，底面A3C。为正方形，△PAB为等边三角

形，平面底面ABC。，E为AD的中点.

（1）求证：CE±PD；

（2）在线段8。（不包括端点）上是否存在点歹，使直线AP与平面PEF所成角的正弦值为g,若存在,

确定点尸的位置；若不存在，请说明理由.

22.（2021・重庆巴蜀中学）如图，在三棱台ABC-4用C中，底面AABC是边长为2的正三角形，侧面ACC^A

为等腰梯形，且AG=A4,=1,。为AC的中点.

（1）证明：ACLBD-

rr27r

（2）记二面角A-AC-8的大小为。，时，求直线A4与平面BBC。所成角的正弦值的取值

范围.

第一章空间向量与立体几何单元检测卷(难)

一、单选题

1.(2021•全国高二课时练习)若向量浣垂直于向量£和B，向量石=彳£+//3(/1,〃€尺)且

九〃b0,则()

A.m//nB.m±n

C.浣不平行于3，记也不垂直于3D.以上三种情况都有可

能

【答案】B

【详解】

向量机垂直于向量a和则能-a=0，〃△3=0，

又向量〃=Na+,

所以机•w=•(Aa+jub)=Am-a+jumb=Q,

所以％_1_".

故选：B.

2.(2020,江苏省姜堰第二中学高二月考)如图，在正方体中，点/，N

分别是面对角线AB与8a的中点，若诙=£,DC=b，DDx=c,则丽=()

A.1(c+g-«)B.|(«+&-c)C.D.|(c-«)

【答案】D

【详解】

因为点M,N分别是面对角线48与4A的中点，DA=a,DC=b，西=",

所以丽=丽+瓯+瓦曾

1--——-1——-

=]-c+B)+©+《_4_

故选:D.

3.(2021•江苏高二期末)在棱长为1的正方体ABC。-A4GR中，M,N分别是其耳、人4

的中点，则直线AM与DN所成角。的余弦值为()

A1R2rV21n2V6

5555

【答案】B

【详解】

以点A为坐标原点，AB.AD.AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

1

0,T；,AM-DN2

AM=DNcos<AM,DN>=2

I皿.网好x好

~TX^2

2

因此，直线A"与。N所成角。的余弦值为二,

故选：B.

4.（2021・湖北荆州•高二期末）如图，在三棱柱ABC-44G中，BG与8C相交于点

2»2]/-,>\2]/»2»2*2,,,,,

=A0=-(AA+AC+ABj=1AA+AC+AB+2，AA-AC+2AAAB+2,AC-ABj

Kiic

i33

=-x(32+22+22+2x3+2x3+2x2)=—,

故国=孚

故选：A.

5.(2020•浙江温州市•温州中学高三月考)如图四边形ABC。，AB=BD^DA=2,

__兀57r

8C=CD=0.现将△AB。沿3。折起，当二面角A-BD-C处于过程中，直线

OO

与8所成角的余弦值取值范围是（）

572y/2

A.--

一-叵

C.0,——

O

【答案】D

【详解】

在四边形ABCO中，连接AC交8。于点。，如下图所示:

AB=BD=DA^2,BC=CD=后,又因为AC=AC,:.^ABC=AADC,

所以，ABAC=ADAC,故ACJ_2D,即AO_L3D,COLBD,

且AO=^AB2-BO2=V3-CO=^BC2-BO1=1，

翻折后，对应地，BDLAO,BDLCO,-.-AO^CO^O,所以，BDmACO,

冗5TZ-

二面角A—3O—C的平面角为NAOC,设NAOC=d,则，e,

ob

以点。为坐标原点，oc、。。所在直线分别为龙、y轴建立如下图所示的空间直角坐标系,

则点A(6cos，,0,氐in©)、5(0,-1,0)、C(l,0,0),£>(0,1,0),

所以，AB=(-V3cos0,-1,-73sin0),CD=(-1,1,0),

ABCD石cos。-15A/2A/2

COS<AB,CD

AB[\CD\2及

所以,

5J?

