二重积分定义和性质

关于二重积分定义和性质回忆定积分.设一元函数y=f(x)在[a,b]可积.则有如图0xyabxixi+1

iy=f(x)f(

i)其中

xi=xi+1

xi,表示小区间[xi,xi+1]的长,f(

i)xi表示小矩形的面积.第2页,共25页，2024年2月25日，星期天有一空间几何体.其底面是xoy

面上的区域D,其侧面为母线平行于z轴的柱面,其顶是曲面z=f(x,y),我们称为曲顶柱体.我们知道，顶是平面的平顶柱体的体积V=底面积×高，那么曲顶柱体的体积V怎么计算呢？0yzxz=f(x,y)D一、引例第3页,共25页，2024年2月25日，星期天(1)用曲线将D分成n个小区域D1,D2,…,Dn,每个小区域Di都对应着一个小曲顶柱体.如图z=f(x,y)0yzxz=f(x,y)DDiDi计算步骤第4页,共25页，2024年2月25日，星期天(2)由于Di很小,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.(

i,

i)Di.小平顶柱体的高=f(

i,

i).若记

i=Di的面积.则小平顶柱体的体积=f(

i,

i)

i

小曲顶柱体体积

f(

i,

i)

(

i,

i)Diz=f(x,y)第5页,共25页，2024年2月25日，星期天(3)因此,大曲顶柱体的体积分割得越细,则右端的近似值越接近于精确值V,若分割得"无限细",则右端近似值会无限接近于精确值V.也就是第6页,共25页，2024年2月25日，星期天

1.定义设z=f(x,y)是定义在有界闭区域D

R2上的有界函数.将D任意分割成n个无公共内点的小区域Di(I=1,2,…,n),其面积记为

i.

(

i,

i)Di,作积f(

i,

i)

i,二、二重积分的概念与性质第7页,共25页，2024年2月25日，星期天若对任意的分法和任意的取法,当

0时,和式的极限存在且极限值都为I,则称f(x,y)在D上可积,记为f(x,y)

R(D),并称此极限值I为f(x,y)在D上的二重积分.记作即其中“

”称为二重积分符号,D称为积分区域,f(x,y)称为被积函数,d

称为面积元素,x,y称为积分变量.和式第8页,共25页，2024年2月25日，星期天注1.

定积分二重积分区别在将小区间的长度

xi换成小区域的面积

i,将一元函数f(x)在数轴上点

i

处的函数值f(

i)换成二元函数f(x,y)在平面上点(

i,

i)处的函数值f(

i,

i).可见,二重积分是定积分的推广.第9页,共25页，2024年2月25日，星期天注2.

若将D用两族平行于x轴和y轴的直线分割.(如图)则除边界上区域外,Di都是矩形，它的面积为：故也将二重积分写成此时面积元素记为：d=dxdy

i=xi

yi第10页,共25页，2024年2月25日，星期天2.二重积分的几何意义：设x,y在D上可积,则(1)当z=f(x,y)0时,(2)当z=f(x,y)<0时,(3)=(D1上曲顶柱体体积)(D2上曲顶柱体体积)第11页,共25页，2024年2月25日，星期天3.二重积分的性质.设D为有界闭区域,以下涉及的积分均存在.性质1.性质2.性质3.性质4.第12页,共25页，2024年2月25日，星期天直角坐标系下二重积分的计算.由二重积分的几何意义知,当f(x,y)0时,如图若点x处截面面积为A(x),则体积三、二重积分的计算xy0axA(x)b第13页,共25页，2024年2月25日，星期天如果积分区域D表示为：利用直角坐标系计算二重积分我们称为［X－型］（特殊情况）第14页,共25页，2024年2月25日，星期天第15页,共25页，2024年2月25日，星期天积分区域D为：［X－型］一般地，---先对y积分，后对x积分的二次积分第16页,共25页，2024年2月25日，星期天如果积分区域D为：［Y－型］---先对x积分，后对y积分的二次积分第17页,共25页，2024年2月25日，星期天若区域如图，比不是X型也不是Y型，在分割后的三个区域上分别使用积分公式得：则必须分割.第18页,共25页，2024年2月25日，星期天例1

将化为二次积分。其中

D

由直线围成。解1：先画出积分区域D

，可知D

是Y－型。将D

向y

轴投影。于是，第19页,共25页，2024年2月25日，星期天解2：D

也是X－型。将D

向x

轴投影。于是，第20页,共25页，2024年2月25日，星期天例2

计算其中

D

由直线围成。解先画出积分区域D

，D

是X－型。将D

向x

轴投影。于是，第21页,共25页，2024年2月25日，星期天于是，第22页,共25页，2024年2月25日，星期天第23页,共2