2023年黑龙江省黑河市统招专升本数学自考真题(含答案带解析)

2023年黑龙江省黑河市统招专升本数学自

考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

四阶行列式第:行的儿素依次为L25.3,对应的余/式的值依次为4.329.

则该行列式的俏为《兀

A.35B.7C.-7D.-35

2.

.点(0,1)是曲线y=二+林2+。的拐点，则()

A.6=0=1B.b=-1,c=0

C.6=1,c=1D.b=-1,c=1

3.

已知/'(0)7（0）='且/（o）=g（0）,则lim』①一小一立=（)

丁・0JC

A.a-bB.2a+bC,a+bD.b-a

4.

H-l

极限㈣年f）()

A.eTB.C.eD.e7

5.

).则d之|=

设之=ln/l+-()

\.V）\（1.1）

A.d、r+dyB.2d、T+2dy

c.ydj--ydj>D.-ydj'+-ydy

6.

/G)=lg(x-1)+J^2-3x+2的定义域为()

A.(2,4-00)B.[2,4-00)c.(1,2)D.(-oo,l]

7.

.设/'(lor)=1+x.fiijjf(2x)dx

)

1+e8l-e!D.-9

A.B.

224

8.

・函数y=/(])由方程r+lnw=1确定,则该曲线在点(1,1)处的切线方程为

()

A.y+2H—3=0B.y+2x+3=0

C.2y+n-3=0D.2y+jt+3=0

9.

()

吁\ll-1/

A.e-B.e3C.e2D.e：i

10.

设J/DdLr=F(H)+C,则jz/XoiJ+b〉di=()

A.F<ar2+M+CB.^F(ar2+6)

C.jF(ar:+i)-FCD.^F(az2+A)+C

11.

,设2=y（xj）有二阶偏导数，则（)

Ad2f_d2fR/

D.9s

dxdydydxdxdydydx

业d2f》/d2fd2f

C.z在（x,y）处可微nD.当——,一人连续时，一—=—―

dxdydydxdxdydydx

12.

dzdz.

若z=lnQy),(x>0,y>0),则x二—y--()

oxoy

A.xB.xyC.x+yD.0

13.

・设1/(r)dz=zc"/.则/Q.)=()

A.B.(.r—1)e^C.(x+2)e"D.2?

14.

ysin.(1-

™(*-1产1+2)()

AD

-fC.Of

15.

曲线zy=1在点(/，2)处的法线方程为()

A.21一8y+15=0B.2%+8了+15=0

C.2JC—8y—15=0D.2xH-8y—15=0

16.

设/(£)在［0•瓦I上连续•则由曲线y=/(7)与直线①=a•7=b,y=0所围成平面

图形的面积为()

A.Jf(.r)d.rB.|j,f(x)d.r|

C.Pl/(.r)|dxD.|/(Z()-/(a)|(A-a)

17.

.fidj-=()

J-lX

A.OB.2

C.一2D.以上都不对

18.

设八=ln(l=则以下.结论成立的是（）

A.I><I：B.L>It

C.I\—ItD.J,与h的大小不能磷定

微分方程tanx更一》=0的通解为（)

19.★

20.

・函数z=八3）在点"皿处有两个偏导数窈和方存在，则它在点Q…）处

)

A.连续B.可微C.不一定连续D.一定不连续

21.

已知函数/（彳）=cos.r在闭区间［0,2肩上满足罗尔定理,那么在开区间（0,2丸）内使

得等式/（§）=。成立的《值是)

A工B.KC.0D.27r

2

22.

.下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是

A兀兀五R71兀兀

A•了丁石~2

7T

（、n兀兀D

T'l''牙-fTT

23.

设义了）为奇函数，则FCz）=/（彳）（2，+2］）为

A.偶函数B.奇函数

C.非奇非偶函数D.无法判定奇偶性

24.

12]

设矩阵A=，贝!IIA1|=)

34

A-TB-C.1D.一1

25.

设，(X)=X(2X-1)(2X+1),X€(-OO,+8),则以下命题正确的是()

A./(%)为奇函数B./(x)为偶函数

C.7(x)为有界函数D./(x)既非奇函数又非偶函数

26.

函数/'(X)在1处有定义是/(J-)在1处极限存在的()

A.必要条件B.充分条件

C.充要条件D.无关条件

27.

