【考点4】平面解析几何（文）

2012年数学高考试题分类解析(文)

【考点5】解析几何

-、选择题

1.12012高考山东文9]圆(x+2)2+y2=4与圆(x-2)2+(y-l)2=9的位置关系为

(A)内切(B)相交(C)外切(D)相离

【答案】B

【解析】两圆的圆心分别为(―2,0),(2,1),半径分别为「=2,R=3两圆的圆心距离为

7(-2-2)2+(0-1)2=V17,则万<R+r,所以两圆相交，选B.

2.12012高考安徽文9】若直线x—y+l-0与圆(x—。>+:/=2有公共点，则实数a取值范围是

(A)|-3,-1|(B)[-1,3]

(C)[-3,1|(D)(-8,-3]U[1,+oo)

【答案】C

【解析】圆(x—a)?+y2=2的圆心C(a,0)到直线x-y+1=0的距离为d,

贝ijd<r-V2=-~<V2<=>la+11<2<»—3<a<10

V211

3.【2012高考重庆文3】设A,B为直线)，=x与圆》2+y2=i的两个交点，则|431=

(A)1(B)V2(C)V3(D)2

【答案】D

【解析】直线y=x过圆F+y2=i的圆心c(0,o),则Afi为圆的直径，所以IABI=2,选D.

4.12012高考浙江文4】设aGR,则“a=l”是“直线h：ax+2y=0与直线h：x+(a+l)y+4=0平行的

A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】当a=」一，解得。=1或。=-2.所以，当a=l是，两直线平行成立，因此是充分条件；当两

2。+1

直线平行时，。=1或。=-2,不是必要条件，故选A.

5.12012高考陕西文6】已知圆C:Y+y2—4x=0,/过点P(3,0)的直线，则()

儿/与。相交B./与C相切C./与。相离D.以上三个选项均有可能

6.【答案】A.

【解析】圆的方程可化为(x-2)2+y2=4,易知圆心为(2,0)半径为2,圆心到点P的距离为1,所以点

P在圆内.所以直线与圆相交.故选A.

6.12012高考辽宁文7】将圆/+/-2x-4y+l=0平分的直线是

(A)x+y-l=0(B)x+y+3=0(C)x-y+l=0(D)x-y+3=0

【答案】C

【解析】圆心坐标为(1,2),将圆平分的直线必经过圆心，故选C

【点评】本题主要考查直线和圆的方程，难度适中。

7.12012高考湖北文5】过点P(1,1)的直线，将圆形区域｛(x,y)黯+丫2・4｝分两部分，使.这两部分的

面积之差最大，则该直线的方程为

A.x+y-2=0B.y-l=0C.x-y=0D.x+3y-4=0

【答案】A

【解析】要使直线将圆形区域分成两部分的面积之差最大，必须使过点P的圆的弦长达到最小，所以需该

直线与直线。P垂直即可.又已知点则k8=l,故所求直线的斜率为-1.又所求直线过点故

由点斜式得，所求直线的方程为y—1=—(x—1),即x+y—2=0.故选A.

【点评】本题考查直线、线性规划与圆的综合运用，数形结合思想.本题的解题关键是通过观察图形发现当

面积之差最大时，所求直线应与直线。P垂直，利用这一条件求出斜率，进而求得该直线的方程.来年需注

意直线与圆相切的相关问题.

8.[2012高考广东文8]在平面直角坐标系xOy中，直线3x+4y-5=0与圆//=4相交于4、8两

点，则弦的长等于

A.3\5B,273C.GD.1

【答案】B

[解析】圆心(0,0)到直线3x+4>--5=0的距离d=,+0/=1,则(丝)2=r2-J2=22-12=3,

V32+422

所以4?=26.

9.[2102高考福建文7】直线x+而-2=0与圆x?+y2=4相交于A.B两点，则弦AB的长度等

A.2#)B2-73.C.73D.1

【答案】B.

