2020-2021学年宝鸡市金台区高二年级上册期末数学试卷(理科)(含解析)

2020-2021学年宝鸡市金台区高二上学期期末数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.下列命题中，是假命题的是()

A.已知非零向量乙。若|—+3|=|万一向则五J.G

e

B.若p：Vx6(0,+oo),x-1>Inx,贝!Ip的否定为：3x0(0<+°°)>&-1W伍出

C.在44BC中，usinA+cosA=sinB+cosB”是“A=B”的充要条件

D.若定义在R上的函数y=f(x)是奇函数，则y=f(/(x))也是奇函数

2.己知五=(2,y,2),b=(x,-l,l)«若五13，则实数x,y满足的关系式为()

A.2x—y=0B.2x+y=0C.2x+y-2=0D.2x-y+2=0

3.下列命题错误的是()

A.命题“若为2-3X+2=0,则x=1”的逆否命题为“若XK1,则/—3X+2H0”

B.若命题p：SxeR,x2+x+1=0,则“-ip"为：VxG/?,x2+x+10

C.若“pAq”为假命题，则p,q均为假命题

D.“x>2”是“/一3x+2>0”的充分不必要条件

4.“a>2”是“函数/(x)=loga(2-ax)在定义域内为减函数”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知命题p：m&eR,Inxo2X。一1.命题q：V6>GR,sin。+cos。<1,.则下列命题中为真命

题的是()

A.pAqB.(~~p)AqC.(-p)A(-q)D.pA(~~q)

6.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点0,并且经过点M(2,y()).若点M到该抛物线焦点

的距离为3,则|OM\=()

A.272B.26C.4D.2布

a______Qi_____Ai

7.如图,直三棱柱ABC-A/】Ci中,Z.BCA=90°,点。、F分别是占&、K

的中点，若BC=Q4=CCi，贝IJBC与4F所成角的余弦值为()

A.巨

10

B

1

B-

2

C

病

一

D

15而

W

8.已知圆锥曲线C的方程是5x2—6xy+5y2=8,则下列命题中是假命题的是()

A.曲线C上的点的横坐标x的取值范围是［-手，等］

B.曲线C关于直线y=x对称

C.曲线C上的点到曲线C的对称中心的最远距离为2

D.曲线C的离心率是［

9.已知a>0,函数/(x)=。久2+bx+c.若Xo满足关于％的方程2ax+b=0，则下列选项的命

题中为假命题的是……()

A.3xeR,/(x)</(x0)B.3xG.R,/(x)>/(x0)

C.yxe/?,/(x)</(x0)D.yxG/?,/(x)>/(x0)

10.已知过抛物线y2=12x焦点的一条直线与抛物线相交于A,B两点，若|AB|=14,则线段AB的

中点到y轴的距离等于()

A.1B.2C.3D.4

11.若双曲线接一看=19>01>0)的离心率0=2,则该双曲线的两渐近线为()

A.y=±3xB.y=+yxC.y=±V3xD.y=±|x

12.己知Fi、F2分别是双曲线C；捻一《=19>()为>0)的左、右焦点，若双曲线C的右支上存在

点力，满足2|40|-3|4尸2|=a,则双曲线C的离心率的取值范围是()

A.(1,4］B.(1,4)C.(1,2］D.(1,2)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.己知正方形ABCO的边长为1,点E是4B边上的动点，则说•而的值为,症•前的最大

值为.

14.抛物线y2=8x与双曲线上一点圣一\=16>0/>0)的有共同的焦点尸，两曲线在第一象限

的交点为PQofo)，且P到焦点F的距离为5,则双曲线的离心率e=.

15.已知双曲线条一，=1((1>0">0)一条渐近线与刀轴的夹角为30。，那么双曲线的离心率为

16.在空间坐标系中，己知三点4(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,l)，则平面4BC的单位法向量是

三、解答题(本大题共4小题，共70.0分)

17.如图，力B是圆。的直径，C是圆。上除4、B外的一点，DC1平面ABC,

四边形CBEO为矩形，CD=1,AB=4.

(1)求证：ED1平面ACO；

(2)当三棱锥E-ADC体积取最大值时，求此刻点C到平面4DE的距离.

19.点P是直线y=—2上的动点，过点P的直线。，％与抛物线丫=/相切，切点分别是4B.