下列结论不正确的是()

A-20>)d，)=〃x)„riXCOSX.c

B.------dx=0

1+x2

C.£cos2xdx=0D.=/(x)-〃a)

28.

sin』d?

.lim——j----=()

J-*0x

A.0B.8

C—D-1

3

29.

当“一。时，下列无穷小量中阶数最高的是(

A,'B.1—cos.rC.yl—.r—1D.sin.r-tan.r

30.

.设/⑺具有二阶连续导数/⑵=°,阴刍^=-2,则一定成立的是()

A./(2)是/(x)的极大值B./(2)是/(i)的极小值

C.(2,/(2))是曲线的拐点D.1=2不是曲线的极值点

二、填空题（20题）

31.

设L是单连通区域D的边界，取负向，O的面积为A,则的心+3曲=

(2—1]

已知A=.则A।=

32.

设/'<x<v)=b*§in(w+2v),贝i]f；/°

33.I

,121

若A।=a11A|=-1•则a=

232

35.flJl+/d/=

36设函数f（-r）的一个原函数为sin2.r.则山-

37设曲线L：.r4-y=4,则对弧长的曲线积分+）?+1）*=

设/"）=%（】—»二则八必=

积分(jrcosjr+1sin#|)d#=

40设—1)(a*—2)(.r—3)(1—4),则f(4)=

41.

设一平面经过原点及点（6,—3.2）且与平面4.r—y+2z=8垂直，则此平面

方程为

设/（Z）是可导函数，则（"7）心）=

43.

eJ+1.<0.

已知函数/(.，)=<卜'"一°,在/=0处连续•则常数4=

ln(14-2J-)、八

-----------------------------.T>{)

微分方程坐=2Q的通解为

44.此

当T-*0时./1])与1—cosj-等价，则lim』).=

45.J)jsin.r

m点M(3,2.—1)到平面i+y+之一1=0的距离为

40.

sin—

J1+COS2J

47.

48过点（3.2.一2）且与平面3?+2y—z—5=。垂直的直线方程为

3'

(1,2,3)2=

50函数.V-In?+aresin才的定义域为

三、计算题（15题）

5］设y-xyll-x2+arcsinx,求y'.

52.

某工厂生产某种产品需两种原料为、B,且产品的产量z与所需4原料数x及3原

料数歹的关系式为z=/+89+7必.已知4原料的单价为1万元/吨，8原料的单价为

2万元/吨，现有100万元，如何购置原料才能使该产品的产量最大？

计算不定积分I=\才+叫一明工

J厂

53.

54.

已知函数y=/（工）是一阶微分方程半=＞满足y（0）=1的特解，求二阶常系数非齐

次线性微分方程y"—3y'+2y=/（工）的通解.

55.

设函数z=八其中函数/具有二阶连续偏导数，求薪.

56.

设函数厂，⑴由方程尸=1+）所确定,求‘

z=0

计算不定积分^e2xd.r.

57.J

<Q求曲线>=（］一1）疗的凹凸区间及拐点.

JO.

59.

计算『e3dzdy,其中D是由.y=1,》=x,y=2,x=0所围成的闭区域.

D

60求微分方程2/+y'-y=3e，的通解.

61.

求微分方程）'一3=Be?，满足初始条件.y=1"/=4的特解.

1=01=0

求不定积分|#cos（.zI2）dz.

62.J

求定积分此

64.

计算一重积分I=g（.r，—3丫）<17<13.其中D=IJT-+V

将函数/Cr）=£一展开成麦克劳林级数.

65.3S

四、证明题（10题）

设0VaW〃•证明不等式勺必《In也忘

66.卜aa

67.

设a>A>0,〃>1,证明：面广1（。一6）<&"一<,ia^l（a-b）.

证明：当0Vx<1时.（i—2）ln（l—工）>2x.

68.

0当时，证明sxlnx>彳-1.

70.

设f（.r）在［―a，”［上连续（“>0,为常数）.证明|/（.r）d.r=［［/（x）+/（—x）］dz.

J-QJ0

TCOSJC

并计算

T]+「

71.

设/（工）在［-a,a］上连续（a>0,为常数），证明|/（,r）d.r=|［/（.r）+/（—x）］dj-.