【解析】求弦长有两种方法，一、代数法：联立方程组卜+卢>：2=0,解得人、B两点的坐标为

x2+y2^4

(2,0)、(一1,6)，所以弦长1481=1(2+1产+(0-百)2=2百;二、儿何法：根据直线和圆的方程易知，

圆心到直线的距离为/2==],又知圆的半径为2,所以弦长1=26二？=2后

7I2+(V3)2

22o

10.【2012高考新课标文4】设耳工是椭圆七：0+与=15〉/?>0)的左、右焦点，P为直线x=吆上

a~b-2

一点，是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()

1234

(A)-(B)-(C)-(D)-

2345

【答案】C

【解析】因为Afyd是底角为30°的等腰三角形，则有|F2K|=内尸|,'口"，因为

ZPF,F2=30°,所以ZPF2D=60°,ZDPF2=30°,所以\F2D\=^\PF2\=^\FlF2\,即

--c=-x2c=c,所以羽=2c,即£=之，所以椭圆的离心率为e=3,选C.

222a44

11.[2012高考新课标文10]等轴双曲线。的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线)/=16x的准线

交于两点，卜却=4百；则C的实轴长为()

(A)72(B)272(C)4(D)8

【答案】C

【解析】设等轴双曲线方程为小一/=相(m>()),抛物线的准线为x=-4,由卜8|=4&,则

|以|=26,把坐标(一4,2百)代入双曲线方程得m^x2-y2-16-12=4,所以双曲线方程为

%2_>2=4,即二一，_=],所以。2=44=2,所以实轴长2。=4,选C.

-44

/v2

12.C2012高考山东文11】已知双曲线C：=的离心率为2.若抛物线G=2py(p>0)

ab

的焦点到双曲线C,的渐近线的距离为2,则抛物线g的方程为

(A)/=苧丫(B)x2=^^-y(C)x2=8y(D)f=16y

【答案】D

【解析】抛物线的焦点(O,"),双曲线的渐近线为y=±2x,不妨取y=?x,即6x—ay=0,焦点到

2aa

ax—P

2

渐近线的距离为—/===2,即=4Ja?+Z?2=4c,所以—“双曲线的离心率为2=2,所

^a12+*b2a4a

以£=K=2,所以2=8,所以抛物线方程为/=i6y,选D.

a4

13.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为4,一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为

2722

(A)工+汇=1(B)土+二=1

1612128

22%22

(C)工+匕=1(D)—+匕=1

84124

【答案】C

2

【解析】椭圆的焦距为4,网2c=4,c=2因为准线为x=-4,所以椭圆的焦点在x轴匕且一父=-4,

C

222

所以"2=4C=8,b=a-c=8-4=4,所以椭圆的方程为二+乙=1,选C.

84

1412012高考全国文10】已知£、居为双曲线C:/一尸=2的左、右焦点，点p在C匕IP"|=21尸居I,

则COS/々P%=

1334

(A)-(B)-(C)-(D)-

4545

【答案】C

22

【解析】双曲线的方程为--L=l,所以a=b=J5,C=2,因为IPFgl2PF2l,所以点P在双曲线的

22

右支上，则有IPFMPF2l=2a=2拒，所以解得IPFzl=2行，IPF1I=472,所以根据余弦定理得

(2拒)2+(4行)2一143

=_，选

cosF]PF2C.

2X2V2X4A/24

15.【2012高考浙江文8】如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M,N是双曲线的两顶点。

若M,O,N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是

（第8的图）

A.3B.2C.6D.J5

【答案】B

【解析】设椭圆的长轴为2a,双曲线的长轴为2优，由M,0,N将椭圆长轴四等分，则2a=2x2a',

即a=2",又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c,则双曲线的离心率为e'=£；,e=£,

aa

ea

—=—=2.

ea'

16.【2012高考四川文9】已知抛物线关于工轴对称，它的顶点在坐标原点。，并且经过点M(2,为)。若

点〃到该抛物线焦点的距离为3,则IOMI=()

A、2V2B、273C、4D、2A/5

【答案】B

【解析】根据题意可设设抛物线方程为y=2px2,则点〃(2,±26)Q焦点(5,0),点用到该抛物线

焦点的距离为3,

/X2

2--^I+4P=9,解得p=2,所以2M=「4+4x2=26.