(1)证明：直线4B过定点；

(2)以4B为直径的圆过点M(2,l),求点P的坐标及圆的方程.

20.如图在四棱锥P-ABCD中，底面48CD是边长为4的正方形，PAL^ABCD,E为PB中点，PB=

4V2.

(1)求三棱锥E-ABC的体积；

(2)求直线EC与平面24。所成角的大小.

参考答案及解析

1.答案：c

解析:解：对于4,因为|方+9|2=|元一石|2,+b2+2a-b=a2+b2-2a-b>

所以五0,五JL石，故A正确；

对于8,全称命题的否定是特称命题，要对量词进行改变，对结论进行否定，故B正确；

对于C,因为sinA+cosA=sinB+cosB,所以2sinA,cosA=2sinB•cosB,sin2A=sin2B,

所以4+B=；或4=B,显然**sinA+cosA=sinB+cosB"不是"4=B"的充要条件，故C错误;

对于D,设函数F(x)=f(f(x)),其定义域为R,定义域关于原点对称，

且F(-x)=/(/-(-%))=/(-/(x))=-/(/(%))=-F(x).

所以F(x)为奇函数，故£>正确.

故选：C.

通过向量的数量积是否为0,判断4的正误；命题是否满足命题的否定形式判断B；利用特例结合充

要条件判断C；利用函数的奇偶性的定义判断D.

本题考查命题的真假的判断与应用，涉及函数的简单性质，向量的数量积和充要条件的判断，是中

档题.

2.答案：D

解析：解：•;alb>

a-b=2x-y+2=0>

故选：D.

alb，可得五不=0，即可得出.

本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题.

3.答案:C

解析：

本题考查了命题的否定，命题的真假判断与应用，必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基

础题.

对于4命题的逆否形式“若p则q”形式的逆否命题形式为：“若非q则非p"；对于B存在性命题的否

定是“全称命题”；对于C,p且q的命题为假，贝。和q至少有一个为假，对于。选项主要根据充要条

件的定义即可

解：A“若p则q”形式的逆否命题形式为：“若非q则非p”；

8特称命题的否定是全称命题；

C只需两个命题中至少有一个为假，则“p且q”形式的命题即假，故C错；

。易知命题正确.

故选C.

4.答案：A

解析：解：设t=2-ax,则函数t=2-ax在a>0时为减函数，

若函数f(x)=loga(2-ax)在定义域内为减函数，

则y=logat为增函数，则必有a>1,

则“a>2”是“函数/Xx)=loga(2-ax)在定义域内为减函数”的充分不必要条件，

故选：A.

根据函数的单调性，以及充分条件和必要条件的定义进行判定即可得到结论.

本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键.

5.答案：D

解析：解：殳0=1eR,使"&=%o-1=

故命题p：三X06R,济&2&—1为真命题，

当。=?时，sin9+cos。=V2>1>

故命题q：V6»eR,sin。+cos0<1为假命题，

故命题pA(-iq)为真命题，

命题(-ip)Aq,(-)p)A(-1Q),pAq为假命题，

故选：D.

先判断命题p和命题q的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表，得到答案.

本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，全称命题和特称命题等知识点，难度中档.

6.答案：B

解析：由抛物线定义，知名+2=3,所以p=2,抛物线方程为y2=4x.因为点M(2,y0)在抛物线

2

上，所以&=±20，故|0如=J4+W=2"

7.答案：A

解析：

本题考查空间异面直线的所成角，建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.

解析:

解：以CB、CA.eg所在直线分别为x、y、z轴建立坐标系，设BC=CA=CC1=1,

则B(1,O,O),4(0,1,0),Oi

.西丽小瓯邛,画邛,

・•.COS瓯丽卜噜.

故选A.

8.答案：D

解析：解：方程5/-6xy+5y2=8,可看做关于y的

二次方程5y2-&xy+5x2-8=0,

根据方程有实数解的条件可得4=36%2-4x

5(5%2-8)>0,解得一当wxw邛，故A正确；

将工换为y,y换为％,可得方程5--6盯+5y2=8不变，则圆锥曲线。关于直线y=x对称;

同样将x换为一y,y换为一无，可得方程5/一6与7+5丫2=8不变，则圆锥曲线C关于直线、=一刀对

称,

故8正确;

xf-yt

x

由旋转变换公式可得X-代入曲线C的方程可得5x丝誓一6x黄x鬻+5x史普

y

8,

2

化为匕+y'2=l,即为椭圆方程，且长轴长为4,即曲线C上的点到曲线C的对称中心。的最远距离

为2,离心率为6=塔=立，故C正确，£>错误.

