2019年湖北省孝感市中考数学试卷（解析版）

2019年湖北省孝感市中考数学试卷

一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）（2019•孝感）计算79+20等于（）

A.-39B.-1C.1D.39

【考点】19：有理数的加法.

【专题】511：实数.

【分析】直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案.

【解答】解：-19+20=1.

故选：C.

【点评】此题主要考查了有理数的加减运算，正确掌握运算法则是解题关键.

2.（3分）（2019•孝感）如图，直线八〃/2,直线/3与/1,/2分别交于点A,C,BCL3交h

于点2,若Nl=70°,则N2的度数为（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【考点】J3：垂线；JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】根据平行线的性质和垂直的定义解答即可.

【解答】解：：八〃/2,

：.Z1=ZCAB=7Q°,

,:BCLh交h于点B,

：.ZACB=90°,

.,.Z2=18O0-90°-70°=20°,

故选：B.

【点评】此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答.

3.（3分）（2019•孝感）下列立体图形中，左视图是圆的是（）

A.B.

【考点】UI：简单几何体的三视图.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】左视图是从物体左面看，所得到的图形.

【解答】解：4圆锥的左视图是等腰三角形，故此选项不合题意；

8、圆柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；

C、三棱柱的左视图是矩形，故此选项不合题意；

。、球的左视图是圆形，故此选项符合题意；

故选：D.

【点评】本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键.注意所有的看到的棱都应表

现在三视图中.

4.（3分）（2019•孝感）下列说法错误的是（）

A.在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件

B.一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数

C.方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越小；方差越小，波动越大

D.全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式

【考点】01：命题与定理；V2：全面调查与抽样调查；W5：众数；W7：方差；XI：随

机事件.

【专题】541：数据的收集与整理；543：概率及其应用.

【分析】分别根据随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查方式判断即可.

【解答】解：A.在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，正确，故

选项A不合题意；

B.一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数，正确，故选项2不合题意；

c.方差可以刻画数据的波动程度，方差越大，波动越大；方差越小，波动越小.故选项

C符合题意；

D.全面调查和抽样调查是收集数据的两种方式，正确，故选项。不合题意.

故选：C.

【点评】本题主要考查了随机事件的定义、众数的定义、方差的意义以及调查的方式，

属于基础题.

5.（3分）（2019•孝感）下列计算正确的是（）

A.B.（xy2）2—xy4

C.D.（5/a-=b-a

【考点】46：同底数幕的乘法；47：幕的乘方与积的乘方；48：同底数幕的除法；79：

二次根式的混合运算.

【专题】11：计算题；512：整式；514：二次根式.

【分析】根据同底数幕的除法法则判断A;根据积的乘方法则判断8;根据同底数幕的乘

法法则判断C；根据平方差公式以及二次根式的性质判断。.

【解答】解：A、x7-?=x2,故本选项正确；

B、（盯2）2=%2/,故本选项错误；

C、X2•无5=无7,故本选项错误；

D、（Va+Vb）（JI-\兀）=a-b,故本选项错误；

故选：A.

【点评】本题考查了二次根式的运算，整式的运算，掌握同底数幕的乘除法法则、积的

乘方法则、平方差公式以及二次根式的性质是解题的关键.

6.（3分）（2019•孝感）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们

把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力X阻力臂=动力X动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石

头，已知阻力和阻力臂分别是1200N和05小则动力F（单位：N）关于动力臂I（单位:

机）的函数解析式正确的是（）

A.尸=120°B.尸=^22.C.F=-^-D.F=A^.

1111

【考点】GA：反比例函数的应用.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】直接利用阻力X阻力臂=动力X动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式.

【解答】解：..•阻力X阻力臂=动力义动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力

和阻力臂分别是1200N和0.5〃2,

动力尸（单位：N）关于动力臂/（单位：m）的函数解析式为：1200X0.5=//,

贝I]/=更&L.

1

故选：B.