J—QJ0

并计算COSJ'

J—T1+e-

72当/>1时，证明：xlnr>J--1.

73.

证明不等式：当a>b>e时，2.71828).

aInab

74.

设/(x)在区间[a,瓦|上连续，在(a,〃)上可导，且/(a)=f(b)=0.

证明：至少一点SG(a.b)使八£)+2&⑷=0.

75.

设/(X)二阶可导，且满足方程/*(x)+f(x)-2/(x)=0.若/(a)=f(b)=0,求

证：Vxe[a,Z>],/(x)s0.

五、应用题(10题)

76.

求曲线y=Inj'在区间(2,6)内的一点，使该点的切线与直线/=2,1=6以及

y=Ini'所围成的平面图形面积最小.

77.

求曲线丁=\nx在区间(2,6)内的一点，使该点的切线与直线x=2,0：=6以及

y=Imr所围成的平面图形面积最小.

“某产品总成本C为月产量1的函数：

/O.

C(.r)=0.25/+6.r+100(元).

产品销量价格为力•需求函数为7=彳(力)=10()—2p.

(1)求当①=10时的总成本和边际成本。

(2)求总收入函数，当价格p为多少时总收入最大？最大收入是多少？

79.

求抛物线厂*将圆¥+了=8分割后形成的两部分的面机

z

求二元函数=J（2+1yz）+ylny的极值.

80.

81.

已知曲线丁=a6（a>0）与曲线y=InJF在点（人,）。）处有公切线,试求:

（1）常数。和切点（死,刈）；

（2）两曲线与x轴围成的平面图形的面积5.

82.

建筑一个容积为8000n?,深为6m的长方体形无盖蓄水池,池壁的造价为a元/n?,

池底的造价为2a元/n?,问蓄水池底面的边长各为多少时,总造价最低？

83.

某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，每多生产一吨该产品，成本增加5万

元，该产品的边际收益函数为必（。）=10-0.02。，其中Q（单位：吨）为产量.

试求：（1）该产品的边际成本函数；

（2）该产品的总收入函数；

（3）。为多少时，该厂总利润L最大？最大利润是多少？

84.

平面图形由抛物线式=2工与该曲线在点（；，1）处的法线围成.试求：

（1）该平面图形的面积；

（2）该平面图形绕工轴旋转一周形成的旋转体体积.

”某产品的成本函数：

屋/)=+6,r+100(JE/件)

J

销售价格与产品的函数关系为:①=—32+138

(1)求总收入函数RQ);

(2)求总利润函数L(.r)；

(3)为使利润最大化，应销售多少产品？

(4)最大利润是多少？

六、综合题(2题)

O,常数a和切点(加，y。);

oO.

87.

设W(.r)是定义在(-8,+8)上的连续函数，且满足方程［，3八山=1-y>(jr).

(1)求函数*Q)的解析式;

ry(x)—1

二了ro,

(2)讨论函数八工)=<在工=。处的连续性与可导性.

1

x=0

一~v

参考答案

1.B

2.A

【精析】y-3/+2&r・『=6w+2A•当①=0时=26=0,则。=0,又曲线过

点(0,1),即c=晨本题选A.

3.C

/(①)一/(0),g(一①)一g(0)

lim".一以一"二hm

2--0j-*0彳-0-x—0

g(一①)—g(0)

+lim

J--o①一0x-01—0

=/f(0)+gf(0)=a+〃，

网却「=!吗12、竽♦岛

【精析】十E

4.C

5.C

L答案」

1

【精析】d之—di—=dv}•所以dzJdi--yclv.故选C・

1J—y旷'/(hD

V

6.B

7.A

【答案］A

【精析】令Irur=f.则1=e，.从而f(Z)=1+e*=1+e”.

2

故jf(2x)dx=J(1+e^)dr=(1+=。1.故选A.

oL

8.A

【精析】由xy+lirr=1得y=—*—三,切线斜率为k=』|(p)=—2.

所以切线方程为y—1=—2(w—1)即y+2i—3=0,故应选A.

［答案］B

(Hl)-：＜n

“一2、〃3、

【精析】lim，呵5m叩-HTi

3「小淌

e.吁.—3u

9.B

10.D

［答案1D

2J:

【精析】ax1+6)cLrar+6)d(ar+6)=^-F(a,r+6)+C.

ll.D

D【评注】选项D是关于二阶混合偏导数的一个定理的表述，故选D.

