毕达哥拉斯学派

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一、毕达哥拉斯学派和第一次数学危机

1、古希腊数学

希腊人在文明史上首屈一指，在数学史上至高无上，他们虽也取用了四周其他文明世界的一些东西，但希腊人制造了他们自己的文明和文化，这是一切文明中最雄伟的，是对现代西方文化的进展影响最大的，是对今日数学的奠基有打算作用的。

古代希腊文明始终连续到公元600年，从数学史的观点讲，可把它分为两段时期：一段是从公元前600年到公元前300年的古典时期；一段是从公元300年到公元600年的亚历山大时期。

数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来说，在公元前600年到前300年的古典希腊学者登场之前是不存在的。在之前的巴比伦和埃及文明中，可以发觉整数和分数的算术，包括进位制记数法，有初步的代数和几何上的一些阅历公式。几乎还没有成套的记号，几乎没有有意识的抽象思维，没有搞出一般的方法论，没有证明甚或直观推理的想法，使人能深信他们所做的运算步骤或所用的公式是正确的。假如将埃及人和巴比伦人比作粗陋的木匠，而希腊人则是大建筑师。

古典希腊数学是在先后相继的几个中心地点进展起来的，每处都在前人工作的基础上进行建筑。在每个中心地点总有无正式组织的成群学者在一两个宏大学者领导下开展活动。这类组织在现代也是习见的，它之所以存在也是可以理解的。今日，当一位高校者住在某一处——通常是个高校时，其他学者就接踵而去，向大师学习。

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达哥拉斯学派。从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系统的纯粹数学，来源予古希腊毕达哥拉斯学派。它是一个唯心主义学派，兴盛的时期为公元前500年左右。他们认为，“万物皆数”(指整数)，数学的学问是牢靠的、精确     的，而且可以应用于现实的世界，数学的学问由于纯粹的思维而获得，不需要观看、直觉和日常阅历。

毕达哥拉斯是一个特别优秀的老师，他认为每一个人都该懂些几何。有一次他看到一个勤勉的穷人，他想教他学习几何，因此对此人建议：假如这人能学懂一个定理，那么就给他一块钱币。这个人看在钱的份上就和他学几何了，可是过了一个时期，这同学对几何产生了特别大的爱好，反而要求毕达哥拉斯教快一些，并且建议：假如老师多教一个定理，他就给一个钱币。不需要多少时间，毕达哥拉斯把他以前给那同学的钱全部收回了。

毕达哥拉斯的哲学思想具有一些神奇主义因素。从他开头，希腊哲学开头产生了数学的传统。毕氏曾用数学讨论乐律，而由此所产生的“和谐”的概念也对以后古希腊的哲学家有重大影响。毕达哥拉斯还在西方长期被认为是毕达哥拉斯定理（中国称勾股定理）首先发觉者。在宇宙论方面，毕达哥拉斯结合了米利都学派以及自己有关数的理论。他认为存在着很多但有限个世界，并坚持大地是圆形的，不过则抛弃了米利都学派的地心说。毕达哥拉斯对数学的讨论还产生了后来的理念论和共相论。即有了可理喻的东西与可感知的东西的区分，可理喻的东西是完善的、永恒的，而可感知的东西则是有缺陷的。这个思想被柏拉图发扬光大，并从今始终支配着哲学及神学思想。他还坚持数学论证必需从“假设”动身，开创演绎规律思想，对数学进展影响很大。

最早把数的概念提到突出地位的是毕达哥拉斯学派。他对数字痴迷到几近崇拜，企图用数来解释一切，宣称数是宇宙万物的本原。他同时任意地把非物质的、抽象的数夸大为宇宙的本原，认为“万物皆数”，“数是万物的本质”，是“存在由之构成的原则”，而整个宇宙是数及其关系的和谐的体系。毕达哥拉斯将数神奇化，说数是众神之母，是普遍的始原，是自然界中对立性和否定性的原则。毕达哥拉斯学派认为“1”是数的第一原则，万物之母，也是才智；“2”是对立和否定的原则，是意见；“3”是万物的形体和形式；“4”是正义，是宇宙制造者的象征；“5”是奇数和偶数，雄性与雌性和结合，也是婚姻；“6”是神的生命，毕达哥拉斯学派和第一次数学危机2

是灵魂；“7”是机会；“8”是和谐，也是爱情和友情；“9”是理性和强大；“10”包涵了一切数目，是完满和美妙。

毕达哥拉斯的数学贡献许多。黄金分割点；并且对数论作了

很多讨论，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等；三角形的三角之和是180°；关且还有一套关于相像的理论；平面可为等边三角形、正方形和正六边形所填满；正多面体只有五种——正四周体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体等等。

3、毕达哥拉斯定理

在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。假如设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：

勾股定理现约有400种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。在中国古代大约是公元前2到1世纪成书的数学著作《周髀算经》中假托商高同周公的一段对话。商高说：“?故折矩，勾广三，股修四，经隅五。”商高那段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简洁地把这个事实说成“勾三股四弦五”。这就是中国闻名的勾股定理。），不过最早的证明也许可归功于毕达哥拉斯。

4、数学史上第一次数学危机

第一次数学危机，是数学史上的一次重要大事，发生于大约公元前400年左右的古希腊时期，自根号二的发觉起，到公元前370年左右，以无理数的定义消失为结束标志。这次危机的消失冲击了始终以来在西方数学界占据主导地位的毕达哥拉斯学派，同时标志着西方世界关于无理数的讨论的开头。

整数是在对于对象的有限整合进行计算的过程中产生的抽象概念。日常生活中，不仅要计算单个的对象，还要度量各种量，例如长度、重量和时间。为了满意这些简洁的度量需要，就要用到分数。于是，假如定义有理数为两个整数的商，那么由于有理数系包括全部的整数和分数，所以对于进行实际量度是足够的。古代数学家认为，这样能把直线上全部的点用完。但是，毕达哥毕达哥拉斯学派和第一次数学危机3

第一次数学危机表明，几何学的某些真理与算术无关，

几何量不能完全由整数及其比来表示。反之，数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战，古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是，几何学开头在希腊数学中占有非凡地位。同时也反映出，直觉和阅历不肯定靠得住，而推理证明才是牢靠的。从今希腊人开头从“自明的”公理动身，经过演绎推理，并由此建立几何学体系。

5、是无理数的证明

反证法：假设是有理数。?p两边平方得p2?2q2，q

所以p2是偶数，因此p也须是偶数（因为奇数2k＋1的平方后是224k＋4k＋1＝2(2k＋2k)＋1照旧是奇数）。所以我们可以设p是

22222a的样子