【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确读懂题意得出关系式是解题关键.

22

x+尸1,则x-2xy4?的值是（）

（2x+4y=92-2

xy

A.-5B.5C.-6D.6

【考点】98：解二元一次方程组.

【专题】521：一次方程（组）及应用.

【分析】解方程组求出x、y的值，再把所求式子化简后代入即可.

[x+尸1①

【解答】解:(2x+4y=9②

②-①X2得，2y=7,解得x=工，

把x1代入①得，5+y=i，解得尸々，

7_5

.x2-Zxy+y"—(x-y)2_x-y22

22--

x_y(x+y)(x-y)x+y1

故选：C.

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元

法与加减消元法.

8.（3分）（2019•孝感）如图，在平面直角坐标系中，将点P（2,3）绕原点。顺时针旋转

【考点】R7：坐标与图形变化-旋转.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】作PQ±y轴于Q,如图，把点P（2,3）绕原点0顺时针旋转90°得到点P'

看作把△。尸。绕原点。顺时针旋转90°得到△OP0,利用旋转的性质得到NP'Q'

。=90°,ZQOQ'=90°,P'Q'=尸。=2,OQ'=OQ=3,从而可确定P点的坐

标.

【解答】解：作PQLy轴于。，如图，

"：P（2,3）,

;点P（2,3）绕原点。顺时针旋转90°得到点P相当于把△OP。绕原点。顺时针旋

转90°得到△OP。，

/.ZP'Q'0=90°,ZQOQ'=90°,P'Q'=PQ=2,OQ'=OQ=3,

.•.点尸’的坐标为（3,-2）.

故选：D.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图

形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标.常见的是旋转特殊角度如：30。，45°,60°,

90°,180°.

9.（3分）（2019•孝感）一个装有进水管和出水管的空容器，从某时刻开始4"〃力内只进水

不出水，容器内存水8L；在随后的8祖讥内既进水又出水，容器内存水12L；接着关闭进

水管直到容器内的水放完.若每分钟进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位:

L）与时间无（单位：根近）之间的函数关系的图象大致的是（）

y/Ly/L

【考点】E6：函数的图象.

【专题】532：函数及其图像.

【分析】根据实际问题结合四个选项确定正确的答案即可.

【解答】解：：从某时刻开始4min内只进水不出水，容器内存水8L；

，此时容器内的水量随时间的增加而增加，

:随后的8min内既进水又出水，容器内存水12L,

此时水量继续增加，只是增速放缓，

..•接着关闭进水管直到容器内的水放完，

...水量逐渐减少为0,

综上，A选项符合，

故选：A.

【点评】本题考查了函数的图象的知识，解题的关键是能够将实际问题与函数的图象有

机的结合起来，难度不大.

10.（3分）（2019•孝感）如图，正方形A8CD中，点£、尸分别在边CD,AD±,BE与

b交于点G.若BC=4,DE=AF=1,则GP的长为（）

A.AlB.Ilc.D』

5555

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.

【专题】556：矩形菱形正方形.

【分析】证明△BCE四△CDF（SAS）,得NCBE=NDCF,所以/CGE=90°,根据等

角的余弦可得CG的长，可得结论.

【解答】解：正方形ABC。中，VBC=4,

：.BC=CD=AD=4,ZBCE=ZCDF=90°,

：.DF=CE=3,

；.BE=CF=5,

在△BCE和△CDF中，

'BC=CD

<NBCE=NCDF，

CE=DF

:.ABCEmLCDF(SAS),

：.ZCBE=ZDCF,

,：/CBE+/CEB=ZECG+ZCEB=90°=ZCGE,

cosZCBE^cosZECG^^-=^-,

BECE

•••4—CG，C-Cz一12，

535

；.GF=CF-CG=5-丝=叫，

55

故选：A.

【点评】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三

角函数，证明是解本题的关键.