因此，直线AB与CO所成角的余弦值取值范围是0,4-.

o

故选：D.

6.（2021•北京高一期末）在棱长为1的正方体ABCD-A百GQ中，M,N分别为

CG的中点，0为底面ABC。的中心，点尸在正方体的表面上运动，且满足NPLMO,

则下列说法正确的是（）

A.点尸可以是棱2月的中点B.线段NP的最大值为正

2

C.点P的轨迹是平行四边形D.点尸轨迹的长度为1+四

【答案】B

【详解】

在正方体中，以点。为坐标原点，分别以加、DC、方向为X轴、y

轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系,

B

因为该正方体的棱长为1,分别为AA，CG的中点,

1

则0(0,0,0),N

。心2，。上,。

设P(x,y,z),则标=(x,y_l,z_g

所以I-

因为NP_LMO,所以标•丽=0

所以弓x_j(y_l)+3(z一=0,ip2x-2y+2z=-l,

乙乙乙\乙)

令z=o,当为=3时，y=i；当x=o时，y=g；

取叫,1,0）,中，；，。），

连接EF,FN,NE,则丽=［一£W=f-1,0,1

ENOM=--x—+0x|-—|+—x—=0,

22{2）22

所以EFJ_QW,EN1,OM,

又EFcEN=E,且跖＜=平面ENu平面EFN,

所以OM_L平面EFN,

所以，为使NPLO暇，必有点Pe平面E/W,又点尸在正方体的表面上运动,

所以点尸的轨迹为正三角形E/W,故C错误；

因此点尸不可能是棱B耳的中点，故A错误；

线段NP的最大值为NF=受，故B正确；

2

点尸轨迹的长度为变+走+变=逑，故D错误；

2222

故选：B

7.（2021•河北饶阳中学高三其他模拟）如图，正方体A3CO-A4G，的棱长为6,点F是

棱M的中点，AC与应）的交点为。，点M在棱3C上，且3M=2MC,动点T（不同

于点M）在四边形ABCD内部及其边界上运动，且TMLOF,则直线用/与

7M所成角的余弦值为（）

A回rV5

A.--------DR.-Vio

454

【答案】B

法一：易知3OJ_AC.

因为AF_L平面ABC。，所以所以BO_L平面AF。,

又。尸u平面AF。，所以或）_1_。尸，

在棱。C上取一点M旦DN=2NC,连接NM,则所以所以动点了

的轨迹为线段MN（不包括M）.

取棱CG的中点从连接。“，易知DH"FB',则/印汨即异面直线B尸与7M所成的角.连

接BH,因为9=病仔=36，BD=6s/2，BH=3小,

DH2+BD2-BH2而

所以cosNHDB=

2DHxBD~T~

法二:以A为坐标原点，直线AO，AB,朋分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标

系，

易知4(0,6,6),尸(0,0,3),M(4,6,0),0(3,3,0),设T(x,y,0),则TM=(4—x,6-y,0)，

友F=(0,-6,-3)，OF=(-3,-3,3)-

由题意知|/.d=-3(4-x)-3(6-y)=0，得>=1。一尤,

所以小（1,I,。），则卜,叫=焉/…

又了不与点M重合，所以X-4*0,所以cos（B[F,心）=半,

所以直线37与77W所成角的余弦值为手，

故选：B.

8.（2022•全国高三专题练习）在棱长为1的正方体ABC。-AAGD中，尸是线段Bq上的

点，过A的平面a与直线”垂直，当尸在线段BG上运动时，平面a截正方体

A8CO-A4GR所得的截面面积的最小值是（）

A.1B.-C.—D.72

42

【答案】C

讨论，确定截面。与各棱的交点，求出截面面积关于t的表达式，由此可解得截面面积的最

小值.