17.［2012高考四川文11］方程缈=匕2力+。中的a,b,ce{—2,0,l,2,3},且a,。,c互不相同，在所有这

些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有()

A、28条B、32条C、36条D、48条

【答案】B

【解析】本题可用排除法，a,A,ce{-2,0,1,2,3},5选3全排列为6(),这些方程所表示的曲线要是抛物

线，则且6H0,,要减去2A：=24,又〃=—2或2时，方程出现重复，重复次数为4,所以不同的

抛物线共有60-24-4=32条.故选B.

18.12012高考上海文16】对于常数加、"，“加〃>0”是“方程加/+〃)，2=1的曲线是椭圆”的()

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条

件

【答案】B.

W>0,fm<0,

【解析】Vmn>0,/.<或《。

n>0,［n<0,

〃2>0

'故"〃皿>0”是“方程加X’+〃y2=i表示的是

{n>0,

椭圆”的必要不充分条件。

19.【2012高考江西文8】椭圆5+4=1(。>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F”

ah

若IAF]l,IFF2lJPBI成等比数列，则此椭圆的离心率为

F2O

A.-B.—C.-D.V5-2

452

【答案】B

【解析】椭圆的顶点0),8(A,0)，焦点坐标为"(—c,0),尸2匕,0)，所以|A可=a-c,\F}B\^a+c,

国闯=2c,又因为|4制，|耳闻，图成等比数列,所以有4c2=("c)(a+c)=a2—c2,BP5c2=a2,

V5

所以a=离心率为e=£选B.

a5，

22

20.【2012高考湖南文6】已知双曲线C=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上，则C

的方程为

222,2222

XV.xxy

A.---=1B.--」-匕=1D.——二二1

205580202080

【答案】A

22

xy

【解析】设双曲线C：=1的半焦距为c,则2c•=10,c=5.

I)b

X-/C的渐近线为y±±x,点P(2,1)在C的渐近线上，-2,即。=20.

aa

,2,2

又c，=a?a=C的方程为---=1.

205

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想和基本运算能

力，是近年来常考题型.

,22

21.【2102高考福建文5】已知双曲线三-3=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于

a5

A血B迪34

CD

14423

【答案】C.

3

【解析】根据焦点坐标(3,0)知c=3,由双曲线的简单几何性质知/+5=9,所以。=2,因此e=2

2

故选C.

二、填空题

22.12012高考上海文4]若Z=(2,1)是直线/的一个方向向量，贝心的倾斜角的大小

为(结果用反三角函数值表示)

【答案】arctan-

2

【解析】因为直线的方向向量为(2,1)=2(1,g)=2(1,2),即直线的斜率女=g,即tana=g,所以直线

的倾斜角a=arctan—»

2

23.【2012高考浙江文17］定义：曲线C上的点到直线1的距离的最小值称为曲线C到直线1的距离，已知曲线

C,：y=x2+a到直线l:y=x的距离等于曲线G：x、(y+4)2=2到直线1:y=x的距离，则实数a=_______.

【答案】-

4

【解析】C2：X2+(J,+4)2=2,圆心(0,—4),圆心到直线/：y=R的距离为:仁铲2日故曲

线C2到直线/：y=x的距离为df=d-r=(1-41-41.

2

另一方面：曲线C］：y=x+a9令；/=2x=0,得：x=L曲线C］：¥=尢2+〃到直线/：),=*的距离

1J,11I

--(—+。)—+«

/内…/11、」，62447

的点为(一，一+〃)，d==----7=---=-7=~=a=—.