D

【评注】包=2,，

12.Doxxyxdyxyy

13.A

方程两边对i求导，得/(2+.r)=c?”+彳/+/.所以/(1)=c，+(①一2)1,

=e'+c*+(.r—2)c，=xeJ.

14.A

sin2(l-j)_..(1一—¥A

【精析】=!呷+=5,故应选-

Q-l)2(.r+2)―黑(j-l)2(.r+2)

15.A

【精析】方程7〉=1两边对x求导得y+和'=0,将6，2)代入得“=-4,所求的

法线方程为y=9)+2•即2H—8y—15=0,故应选A.

由定积分的几何意义可知本题选c.

16.C

17.D

［答案］D

【精析】「4dl=「之"+「泉2=-工°--'•积分值不存在.故应选D.

J-1XJ-1XJ0XX-1X0

18.A

【解析】当/+/41时，ln(l+M+y?)V，卜故选A.

19.C

C

【评注】变量分离方程求解tanx孚-y=0,可化为,©，二型土由：，两边积分得

dxysinx

ln|R=ln|sinx|+C),y=Csinx.

20.C

【精析】偏导数存在不一定连续，只有存在连续的偏导数时•函数可微，进而连续，故

应选C.

21.B

［答案］B

【精析】f(.r)=COSK,/"Q)=—siru、，令/'(1)=—sin.r=0,0V.rV2兀，可得

JC=冗•HR£=7C.

22.D

由于方向角a•0，7必须满足cos2a+cos2/?+cos2y=1•可以验证只有D

项正确.

23.B

24.B

L答案」B

121

【精析】|A|-1X4-2X3--2.所以1ATI—］A广】一

342

25.A

【评注】〃x）=x（4,一1）户为奇函数，4x2-1为偶函数，所以/a）=x（4/-i）为奇

函数.

26.D

L答案」D

【精析】函数在某•点处有定义与函数在该点处有极限是无美的.举反例说明.例如.

1,121・

函数/（7）=1函数”7）在1=1处有定义.但在①=1处左右极限不同.

I-1,E<1.

故极限不存在；又例如函数g（工）h:——在1=0处没有定义.但g（］）却在才=0处有

极限.故应选D.

27.D

sln/2dz］

【精析】limg一一=lim学=2=4.故应选D.

28.D10z—00.广3

29.D

［答案］D

r

【精析】当.r-0时,1-cos.r〜­^■上？・\/1--—1〜--^-.rtsin.r-tan.i'=

sirtN1-ccy)寺丁.故选项D中的无穷小量的阶数是最高的.

cos.r

30.A

［答案］A

【精析】lim/(心=一2V().知当①一2时，/V0,即在z=2的某去心

邻域内有/“(］)＜。，又/(2)=0,所以/(2)是/(l)的极大值•故应选A.

31.

2A

.2A

【评注】由格林公式，15jdx-i-3xdy==24

L

注：本题考查格林公式及其应用.

32.

3”

52

31

［答案］

52

2-13131

【精析】=6-5=1•A*.贝I」A-=

35252

33.0

7穴

【精析】由于八0・N)sin2y•则/：(0.y)=2cos2.y.所以COS—0.

34.2

［答案12

121121

11

【精析】IAa11=a11=(-1)(-iy2=1-a=

a1

2320-10

］

MJ—1•故a=2.

35.

［答案］

【精析】yr+Fd/=yi+cj-2)3.(.r2)f=

36.

cos4.r+C

［答案］cos4.r+C

【精析】pJ(2.r)d.r=yj/(2.r)d(2.r)=y/(2.r)+C.

又因为函数/(.r)的一个原函数为sin2.r,即/(l)=(5in2.r)，=2cos2r.

fJJ(.2.r)d.r=/(2,r)+C=co»4.r+

J4

37.

207t

【精析】令彳=2cost,y=2sim.0&£427c■则中(/十/十l)ds=J(4cos"+4sin?r

+1)•2sin/)i+(2cos/)2d/=|10d/=20K.

38.