【详解】

以点A为坐标原点，AB.AD,&A所在直线分别为工、》、z轴建立如下图所示的空间直

则4(0,0,0)、A(0,0,1)、3(1,0,0)、旦(1,0,1)、C(1,1,0),G(1,1,1)、0(0,1,0)、4(0,1,1),

设点P。,⑺,其中04/V1.

①当/=0时，点尸与点8重合，BD=(-1,1,0),AC=(1,1,0),随=(0,0,1),

所以，BDAC=0,丽・丽=0,则3D1_AC,BDVAA,,

AC^AA{=A,二即，平面朋6C,此时平面a即为平面A4,£C,

截面面积为S=A4,•AC=0；

②当t=l时，同①可知截面面积为5=0;

③当。<f<l时，DP=(l,t-l,t),AC=(1,1,-1),

■.■DP-A^C=l+t-l-t=0,：.AXCVPD,则ACua,

设平面a交棱。2于点矶0,Lz),CE=(-1,0,z),

DPCE=-l+tz=O,可得z=!>l,不合乎题意.

t

设平面a交棱AB于点M(xQO),CM=(x-1-1,0),

DP-CM=x-l-(t-l)=O,可得x=r,合乎题意，即M(f,O,O),

同理可知，平面a交棱G2于点N（1T,1,1）,

^V=（l-r,l,O）=MC,且AN与不重合，故四边形4MCN为平行四边形,

而.丽2-t

AC=(1,1,-1),布=(IT,1,0),COSZCAN=

}丽.丽若."一2r+2'

------------：2(产—+1)

则sin"AN=-cos2NCA[N=]=

网产-2f+2)

所以，截面面积为

s=2S5=MH丽sin"AN=国/-+1）=[,一+|=半＜应.

综上所述，截面面积的最小值为理.

2

故选：C.

二、多选题

9.（2020.辽宁高二期中）给出下列命题，其中为假命题的是（）

A.已知万为平面。的一个法向量，比为直线/的一个方向向量，若河，历,则"/a

2万

B.已知方为平面。的一个法向量，沅为直线/的一个方向向量，若〈用比〉=F-,则/与a所

成角为《

O

c.若三个向量方，5,5两两共面，则向量B共面

D.已知空间的三个向量二，b,c,则对于空间的任意一个向量万，总存在实数x，y，z使得

p=xa+yb+zc

【答案】ACD

【详解】

对于A：由题意可得///a或/ua,故A错误；

对于B：

ZTTTT

由图象可得，ZCAD=—,贝IJNZM2=W，

所以ZA£)8=m，根据线面角的定义可得：/与。所成角为故B正确

66

对于C：若三个向量万，b,1两两共面，但三个向量不一定共面，故C错误；

对于D：当空间的三个向量万，b,1不共面时，对于空间的任意一个向量广，总存在实数

zUWp=xa+yb+zc,故D错误.

故选：ACD

10.(2021•邵阳市第二中学高三月考)如图，菱形ABC。边长为2,Zfi4£)=60。，E为边AB

的中点.将AADE沿DE折起，使A到4,且平面ADE_L平面BCDE,连接AB,A'C.

则下列结论中正确的是(

A.BDLA'CB.四面体ACDE的外接球表面积为8兀

3

C.BC与AO所成角的余弦值为:D.直线A3与平面A'CD所成角的正弦值为

A/6

【答案】BCD

【详解】

由题知，△ABD为正三角形，DE±AB,将沿DE折起，使A到A「且平面AZ)E_L平

面3CDE,则EB,ED,EV两两垂直，以E点坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系,

z

对于A,8(1,0,0),£)(0,5^,0),A1(0,0,1),C(2,后0),fib=(-1,73,0)-A；C=(2,也,一1)，

则质>&%=_2+3=］卢0，故8。与4c不垂直，故A错误；

对于B,取CE的中点F,联结DF,又DELDC,

贝ijFE=尸。=FC=,CE=LV3+4=—,

222

过F作/O_L平面CDE,四面体ACDE的外接球球心。在F。上，作OA/_LA'E,

设。尸=彳，OD=OA'=R,在RMOFD,中，

有炉=(4>+/=(t)2+(i-x)2,解得x=g,R=&,

故四面体ACDE的外接球表面积为4万代=8万，故B正确；

对于C,辰;=(1,6,0)，4方=(0,若，-1)，设BC与AD所成角为6,

—>—>

BCAD§

3

贝Ijcos6=r——=故C正确;