246.近4

24.【2102高考北京文9】直线＞=》被圆/+(},—2)2=4截得弦长为。

【答案】2桓

【解析】将题目所给的直线和圆图形画出得到如图所示的情况，半弦长,，圆心到直线的距离4,以及圆

2

半径r构成了一个直角三角形。因为/'=2,夹角45°,因此，=d=J5,所以/=2后。

2

25.［2012高考江西文14】过直线x+y-2.Q=0上点P作圆x2+y2=l的两条切线，若两条切线的夹角是60。，

则点P的坐标是。

【答案】(V2,V2)

【解析】如图:由题意可知N4P8=60°,由切线性质可知NOP8=30°,在直角

三角形。6P中，。2=2。6=2,又点P在直线x+y—2五=0上，所以不妨设点P（x,2、/5—x）,则

OP=y/x2+（2y/2-x）2=2，即x2+（2Ji-刀了=4,整理得x2-2缶+2=0,即（x-V2）2=0,所以

x=JL即点p的坐标为（友,近）。

法二:由题意可知NAPB=60°,由切线性质可知NOP8=30°,在直角三

角形OBP中,OP=2O8=2,又点P在直线x+y-2a=0上，所以不妨设点P（阳2及一x）,则

OP=Jx2+（2y/2-x）2=2,圆心到直线的距离为d=E@=2,所以。P垂直于直线

72

x+y-20=0,由卜+）'-2立=0,解得卜=£,即点点P的坐标为（痣,五）。

[y=x[y=V2

26.12012高考江苏12]（5分）在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2+/-8x+15=0,若直线y=kx-2

上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆。有公共点，则女的最大值是▲.

4

【答案】-o

3

【考点】圆与圆的位置关系，点到直线的距离

【解析】•••圆C的方程可化为：（x-4）2+），2=l,.•.圆C的圆心为（4,0）,半径为1。

•••由题意，直线y=fcc-2上至少存在一点4（%,履0-2）,以该点为圆心，1为半径的圆与圆。有

公共点;

存在/€/?，使得AC41+1成立，即ACmin42。

•••ACmm即为点C到直线)'=丘一2的距离塔二•••即二九2,解得04女49。

42+1y/k2+13

的最大值是4?。

3

27.12012高考天津文科12］设机,"eR,若直线/:mx+〃y-1=0与X轴相交于点A,与y轴相交于B,

且1与圆/+/=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点，则A4O8面积的最小值为-

【答案】3

【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为/l(0,-),B(-,0),直线与圆相交所得的弦长为2,圆心到直线的距

nm

离d满足“2=/一」=4一1=3,所以"=石，即圆心到直线的距离d=7一=6,所以

/22

+〃

22又5=丁二2二^=3,当且仅当

-。三角形的面积为5=---

32mn2|m/?|m+〃

\m\=IH='时取等号，

所以最小值为3。

28.【2012高考四川文15】椭圆二+上=1(。为定值，且a>JM)的的左焦点为尸，直线X="Z与椭圆相

a5

交于点A、B,AE48的周长的最大值是12,则该椭圆的离心率是

2

【答案】

3

【解析】当直线x=过右焦点时AFAB的周长最大，最大周长为4。=12,，。=3；

7

.“2=〃2一/=4,即c=2,.•*=*

3

29.12012高考辽宁文15】已知双曲线必-/=1,点R,Fz为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PR

±PF2,则IPFJ+IPF2I的值为.一一..

【答案】2丛

【解析】由双曲线的方程可知a=l,c=忸制―|P用|=2a=2,

.・』P"『—2|P凰|PK|+|PFj=4

•••PFt1PF2,:.\PFtf+\PF2f=(2c)2=8,二2|尸用|「周=4,

尸周+1产用了=8+4=12,二户制+|P闾=2百

【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。解题时要充分

利用双曲线的定义和勾股定理，实现差一积一和的转化。

22

30.12012高考江苏8]（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线三J=1的离心率为石，则相

tnnr+4

的值为▲.

【答案】2。

【考点】双曲线的性质。

22______________

【解析】由-----y=1得a=y[m,b=\lm2+4c=yjm+〃/+4。

mm"+4

2

cyjm+m+4口n2,“八A”口一

..e=—=------j=----=V5,即"广一4〃？+4=0,解得〃7=2。

ayjm

31.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在/时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降

1米后，水面宽米.