《Hm(l—三尸=lim(l-三)一"2=e-J故/(ln2)=

2LRHflL

39.4

【精析】在上，/cos.r是奇函数，|sin.r|是偶函数.所以由定积分在对称区间

*K、'n

上的性质可得(xcosz+|siruI)dz=|sinx|dr=2sinxdz=4.

~nJfJ0

40.

4!

［答案14!

【精析】In/(①)=In+In(d一1)+ln(i—2)+ln(j'—3)+ln(.r—4),

f0—1I1I1I1I1.

f(x)①JC-1jr-2.r-37一4,

/'(］)=/-H-----rH--------H----------d----------r\

\JCx—1JC—2JC—3.r—4}

=△^+小=+小二+以久+工(1-1)(2—2)(才-3),

XJC-1X-LJC-3

即Z(4)=O+O+O+O+4・3・2・1=4!.

41.

2i+2y—3z=0.

【精析】设所求平面为〃，由题设得：

向量(6,—3,2)//口，向量(4.一1,2)//〃，

则“0=(4.-1.2)X(6,-3,2)为平面〃的一个法向量.即

iJk

〃。=4-12=4i+4j-6A.

6-32

由于平面〃过原点.得平面n的点法式方程为

2(H—0)+2(j—0)—3(z—0)=0.

即得平面II的方程为2JC+2.y—3z=0.

42.

f(T)【精析】(=f(T).

43.2

【精析】lim/C_r)=lim(erI1)=2,lim/(.r)=lim~=lim—2/0)

k.函数fCJ)在/=0处连续・；・/数)=lim〜+/Cr)=li—m-/Cr)，故k

44.

y=Ce"

【精析】将方程分离变量，得⑥=2工也.两边积分得In|yI=三十G,所以yCe).

V

45.

~2

【精析】由题意可知，/(.「)与1—COSJ-等价，则

J-2

../(X)..1—CO5K2

lim―—r—=hm----：----=lim-----

LQxsina'LO1rsiru、才•①

46.

|3+2-1-1

厂距离d=

712+12+12

47.

-arctanfco&r)+(

--edr=——-------5―d(cos.r)=­arctan(coski)+C

J1+COS1J1+COSX

48.

j-3__y-2_n+2

3T~~-1

［答窠J中=中=安

6Z-1

【精析】由题可知直线的方向向量为$={3.2.—“，又直线过点(3.2.—2).故直线方

程为三限=J'2=z十2

2-1,

(3]

【精析】(1,2,3)2=10.

49.10

50.

(0,10

,.r>0,

【精析】由题意R故原函数的定义域为(0.1」.

1-1<.r<1,

51.

解：y=1-Ji-，+x.一尸-+.，=■=-■-X-{..+!=2J1-X，.

52.

解：依题意，有x+2y=100,BPx=100-2j,代入z=x?+8盯+7/,整

理得z=10000+400y-5广上式对_y求导，有曲•=-10y+400,令业■=()得

dydy

2

dz

y=40.又—7=-10<0,知产量z在y=40时取最大值.由y=40,得x=20,故

dy

购置4原料20吨、B原料40吨能使产量戢大.

53.

【精析】/=-da'+的a（k

=In|xI----ln(l-x)

jrT1—J*

=Inx|——ln(1—z)一/-----L---l(Lr

xJ\xI—JC)

=In|j|——ln(1———In|JC|十ln(l-x)十C

=(1-5)ln(1—ar)-C.

54.

【精析】由孚=）得L）=（dx=>ln|y==Ce，，由y（0）

dxyJyJ

=1得。=1,所以N=e\即/-3/+2y=e，,特征方程为r-3r+2=0,特征

根为2=1•/2=2.故齐次方程的通解为丫=（；1+。20匕2=1是特征方程的单根.

故令特解为V=山4©。（/）'=A/+zA/•（y如）〃=八^+八/+立1^,代人原方

程得一Aez=k,故A=—1.

所以非齐次方程的通解为y=Ger+C"“-ze'.

55.

【精析】=cosjf/i+2.r/\•

□2,

1=cosx/*,,•(—2y)+2工『SJ•(―2y)――2)coszf躇—4g/

fljcdy

56.

【箭】方程2嗅"对捌］耦群到得的醐福

M二叶虫才也二

翻得/ln2+刎n2,

心Alix1-冽优

当E眯人就舸引二1,晒二兽呆ln2-l

drEi1-濯ln2

57.