V42

故选：D.

由关于y的二次方程5y2一6町/+5/-8=0有实数解，运用判别式非负，解得久的范围，可判断4

将工换为y,y换为x,方程不变，可判断B；由旋转变换公式可得,代入原方程化简可得椭

圆方程，由椭圆的性质可判断C,D.

本题考查圆锥曲线的方程和性质，考查化简变形能力和运算能力、推理能力，以及数形结合思想,

属于难题.

9.答案:C

解析：由X。=-2(a>0)及抛物线的相关性质可以知道C项是错误的.

2a

10.答案：D

解析：解：抛物线好=12%焦点(3,0),准线为Ax=-3,

设的中点为E,过4、E、B分别作准线的垂线，垂足分别为

C、G、D,EF交纵轴于点H,如图所示：

则由E尸为直角梯形的中位线知，

AC+BDAF+BFAB_

EG=----2----=---2-=—2=7,

・•・EH=EG-3=4,

则48的中点到y轴的距离等于4.

故选：D.

设48的中点为E,过4、E、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、G、D,如图所示，由EF为直角梯

形的中位线及抛物线的定义求出EG,则E”=EG-1为所求.

本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质的应用，体现了数形结合的数学思想.

11.答案：C

解析：

本题考查双曲线的标准方程与几何性质，利用双曲线的离心率，确定几何量之间的关系是解题的关

键，属于基础题.

利用双曲线的离心率，确定几何量之间的关系，从而可求双曲线的渐近线方程.

解：••・双曲线冬一2=1（a>0,6>0）的离心率为2,

a2+b2.

■,•­=4）

・•・-=V3,

a

・••双曲线的渐近线方程是y=±V3x,

故选：C,

12.答案：A

解析：

本题考查了双曲线的定义与性质，属于基础题.

求出|4&|,\AF2\,根据三点位置关系列出不等式得出e的范围.

解：由双曲线的定义可知|4尸1|一|4尸2|=20又2|4&|-3|4Fz|=Q,

•••\AFr\=5a,\AF2\=3a,

又IF1F2I=2c,・••8aN2c,即eW4,

又e>1,A1<e<4.

故选：A.

13.答案:10

解析：解：-CB=（DA-^-AE）-CB=DA-CB-^-AE-CB=\DA\2=

・・,点E是48边上的动点，,,・设荏=4四，XG[0,1],

.•.屁•正=（荏-而）•（而+而）=（AAB-而）•须+而）=AAB+（A-1）ABAD-

=2+0-1-在％6[0,1]上单调递增，

.•・当，=1时，笳.尼取得最大值，为0.

故答案为：1;0.

把说=DA+荏代入屁.请,再结合平面向量数量积的运算法则，即可得解;设荏=XAB，ke[0,1],

可得笳,前=4-1，结合单调性，得解.

本题考查平面向量在几何中的应用，熟练掌握平面向量的线性，数量积的运算法则是解题的关键，

考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

14.答案：2

解析：解:抛物线y2=8x的焦点坐标F(2,0),

•••双曲线上一点马-写=1的有共同的焦点凡

a2b2

・•・c=2,即M4-62=4,

・・・P到焦点广的距离为5,

\PF\=&+.=Xo+2=5,

**»%Q=3,二y。—24,

仁一上=1

]a2b2,

la2+川=4

a2=1,b2~3,

e=-=2,

a

故答案为：2

求出抛物线的焦点坐标，确定双曲线的c=2,结合抛物线的定义建立方程进行求解即可.

本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的关系求出a,b,c是解决本题的关键，属

于中档题.

15.答案：出

3

解析：解：•・・双曲线《一《=1(。>0/>())一条渐近线与工轴的夹角为30。，

，

-a=tan30°=—3

•.・。=:6币=乎

故答案为：运.

3

由双曲线圣一5=l(a>0,b>0)一的一条渐近线与x轴的夹角为30。，可得"tan3(T=净利用

e=：=转化求出双曲线的离心率.