【答案】2屈.

【解析】设水面与桥的一个交点为A,如图A的坐标为（2,

-2）.设抛物线方程为x2=-2py，带入点A得p=1,设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为（X。,-3）,

则与-=—2x—3,x（,=,所以水面宽度为2j^.

32.12012高考重庆文14】设P为直线y=2尤与双曲线.一二=1（。〉0口〉0）左支的交点，耳是左

3aab

焦点，P耳垂直于x轴，则双曲线的离心率e=

3A/2

【答案】

4

b3V2

y=­x

3ax=----a35

【解析】由<得4二，又尸片垂直于x轴，所以“a=c,即离心率为

22

__y_区4

a2~b2y=--rb

c3V2

丁丁

33.[2012高考安徽文14]过抛物线y2=4x的焦点尸的直线交该抛物线于4,8两点，若|AFI=3,则

\BF\=

3

【答案】-

2

【解析】设NAEv=e（0<6<»）及忸曰=〃z；则点A到准线/:x=—1的距离为3,

/123

得：3=2+3cos6=cos。=—又〃?=2+〃2cos（万一。）<=>m=----------=—。

31+cos。2

2222

34.[2012高考天津文科11]已知双曲线G:j—勺=1（。>0/>0）与双曲线心：--匕=1有相同

ab~416

的渐近线，且G的右焦点为F电，则a=b=

【答案】1,2

工22

【解析】双曲线的-2-”y=1渐近线为丁=±2工，而。—V二二1的渐近线为y=±h2%,所以有巳h=2,

416a2b2aa

22

b=2a,又双曲线二一勺=1的右焦点为（行,0）,所以。=石，又，2=/+。2,即

a-b

5=a2+4«2=5a2>所以。？=l,a=1,6=2。

三、解答题

35.（本小题满分14分）

已知椭圆t+j（a>b>0），点P（三a,ma）在椭圆上。

a-D-52

（I）求椭圆的离心率。

（II）设A为椭圆的右顶点，0为坐标原点，若Q在椭圆上且满足IAQHAOI求直线。。的斜率的值。

【答案】

（ii）丁亦；i为，-6

%=X、

由条件得父V：消去肾并整理得

—+TT-I•

、<Tb，

由IXQklXOI./（-“⑼及为=乜.得（/+。）：+&、：="：.整理得

（1+y）4+2/=0.而X°H0,故七=涔，代入①.整理得（1.*：）：=止另7.

Ill<I）知今-，.故（|+上：）二曰公+4.即5*'-2”:15=0.”用公=5.

所以在竣。（?的斜率£=*、£.

22

36.12012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系x”中，椭圆=+与=1（a>/?>0）的左、右焦点

ab“

亭）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.

分别为£(-c,0),F2(C,0).己知(l,e)和

（1）求椭圆的方程;

（2）设4,8是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线A"与直线平行，/IF?与86交于点P.

（D若AF「BF?=*,求直线A耳的斜率;

（ii）求证：P^+PF?是定值.

【答案】解：（1）由题设知，a2=b2+c2,e=-,由点（l,e）在椭圆上，得

a

12212

—z+—=1=>—+=1zz>b2+c2=a2b2=>a1=crb~=>/?2=l,:.c2=a2-1。

a2b2a2a2b2

由点得

2图2图_

H-------—=1=H-----------=1n4211+—=1=>6f4—4a2+4=0na2=2.1椭圆的

a2b2ji〃44

v.2

方程为一+y?=1o

2

(2)由(1)得尸](-1,0),6(1,0),又YAF\〃BF],

?