58.

【精析】函数的定义域是（-8,+8）,且

4T=2(5.r+D2(5.r+1)

9、969j,

当El----^时.>"=0.当xz=0时不存在.故以J'l----和及=0将定义域分

OO

成三个部分区间，并列表讨论如下:

(0,+8)

X~T（-春。）0

n

y一0+不存在+

v=/<-r>n有拐点u无拐点U

所以.在（一8,一内曲线是凸的，在（一+8）内曲线是凹的.曲线的拐点

为（一卜一5jjj，

59.

【精析】积分区域如图所示.

第17题图

田(Lrdy=Je于dr=]yet

D

—(e—1)•-^-j2

Zi

2,

60.

【精析】对应齐次方程的特征方程为2炉+2一1=0.特征根为猫=-EA2=5,所

以原方程对应齐次方程的通解为W=Cie^+C2e^，G，C2为任意常数.

设》=Ae，为方程特解.代入方程得2Ae，+Ae，—Ae>=3eL即A=

故原方程的通解为.y=Ge:+C?e9+,e'，其中G，G为任意常数.

61.

【精析】特征方程/—1=0,厂1.2=±1，

对应齐次方程的通解为3=Ge，+Ger,

求出其一个特解为y，=e。，

其通解为：y=Ge^+Ge^+e2-,

由3=1得G+(、2+1=1，

JT=O

Jx

y=Cje—C2e~+2e”,

由y'=4得Ci—C'z+2=4,

i=0

解出G=1,C2=-1,

满足初始条件的特解为丁=e，-+e2\

62.

Ij;cos(jr4-2)di=idsinQ，+2)=1rsin(z+2)—|sin(j?+2)d1r

=jtsinCx+2)+cos(J-+2)+C.

63.

arccosxd(，1—7)

Jo

1

=一arccosx•/］一,.|•产

一①2

=_4+三_@=包一在

1222122,

64.

【精析】由于积分区域D关于工轴对称，且3y是关丁y的奇函数,故(3y(bd3，=0,

［一工464工.

区域D可用极坐标表示为12、、2所以

10(r*4a•

=fd8(r•rdr=2「dgfHdr=-7-a1.

(.r+y2)dwdy

J-4JoJoJo4

D

65.

f)B(IfH1)

3

=S.21"<IrI<3).

IJ

66.

67.

【证明】设/(I)=］",

显然/(1)在闭区间［/)，"］上连续，在开区间(。，〃)内可导.

由拉格朗日中值定理得，

在(4.a)内至少存在一点W，

使得/(。)一/</>)=/'(£)(4-6),

Hn

即a—b=成i(a—〃)，

又因为IL<1fl<ql,

所以滴I(a—/力<an-bn<必I(a

68.

【证明】令/(jr)=(x2)ln(1jr)2x,=ln(lx)1—

jr-1

/'(•r)=—^+T当0<工<1时,>0.

所以.f'O)在04才<1内单调递增.又/(0)=0,所以/(J-)>0,

故/(工)单调递增,又因为八0)=0,所以当0〈才〈1时，/(Z)>0,

即当0VHV1时，(*2)ln(l>2x.

69.

【证明】令/(7)=川117—1+1,在［1,+8)上连续.则，(了)=Inj-［1—1=Inx,

当1时,/(1)>0.故函数/(-r)在(1.+8)上单调增加.且/(I)=0,

因此在工>1时>/(I)=0.即j,lnjr>工—1.

70.

【证明】因/<])=)"(])+/(-.r)]+

而9/1)―/(—①)]是奇函数』[/(①)+/(—J-)]是偶函数，

w乙

故i—/(—=0,

J-uL

所以，/(①)cLr=214[/(7)+/(—J)]cLr=f[/(/)+/(—jr)[d];

Jo4-Jo

COSJTi「千「cos.r.cos(-i)=trc^cosj'.cos①「

,=Jo[r+^+=L[i+F+T+7],

「A.q&

<=coszcLr=sin.r=丁.

Jo02

71.

【证明】因f(x)=4*)(①)+/(--r)]+—/(一m)].

而白/⑺一八一小是奇函数.9/(①)+/(—1才是偶函数，

故IJ1/")一/(—=0,

所以]f(.r)dx=2