BC-A'D乙乙

.—>—>,——>,—

对于D,48=(1,0,-1)，A'C=(2,V3,-l)*A'D=(0,V3,-l)>

设平面A'CD的法向量:=(x,y,z)

n-A'C=2x+也y-z=0

则取z=5/3,

«-ArD=V3y-z=0

则：=(0,1,石)，

—>—>n-A^B—A/3_A/6

则cos<n,A'B>=

->2x0-4,

nA^B

故直线A5与平面A'CO所成角的正弦值为如，D正确;

4

故选：BCD

11.（202”重庆南开中学高三其他模拟）设所有空间向量的集合为

炉=｛（百,%,天）园,々,玉eR｝,若非空集合满足：①“yeM,x+y&M,②

VaeR,x^M,ax&M,则称M为炉的一个向量次空间，已知A,B均为向量次空间，

则下列说法错误的是（）

A.Ac5w0

B.AUB为向量次空间

C.若AuB,贝！JB=&

D.若8*何，则V元eA,总于eB且使得齐少=0

【答案】BCD

【详解】

若“为收的一个向量次空间，则由②VaeR,x&M,就eM可知，OeM，

再结合①可得向量次空间包含元素（0,0,0）

所以向量次空间所包含的元素对应的点为穿过空间坐标系原点的一条直线，

或者经过空间坐标系原点的一个平面，或者是整个空间.

对于A,显然当A,8均为向量次空间时，（（0,0,0）｝cAnB,所以A正确；

对于B,当A,B分别为空间中经过原点的两条不同的直线时，取；feA,且北歹不为

（0,0,0）,

则亍+歹走AuB,不符合①，所以B错误；.

对于C,例如A对应一条过原点的直线/,5对应一个过直线/的平面时，满足A=5,

但B/R3,c错误；

对于D,当A,B分别对应空间中两条过了原点，但是不相互垂直的直线时，不成立，D错

误.

故选：BCD

12.（2021・辽宁）已知直四棱柱，底面ABC。为矩形，AB=2,BC=6,

侧棱长为3,设尸为侧面明。2所在平面内且与。不重合的任意一点，则直线8R与直线

PD所成角的余弦值可能为（）

A.--B.JC.—D.-

2228

【答案】BC

【详解】

以D为原点，DA,DC、所在直线分别为了、V、z轴建立空间直角坐标系如图，则

B（g,2,0）,R（0,0,3）,则西'=卜退,-2,3）,设点尸（x,0,z）,则加=（x,0,z）.

设直线与直线PD所成的角为凡则

画.四|-73X+3Z|

cos6=\os（Bq,£）尸）=

画忖4行+z2

☆%=rcosa,z=rsina,其中r>0,

-V3rcosa+3rsina\3sincr-^coscr6（兀、6

则cos3=--------------------=-----------------=——sina---<,

4r42V6j2

所以，cos6e0,当.显然，1e0,2,

三、填空题

13.（2020■全国高二课时练习）已知,卜13,忖=19,卜+q=24,则,-©=

【答案】22

【详解】

,rr,2rrrr.r.2rr,r,2°rr

因为卜+0=a2+2a-b+b2=a+2a-Z>+Z?=132+2a-Z?+192=24",

所以2=力=46,

irr|2r2rrr2,

a—6=a-2a-b+b=13?—46+19?=484,

故1-0=22.

故答案为：22

14.（2021•浙江）如图，在棱长为4的正方体ABC。-A4GR中，M是棱A/上的动点,

N是棱3C的中点.当平面0MN与底面A3CD所成的锐二面角最小时，4M=.