二.细心填一填，试试自己的身手！(本大题6小题，每小题3分，共18分.请将结果直接

填写在答题卡相应位置上)

11.(3分)(2019•孝感)中国“神威•太湖之光”计算机最高运行速度为1250000000亿次

/秒，将数1250000000用科学记数法可表示为1.25义1。9.

【考点】II：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】科学记数法的表示形式为oXlO"的形式，其中n为整数.确定n

的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，”的绝对值与小数点移动的位数相

同.当原数绝对值大于10时，〃是正数；当原数的绝对值小于1时，”是负数.

【解答】解：将数1250000000用科学记数法可表示为L25X1()9.

故答案为：1.25义1()9.

【点评】此题考查了科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，

其中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及”的值.

12.（3分）（2019•孝感）方程」-=，一的解为尤=1.

2xx+3

【考点】B3：解分式方程.

【专题】11：计算题.

【分析】观察可得方程最简公分母为2x（尤+3）.去分母，转化为整式方程求解.结果要

检验.

【解答】解：两边同时乘2x（x+3）,得

x+3—4x,

解得x=\.

经检验尤=1是原分式方程的根.

【点评】解一个分式方程时，可按照“一去（去分母）、二解（解整式方程）、三检验（检

查求出的根是否是增根）”的步骤求出方程的解即可.注意：解分式方程时，最后一步的

验根很关键.

13.（3分）（2019•孝感）如图，在尸处利用测角仪测得某建筑物AB的顶端8点的仰角为

60°,点C的仰角为45°,点尸到建筑物的距离为尸£>=20米，则BC=（20直-20）

米.

【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.

【专题】55E：解直角三角形及其应用.

【分析】根据正切的定义求出2。，根据等腰直角三角形的性质求出CD,结合图形计算,

得到答案.

【解答】解：在RtZXPB。中，tan/8PO=^,

PD

则BD=PD*tan/BPD=20^,

在Rt/XPB。中，ZCP£）=45°,

:.CD=PD=20,

：.BC=BD-CD=2（h/3-20,

故答案为：（20«-20）.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟

记锐角三角函数的定义是解题的关键.

14.（3分）（2019•孝感）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分

住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A.小

于5天;A5天;C.6天;D7天），则扇形统计图8部分所对应的圆心角的度数是108°.

【专题】542：统计的应用.

【分析】先由A类别人数及其所占百分比求得总人数，再由各类别人数之和等于总人数

求出8类别人数，继而用360。乘以8类别人数占总人数的比例即可得.

【解答】解：,••被调查的总人数为9・15%=60（人），

类别人数为60-（9+21+12）=18（人），

则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是360°X迪=108°,

60

故答案为:108°.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;

扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.同时本题还考查了通过样本来估计总体.

15.（3分）（2019•孝感）刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家，他在《九章算术》中提出了

“割圆术”，利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆的内

接正十二边形的面积Si来近似估计。。的面积S,设的半径为1,则S-Si=0.14.

0

【考点】1O：数学常识；MM：正多边形和圆.

【专题】55B：正多边形与圆.

【分析】根据圆的面积公式得到的面积5=3.14,求得圆的内接正十二边形的面积Si

=12xixiXlXsin30°=3,即可得到结论.

2

【解答】解：的半径为1,

：.Q0的面积5=3.14,

圆的内接正十二边形的中心角为也一=30°,

12

圆的内接正十二边形的面积Si=12xLxi><lXsin30°=3,

2

...则s-Si=0.14,

故答案为：0.14.

【点评】本题考查了正多边形与圆，正确的求出正十二边形的面积是解题的关键.

16.(3分)(2019•孝感)如图，双曲线>=旦(x>0)经过矩形。1BC的顶点8,双曲线y

X

=K(尤>0)交AB,BC于点E、F,且与矩形的对角线02交于点D连接EE若OD：

【考点】G4：反比例函数的性质；G5：反比例函数系数k的几何意义；G6：反比例函数

图象上点的坐标特征.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】设。(2m,2〃)，根据题意A(3m,0),C(0,3〃)，B(3m,3九)，即可得出9

=3m・3"，k=2m,2n=4mn,解得mn=L由E(3m,—n),F(—m,3n),求得BE、

33

BF,然后根据三角形面积公式得到&5所=工5石・3尸=空加=空.