・••设A£、B乃的方程分别为阳=x+Lmy=x-1,A(%，y)8(%%)%>°)2>°

—+y,2=1/2-2cicmJ2m2+2

2'=>un^+2]y-2my-1=0=>y=------z--------

[',]}}irr+2

fny]=x]+1

.…岳西仙际=5"甲=型坐"®

/W-*iZ〃2+L

>/2(zn2+l]-myJm2+1

同理，BF,=—--------!----------------.②

mz+2

G）由①②得’A-嚏R解嚏R*得42。

•注意到"?>0,/.m=y[2o

；.直线A”的斜率为工=1

m2

PR

股，即丝+1=毁+1=PB+PFBF+AF

(ii)证明：：AF.//BF,,：.——i2X

PR—-—AF

PF、AF{PRAF{X

CLM

PFi1=--------------BF}°

AFy+BF2

由点8在椭圆上知，BF+BF=2>f2,

i2：.PF=]尸：*尸（26-BF）°

t

同理。心而需TWA3。

zliiDr2

•••不冷缶（2Q监）+缶（2员阳=2员尊

(2

2yj2m+lm2+1

由①②得，AF.+BF=——---,---A-FBF=

〃/+2m~+2

PF\+PF2=2&-4=3应。

：.是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【解析】（1）根据椭圆的性质和已知（1,e）和都在椭圆上列式求解。

（2）根据已知条件用待定系数法求解。

37.【2012高考安徽文20］（本小题满分13分）

如图，片,尸,分别是椭圆C：当"+与=1（a>b>0）的左、右

a~b

焦点，A是椭圆。的顶点，8是直线4巴与椭圆。的另一个交点，

】

NFAF2=60°.

（I）求椭圆C的离心率；

（II）已知△A月8的面积为40后，求a,b的值.

【解析】

（I）由题意可知.△IF.F.为等边三角形.。=2「.所以

（II）（方法一）“；二4,：.*.

也找.1〃的力不,可为：，=7§（K-C.

♦一代人府Ml万僧.4>=123,得川。.-乎:，.

|1//|=丁'1+3•5-0=?.

小、=4|||卜"I♦/：=S=*）、'；.斛得

〃二I。，。_5、彳.

（方法二）戊|1〃|二，.

iu为।所设|麻：।二

由摘网亡Z|A7；I*\HF:|x2ou【'"l.|/“，

：

内的余方定理（3u-（r-.J-2«/.o-60可用,

S

t二"T"U.

5

ill>„AX"S-,/,-4O.;3.

<A2525

〃二In,_53.

38.12012高考广东文20］（本小题满分14分）

22

在平面直角坐标系xOy中，己知椭圆G：=+4=1（。>匕>0）的左焦点为耳（-1,0）,且点P（0,1）

a"b~

在G上.

（1）求椭圆G的方程；

（2）设直线/同时与椭圆G和抛物线G：F=4x相切，求直线/的方程.

【答案】

【解析】（1）因为椭圆G的左焦点为6（-1，°），所以c=l,

v-丫21

点P（0,l）代入椭圆滔+会=1,得讦=1,即匕=1,

所以〃2=b2+c~=2,

V-2

所以椭圆G的方程为E+F=L

（2）直线/的斜率显然存在，设直线/的方程为y=fcc+m,

x_2T

<~2+y=,消去y并整理得（1+26）/+4历?a+2m2—2=0,

y=kx+m

因为直线/与椭圆£相切，所以△=16代/—4（1+2/）（2加2_2）=0,

整理得2k22+1=0①

y2=4%

«7,消去丁并整理得公产+（2攵用一4）；1+，〃2=0。

y=kx+m

因为直线/与抛物线。2相切，所以△=(2加1—4)2—4二加2=0,

整理得女加=1②

[,叵,V2

女=亍或,K=---

综合①②，解得.2。

m-V2m--y/2

所以直线/的方程为y=^x+0或y=—4x—行。

39.12102高考北京文19](本小题共14分)

已知椭圆C：=+[=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为也

直线y=k(x-l)ij椭圆©交

ah-2

与不同的两点M,N

(I)求椭圆C的方程

(II)当4AMN的面积为巫时，求k的值

3

【答案】

挈kb二垃•

/y2

所。口用「的力用为'

.J'))?,J(I*2k2)x2-4k1x+2*2-4=0.

'，=I.

12

女户M.N的坐标分别