设M（4,0,a）（0VaV4）,N（2,4,0）,〃（0,0,4）

丽=（_2,4,-a）,麻=（2,4,T）

设平面RMN的一个法向量为〃=（x,y,z）

r—L：（4-4）z

[n-MN=0f-2x+4y-az=04

1万.。田=。[2x+4y-4z=0（a+4）z

J=-8-

令z=8,x=8-2a,y=a+4,则〃=（8—2aM+4,8）

平面ABCD的法向量的一个法向量为X=（0,0,1）

设平面与底面ABC。所成的锐二面角为。

“…八几•a88

所以cos6=|一||一|二/「

〃

阿川J（8—2Q）+（a+4）J5a2—24+144

741?c

当。=正=不时，cos。有最大，则。有最小，所以

Q

故答案为：—

15.（2021•安徽高二期末（理））已知正四面体A-3CD的外接球半径为3,为其外

接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则两.两的最小值为

【答案】-8

【详解】

设正四面体外接球球心为。，

正四面体A-3CD的外接球半径为3,

设正四面体A—BCD内切球半径为小一个面的面积为S,高为"，贝|匕86=4、39=：5〃，

所以〃=4r,显然r+3=〃=4r,所以厂=1,即归。、“=1.

PMm=fW+OMYfPO+ON^Pd1+OMON=PO2-9.A-9=-S-

故答案为：-8.

16.（2021•全国高三其他模拟）在棱长为3的正方体A3C£>-A4G，中，诙=2成，点尸

在正方体的表面上移动，且满足用尸，RE,当尸在CC,上时，|AP|=；满足条件的所

有点尸构成的平面图形的周长为.

【答案】05夜+2加

【详解】

如图，取CC］、8上的点分别为N、M,连接AM、MN、B、N、AB］，使得ABJ/MN,

:.A,耳、N、M四点共面，且四边形A4NM为梯形.

•••正方体的边长为3,

所以，以。为坐标原点，D4所在直线为无轴，OC所在直线为y轴，。2所在直线为z轴

建立如下图所示的空间直角坐标系，

则4（3,0,0）、4（3,3,3）、R（0,0,3）、£（1,3,0）.

设点M（0,私0）、N（0,3,〃）,设点ELAM,且屏=（1,3,-3）,AM=（-3,m,O）,

屏・疝'=-3+3m=0,解得m=1,

•.•丽=（0,3,3）,扉.福=9一9=0,：.DlEl.ABi,

由AMnABi=A,则RE,平面A耳NM.

•••点P在正方体表面上移动，且用尸■!RE,则点尸的运动轨迹为梯形AB、NM.

说=（0,2,〃），I\E-MN=6-3n=Q,解得〃=2,即点N（0,3,2）.

所以，当尸在CG上运动时，|分尸|=|AN|=J（3-Op+（0-3）2+（0-2）2=后,

又Q|Mf|=20,|ABj=30,|4^|=忸阐=质，

所以，梯形A耳NM为等腰梯形，

且梯形的周长|44|+|知可|+2|4/=30+20+2厢=5血+2厢.

故答案为：后；5V2+2A/10.

四、解答题

17.（2021•全国高二课时练习）已知点。是正AA3C平面外的一点，若

OA=OB=OC=AB=1,E,尸分别是AB、0c的中点，试求。石与跖所成角的余弦

值.

【答案】j2

【详解】

设丽=£,砺=B,OC=c,则〃•BB•c=c•a=g加|=W=卜|=1，

OE=-(a+b]fBF=-c-b,

2、)2

殖而$+40司=/3."+那时前一〃

1-----2、

=——a-c+—b'C-a-b-b

2(22)

I

2

所以cos（无，诙）=OEBF2

3

阖.阿「走x且

因为异面直线成角的范围是,所以异面直线。E与BF所成角的余弦值大于等于0,

故异面直线0E与BF所成角的余弦值为j2.