21818

【解答】解：设。(2m,2n),

*：0D：05=2：3,

.'.A(3m,0),C(0,3〃)，

.9.B(3m,3〃)，

:双曲线y=2(x>0)经过矩形。ABC的顶点2,

.*.9=3m*3H,

・・mn~~1,

:双曲线y=N(尤>0)经过点。，

X

••k=4mri

双曲线(x>0),

X

'.E(3m,—ri'),F(—m,3〃)，

33

4545

..BE=3n--n=-n,BF=3m--m=—m,

3333

/.SABEF=-BE*BF=-^-mn=-^-

21818

故答案为空.

18

【点评】本题考查了反比例系数k的几何意义和反比例函数图象上点的坐标特征、三角

形面积等，表示出各个点的坐标是解题的关键.

三、用心做一做，显显自己的能力！(本大题8小题，满分72分)

17.(6分)(2019•孝感)计算：|V3-II-2sin60°+(X)

【考点】2C：实数的运算；6F：负整数指数幕；T5：特殊角的三角函数值.

【专题】11：计算题；511：实数.

【分析】原式利用绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，负整数指数幕法则，以及

立方根定义计算即可求出值.

【解答】解：原式1-2x41+6-3=2.

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

18.（8分）（2019•孝感）如图，已知NC=/D=90°,8C与交于点E,AC=BD,求

【考点】KD：全等三角形的判定与性质.

【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】由HL证明RtAACB^RtABDA得出/ABC=N8A。，由等腰三角形的判定定

理即可得出结论.

【解答】证明：：/C=/O=90°,

,'.△ACB和△BD4是直角三角形，

在RtAACB和RtABDA中，

lAC=BD

.,.RtAACB^RtABDA（HL）,

：.NABC=/BAD,

：.AE=BE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角

形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键.

19.（7分）（2019•孝感）一个不透明的袋子中装有四个小球，上面分别标有数字-2,-1,

0,1,它们除了数字不同外，其它完全相同.

（1）随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是1.

一厂

（2）小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐

标;然后放回搅匀，接着小明从袋子中随机摸出一个小球,记下数字作为点M的纵坐标.如

图，已知四边形ABC。的四个顶点的坐标分别为A（-2,0）,B（0,-2）,C（1,0）,

。（0,1）,请用画树状图或列表法，求点M落在四边形ABC。所围成的部分内（含边界）

的概率.

【考点】X4：概率公式；X6：列表法与树状图法.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】(1)直接利用概率公式计算可得；

(2)列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得.

【解答】解：(1)在-2,-1,0,1中正数有1个，

•••摸出的球上面标的数字为正数的概率是

4

故答案为：1.

4

(2)列表如下:

-2-101

-2(-2,-2)(-1,-2)(0,-2)(1,-2)

-1(-2,-1)(-1,-1)(0,-1)(1,-1)

0(-2,0)(-1,0)(0,0)(1,0)

1(-2,1)(-1,1)(0,1)(1,1)

由表知，共有16种等可能结果，其中点M落在四边形ABC。所围成的部分内(含边界)

的有：

(-2,0)、(-1,-1)、(-1,0)、(0,-2)、(0,-1)、(0,0)、(0,1)、(1,0)

这8个，

所以点M落在四边形A8C。所围成的部分内(含边界)的概率为1.

2

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所

有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解

题时要注意此题是放回实验还是不放回实验.用到的知识点为：概率=所求情况数与总

情况数之比.