本题考查了双曲线的几何性质，由渐近线的斜率推导双曲线的离心率是解决本题的关键.

16.答案：土弓，.争

解析：

本题考查了平面的法向量，属于基础题.

令平面4BC的法向量为记=(”,z),可得件亚=°,解得即可.

(九・4C=0

解：三点4(1,0,0),5(0,1,0),C(0,0,l)

AB=(-1,1,0)>AC=(-1,0,1)

令平面ABC的法向量为7=(x,y,z)，可得n-AB=0

n-4C=0

即｛工；

%=y=Z,

・・・平面4BC的法向量蔡=(%,y,z)为单位法向量，

・•・%24-y24-z2=1,

解得％=y=z=土号，

故平面ABC的单位法向量是±(半用片).

故答案为：土(L务

17.答案：解：(1)证明：rAB是圆。的直径,

AC1BC,

又。Cl平面4BC,BCu平面ACD,

DC1BC,

又4CDDC=D,

4Cu平面AC。，DCu平面AC。，

BC_L平面4CD；

又四边形C8ED为矩形，

BC//ED,

EDJL平面4m

(2)解:由(1)知，

V三极锥JADE-V三楂锥E—ACD

1

二，DE

11

=­•—•AC•CD-DE

32

=--71C-FC<—•(71C2+BC2)=--/IB2=-x42=-,

6121J12123

当且仅当4c=BC=2迎时等号成立；

・•・当4C=BC=2&时，三棱锥C-ADE的体积最大，为土

此时，AD=卜2+(2a)2=3,

S»ADE=\-AD-DE=342,

设点C到平面ADE的距离为九，则

V三棱锥C-ADE=5-SMDE,九=]

；•八=g+Gx3V2)=苧.

解析：(1)先证明8C_L平面4c0,再由BC〃ED,得出E01平面4C0；

(2)由U三梭锥C_4DE=V：,楂触-ACD，利用基本不等式求出三棱锥C-4DE体积的最大值，再利用三棱

锥的体积公式计算点C到平面的距离.

本题考查了空间中的平行与垂直关系的应用问题，也考查了锥体体积的计算问题，是综合性题目.

18.答案：解:(1)设M的坐标为(%,y),P的坐标为

由|MD|=g|PD|,解得：,=5

V4，

•・・P在圆上，

・•,x'2+y，2=25,即/+(：y)2=25,整理得：—+—=1,

'、4”2516

即C的方程为：-+—=1.■

2516

(2)过点(3,0),斜率为k=泉的直线方程为：y=|(%-3),

设直线与C的交点为4(%,yi),B(X2，%)，

将直线方程丫=((尤一3)代入。的方程，得||+任券=1,整理得：x2-3x-8=0

,由韦达定理可知：%1+%2=3，%・％2=—8,

2J1+(乎­-2+32=肾41=Y-

，线段4B的长度为|/1B|=Vl+k\x2—%i|

线段的长度IABI=£

A(xr=X

解析：(1)由题意可知：M的坐标为。,y),P的坐标为则|MD|=$PD|,解得：

5(7-尸

代入x'2+y，2=25,整理得：江+g=1；

,2516

(2)设直线方程为：y=式刀-3),代入椭圆方程，由韦达定理可知：X1+X2=3,巧・小=-8，弦

长公式：IABI=VlT^-y/(x1+x2y-4x1x2,即可求得直线被C所截线段的长度.

本题考查点的轨迹方程的求法，椭圆的标准方程的应用，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，

弦长公式的应用，考查计算能力，属于中档题.

19.答案：解:(1)证明:设点%)，B(x2,y2),P(b,—2),

过点4P的直线方程为*y+yi)=x-xi，同理过点8,P的直线

方程为3y+y2)=》•上，

因为点P是两切线的交点，

所以|(y-2)=bx,即y=2bx+2恒过(0,2).

(2)解：设直线48为旷=依+2(4=26),与抛物线方程联立得%2一H一2=0,

其中△>0,=-2,+小=k,

因为M(2,l)在48为直径的圆上，所以拓？•丽=0，

即(%1-2,%一1)(%2-2,y2-1)=0<=>(%i-2)(%2—2)+(%—1)(丫2—1)=0=—2)(不一

2)