18.（2020•广东茂名市•高二期末）已知在四棱锥A_5CDE中，

AE=AB=ED=CD=^BE=-BC,DEUBC,CDVDE,平面AB£J■平面BCDE.

B匕

（1）求证:BE^CE；

（2）求二面角3—AC—。的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）-叵.

【详解】

r

(1)证明：•.•CD_Lr)£;./EDC=9(r^lJCE2=EZ)2+CD2

...ED=CD=—BE=-BC

22

CE2+BE2=ED2+CD2+BE1

故BE_LCE.

文:面ABE_L平面BCDE,且面48£八面BCDE=BE

：.CE^ABE

又BEu面ABE,：.BEYCE.

（2）取BE的中点。，连AO,则AO_L3E,从而AOJ_面BCDE.

取。为原点，04为z轴，过。且平行于C。的直线为x轴，过。平行于BC的直线为y轴,

建立如图空间直角坐标系.

设A8=2,则B(1,-1,0),C(1,3,0),D(-1,3,0),A(0,0,&)

CD=(-2,0,0),CA=(-1,-3,6AB=(1,-1,-72),BC=(0,4,0)

设平面ACD的法向量为％=（x1,y],z1）,

4・①=01-2西=0

则，令z、=叵,得E

居•CA=0'—xt—3%+A/2Z；=0

设平面ABC的法向量为为=(尤2，%*2)

k-AB=0k-y2-V2z2=0

、［n2-BC=014y2=0

令z?=6，得我=(2,0,拒)

>=0+0+2

Z.COSV%,而

22

211

0++2x722+0+2

3

又由图知二面角B-AC-D为钝角

•1.二面角B-AC-D的余弦值为-返.

11

19.（2021•江苏省深水高级中学高二月考）如图，四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为矩形,

PA_L平面ABCD,E是尸。的中点，过3C作平面BCEF交平面24£＞于跖.

（1）证明：产是PA的中点;

（2）设二面角O-AE—C为60。，AP=1,AD=6,求三棱锥E—ACD的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）显

8

【详解】

解：（1）证明•••四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为矩形,

:.BC//AD,

平面RW,ADu平面PAD,

.•.3C〃平面PAD,

v过BC作平面BCEF交平面PAD于EF.

.•.EFu平面PAD,旦EFUBC,

.-.EF//AD,

•.•E是P£＞的中点，二厂是B4的中点；

（2）以A为原点，A3为x轴，A£）为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系,

石，0),0(0,50),E(0,B,i),

设AB=f,r>0,则A(0,o,0),c(t,

22

AE=(0,B,3)，AC=(t,G，0),

AD=(0,G,0),

22

平面ADE1的法向量为=（1,0,0）,

设平面ACE的法向量加=（x,y,z）,

m-AC=tx+6y=0

则)取y=i,得玩1,->/3),

m-AE=y+—z=0

22

••・二面角D—M—C为60。,

i□3

•MY।'=不,由方>。，解得％=「•口=彳，

/3.222

#+4

1

--X国|=

UAACD2

E到平面ACD的距离d=：PA=g,

二三棱锥E-ACD的体积/Tc»=；xS.AsXd=；x芈x；=^.

3542o

20.(2021•江苏省新海高级中学局二月考)如图1,在等边△ABC中，点。、E分别为边

np

AB、AC上的动点且满足。£〃8C,记*;=2.将△ADE沿DE翻折到△的位置并使得

平面平面DECB,连接MB,MC得到图2,点N为MC的中点.

图1图2

(1)当EZV〃平面时，求X的值；

(2)试探究：随着力值的变化，二面角3-的大小是否改变？如果改变，请求出实

数4与二面角平面角的正弦值的函数关系；如果不改变，请求出二面角B-MD-E的正弦值

大小.

【答案】(1)|(2)述

【详解】

(1)取的中点为P,连接DP,PN,

因为MN=CN,MP=BP,所以NPIIBC,又DEIIBC,所以NPIIDE,即N,E,D,P四点共

面，又ENII面BMD,EA/q®NEDP,平面NED