20.（8分）（2019•孝感）如图，RtAABC中，ZACB=90°,一同学利用直尺和圆规完成

如下操作：

①以点C为圆心，以为半径画弧，交A8于点G；分别以点G、8为圆心，以大于

的长为半径画弧，两弧交点K,作射线CK；

②以点B为圆心，以适当的长为半径画弧，交8C于点交A8的延长线于点N；分

别以点M、N为圆心，以大于LMN的长为半径画弧，两弧交于点P,作直线3尸交AC

的延长线于点Q,交射线CK于点E.

请你观察图形，根据操作结果解答下列问题；

（1）线段CD与CE的大小关系是CD=CE；

（2）过点D作。AB交A3的延长线于点R若AC=12,BC=5,求tanNOBF的值.

【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KF：角平分线的性质；N3：作图一复杂作图；

T7：解直角三角形.

【专题】13：作图题.

【分析】（1）由作图知CE_LA3,BD平分NCBF,据此得/1=/2=/3,结合NCE8+

N3=N2+/Cr>E=90°知从而得出答案；

（2）证ABCD丝ABFD得CD=DF,从而设。。=。尸=羽求出

知即一--=-^-,解之求得彳=>1^,结合可得答案.

ADAB12+x132

【解答】解：（1）CD=CE,

由作图知CEJ_AB,BD平分/CBF,

DL

.-.Z1=Z2=Z3,

VZCEB+Z3=Z2+ZCDE^9Q°,

：.ZCEB=ZCDE,

：.CD=CE,

故答案为：CD=CE；

(2);BO平分NCBF,BC.LCD,BFLDF,

:.BC=BF,ZCBD^ZFBD,

在△BC£>和△BFD中，

'/DCB=NDFB

NCBD=NFBD，

BD=BD

:ABCD名ABFD(AAS),

：.CD=DF,

设CD=DF=x,

A5=22=13,

在RtZ\AC8中，7AC+BC

AsmZDAF=^-=^~,即

ADAB12+x13

解得尤=独，

2

,:BC=BF=5,

：.tanZDBF=^-=^-xL=^..

BF252

【点评】本题主要考查作图-复杂作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的

垂线和角平分线的尺规作图及全等三角形的判定与性质等知识点.

21.(10分)(2019•孝感)已知关于x的一元二次方程7-2(a-1)尤+/-°-2=0有两个

不相等的实数根XI,XI.

(1)若。为正整数，求a的值；

(2)若XI,尤2满足婷+天22-彳1无2=16,求a的值.

【考点】AA：根的判别式；AB：根与系数的关系.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】(1)根据关于龙的一元二次方程W-2Co-1)。-2=0有两个不相等的

实数根，得到△=[f(a-1)]2-4(a2-a-2)>0,于是得到结论；

(2)根据Xl+X2=2(G-1),叱2=屋-。-2,代入月2+无22-幻光2=16,解方程即可得到

结论.

【解答】解：(1)•.•关于x的一元二次方程d-2(a-1)x+/-a-2=0有两个不相等

的实数根，

/.△=[-2(a-1)]2-4。-2)>0,

解得：a<3,

为正整数，

・・〃=1,2；

(2)Vxi+X2=2(6Z-1),%1%2=〃2-。-2,

Vxi+X2-X1X2=16,

(X1+X2)2-X1X2=16,

：.[-2(4-1)]2-3(〃2-〃-2)=16,

解得：ai=-1,及=6,

9：a<3,

・・a—■-1.

【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，先判断出a的取值

范围，再由根与系数的关系得出方程组是解答此题的关键.

22.(10分)(2019•孝感)为加快“智慧校园”建设，某市准备为试点学校采购一批A、B

两种型号的一体机.经过市场调查发现，今年每套8型一体机的价格比每套A型一体机

的价格多0.6万元，且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套2型一体机.

(1)求今年每套A型、8型一体机的价格各是多少万元？

(2)该市明年计划采购A型、8型一体机共1100套，考虑物价因素，预计明年每套A

型一体机的价格比今年上涨25%,每套8型一体机的价格不变，若购买8型一体机的总

费用不低于购买A型一体机的总费用，那么该市明年至少需要投入多少万元才能完成采

购计划？

【考点】9A：二元一次方程组的应用；C9：一元一次不等式的应用.

【专题】524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】（1）直接利用今年每套2型一体机的价格比每套A型一体机的价格多0.6万元，

且用960万元恰好能购买500套A型一体机和200套B型一体机，分别得出方程求出答

案；

（2）根据题意表示出总费用进而利用一次函数增减性得出答案.

【解答】解：（1）设今年每套A型一体机的价格为x万元，每套3型一体机的价格为y

万元，

由题意可得：（y-x=s6,

l500x+200y=960

解得：产L2,

ly=1.8

答：今年每套A型的价格各是1.2万元、B型一体机的价格是1.8万元；

（2）设该市明年购买A型一体机m套，则购买2型一体机（1100-%）套，

由题意可得：1.8（1100-m）21.2（1+25%）m,

解得：M1W600,

设明年需投入W万元，

W=1.2X（1+25%）〃什1.8（1100-m）

=-0.3m+1980,

・・・-0.3<0,

W随机的增大而减小，

•.加W600,

.,.当m=600时，卬有最小值-0.3X600+1980=1800,

故该市明年至少需投入1800万元才能完成采购计划.

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用、一次函数

的应用，正确找出等量关系是解题关键.

23.（10分）（2019•孝感）如图，点/是△A8C的内心，8/的延长线与△ABC的外接圆

交于点与AC交于点E,延长CQ、8A相交于点R/A。尸的平分线交AF于点G.

(1)求证：DG//CA-,

(2)求证：AD=ID；

(3)若。E=4,BE=5,求8/的长.

【考点】M5：圆周角定理；MA：三角形的外接圆与外心；MI：三角形的内切圆与内心.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】(1)根据三角形内心的性质得N2=N7,再利用圆内接四边形的性质得NA。尸

=AABC,则/1=/2,从而得到Nl=/3,则可判断。G〃AC；

(2)根据三角形内心的性质得N5=N6,然后证明N4=NZM/得到Z)A=。/；

(3)证明利用相似比得到AO=6,则。/=6,然后计算8。-。/即可.

【解答】(1)证明：•..点/是△ABC的内心，

；./2=/7,

G平分NAOF,

.*.Zl=XzAZ)F,

2

ZADF=ZABC,

・・・N1=N2,

VZ3=Z2,

・・・N1=N3,

：.DG//AC；

(2)证明：•・,点/是△ABC的内心，

N5=N6,

,.・N4=N7+N5=N3+N6,

即N4=NZM/,

：.DA=Dh

(3)解：：/3=N7,/ADE=/BAD,

:.△DXEs"DBA,

：.AD；DB=DE：DA,BPAD：9=4：AD,

：.AD=6,

；.DI=6,

：.BI=BD-DI=9-6=3.

【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；

三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了圆周角定理和三角形的外心.

24.（13分）（2019•孝感）如图1,在平面直角坐标系x°y中，已知抛物线>=办2-2依-

8a与x轴相交于A、8两点（点A在点8的左侧），与y轴交于点C（0,-4）.

（1）点A的坐标为（-2,0）,点B的坐标为（4,坐，线段AC的长为2近，

抛物线的解析式为尤-4.

2

（2）点尸是线段8C下方抛物线上的一个动点.

①如果在x轴上存在点°,使得以点8、C、P、。为顶点的四边形是平行四边形.求点

Q的坐标.

②如图2,过点尸作尸E〃C4交线段BC于点E,过点P作直线x=f交BC于点R交x

轴于点G,记PE=f,求/关于t的函数解析式；当f取机和4-工机（0<m<2）时，试

比较了的对应函数值力和力的大小.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】16：压轴题；31：数形结合；32：分类讨论；65：数据分析观念.

【分析】（1）由题意得：-8a=-4,故。=工，即可求解；

2

（2）分BC是平行四边形的一条边时、BC是平行四边形的对角线时，两种情况分别求

解即可.

（3）证明.•.g即：_EP_PH；则£尸=近？以，即可求解.

ACAB27563

【解答】解：（1）由题意得：-8a=-4,故

2

故抛物线的表达式为：-x-4,

-2

令y=0,贝!Jx=4或-2,即点A、8的坐标分别为（-2,0）、（4,0）,

则AC=2近,

故答案为；（-2,0）、（4,0）、2，^、y=-i-x2-x-4；

（2）①当BC是平行四边形的一条边时,

图1

如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点8,

设：点尸（%工"2-〃-4）,点。（优，0）,

2

则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q,

1

即：n+4—m,—n~9-n-4+4=0,

2

解得：机=4或6（舍去4）,

即点Q（6,0）；

②当BC是平行四边形的对角线时，

设点P（加，鼠）、点。（s,0）,其中-机-%

2

由中心公式可得：m+s—-2,〃+0=4,

解得：s=2或4（舍去4）,

故点Q（2,0）；

故点。的坐标为（2,0）或（6,0）；

（3）如图2,过点P作刊/〃尤轴交BC于点"

图2

•/GP//y轴，ZHEP=ZACB,

'：PH//x轴，ZPHO=ZAOC,

：.AEPH^ACAO,_PH,即：=IK,

ACAB2^56

则EP=叵PH,

3

设点尸(t,yp),点,H(XH,yp),

贝!][尸-t-4=XH~4,

2

则xH=—r-1,

2

于=^~PH=[t-(—r-1)]=-(r-4t),

326

当t=m时，力=乂殳-Am),

6

当?=4-—m时，fi=-义¥{—nr-2m),

264

贝!J力-力=-义支机(m~—

83

则0<〃z<2,：.fi-fa>0,

【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图象的

面积计算等，其中(2),要主要分类求解，避免遗漏.

考点卡片

1.有理数的加法

（1）有理数加法法则：

①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加.

②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对

值.互为相反数的两个数相加得0.

③一个数同0相加，仍得这个数.

（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0.从而

确定用那一条法则.在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”.）

（2）相关运算律

交换律：a+b—b+a；结合律（。+6）+c—a+（6+c）.

2.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成aX10"的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：aXIO",其中lWa<10,

w为正整数.1

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1;按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.数学常识

数学常识

此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解.比如给出一个物体的高度

要会选择它合适的单位长度等等.

平时要注意多观察，留意身边的小知识.

4.实数的运算

（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、

乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算

乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

【规律方法】实数运算的“三个关键”

1.运算法则：乘方和开方运算、塞的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根

式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等.

2.运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从

左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

3.运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

5.同底数塞的乘法

（1）同底数累的乘法法则：同底数察相乘，底数不变，指数相加.

am-an=am+n（m,〃是正整数）

（2）推广:am'an-aP=am+n+PCm,n,p都是正整数）

在应用同底数累的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25,（/.）3与（a2b2）

4,（x-y）2与G-y）3等；@a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只

有相乘时才是底数不变，指数相加.

（3）概括整合：同底数幕的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键.在

运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变

形为同底数累.

6.累的乘方与积的乘方

（1）事的乘方法则：底数不变，指数相乘.

（a"‘）优，"是正整数）

注意：①皋的乘方的底数指的是暴的底数；②性质中“指数相乘”指的是塞的指数与乘方

的指数相乘，这里注意与同底数暴的乘法中“指数相加”的区别.

（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的暴相乘.

（H）"=。吩（”是正整数）

注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据

乘方的意义，计算出最后的结果.

7.同底数塞的除法

同底数塞的除法法则：底数不变，指数相减.

am-i-an=amn（aWO,〃是正整数，

①底数。#0,因为0不能做除数；

②单独的一个字母，其指数是1,而不是0；

③应用同底数嘉除法的法则时，底数。可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是

什么，指数是什么.

8.负整数指数累

负整数指数幕：a"=lapQWO,p为正整数）

注意：①a力0；

②计算负整数指数幕时，一定要根据负整数指数幕的意义计算，避免出现（-3）l=（-

3）X（-2）的错误.

③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数.

④在混合运算中，始终要注意运算的顺序.

9.二次根式的混合运算

（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次

根式的混合运算应注意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面

的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多

项式”•

（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当

的解题途径，往往能事半功倍.

10.解二元一次方程组

（1）用代入法解二元一次方程组的一般步骤：①从方程组中选一个系数比较简单的方程，

将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.②将变形后的关系式

代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程.③解这个一元一次方程，求

出或y）的值.④将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值.⑤

把求得的x、y的值用“{”联立起来，就是方程组的解.

（2）用加减法解二元一次方程组的一般步骤：①方程组的两个方程中，如果同一个未知数

的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相

等或互为相反数.②把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元

一次方程.③解这个一元一次方程，求得未知数的值.④将求出的未知数的值代入原方程

组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值.⑤把所求得的两个未知数的值写在一起，

就得到原方程组的解，用｛x=ax=6的形式表示.

11.二元一次方程组的应用

(一)、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：

(1)审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系.

(2)设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来.

(3)列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组.

(4)求解.

(5)检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答.

(二)、设元的方法：直接设元与间接设元.

当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元.无论怎

样设元，设几个未知数，就要列几个方程.

12.根的判别式

利用一元二次方程根的判别式(△=序-4℃)判断方程的根的情况.

一元二次方程a/+6x+c=0(aWO)的根与△=d-4ac有如下关系：

①当时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=()时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△<()时，方程无实数根.

上面的结论反过来也成立.

13.根与系数的关系

(1)若二次项系数为1,常用以下关系：xi,%2是方程x?+p尤+q=0的两根时，xi+x2=-p,

XlX2=g,反过来可得p=-(X1+X2),q=XlX2,前者是已知系数确定根的相关问题，后者是

已知两根确定方程中未知系数.

(2)若二次项系数不为1,则常用以下关系：XI,尤2是一元二次方程o?+bx+c=oQW0)

的两根时，无1+X2=-殳，X1X2=三，反过来也成立，即也■=-(X1+X2),-=XU2.

aaaa

(3)常用根与系数的关系解决以下问题:

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根.②已知方程及方程的一个根，求

另一个根及未知数.③不解方程求关于根的式子的值，如求，尤12+m2等等.④判断两根的

符号.⑤求作新方程.⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值.这类问题比较综合,

解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑aWO,△》（）这两个前提条件.

14.解分式方程

（1）解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论.

（2）解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应如

下检验：

①将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式

方程的解.

②将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式

方程的解.

所以解分式方程时，一定要检验.

15.一元一次不等式的应用

（1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以

得到实际问题的答案.

（2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中

的不等关系.因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵.

（3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：

①弄清题中数量关系，用字母表示未知数.

②根据题中的不等关系列出不等式.

③解不等式，求出解集.

④写出符合题意的解.

16.函数的图象

函数的图象定义

对于一个函数，如果把自变量与函数的每一对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平

面内由这些点组成的图形就是这个函数的图象.

注意：①函数图形上的任意点（尤，y）都满足其函数的解析式；②满足解析式的任意一对x、

y的值，所对应的点一定在函数图象上；③判断点P（x,y）是否在函数图象上的方法是：

将点P（尤，y）的尤、y的值代入函数的解析式，若能满足函数的解析式，这个点就在函数

的图象上；如果不满足函数的解析式，这个点就不在函数的图象上一

17.反比例函数的性质

反比例函数的性质

（1）反比例函数y=工（kWO）的图象是双曲线；

x

（2）当4＞0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小;

（3）当左＜0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y