【模拟测试】高考数学试卷及答案

高考模拟测试数学试题

满分150分，时间120分钟.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A={-2,-1,0,1,2},B={x|-l<x<3},则AD8=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2,3}C.{-1,0,1,3}D.{-1,0,1,2)

2已知复数z满足iz=l+3i,则z=()

A.3+iB.3—iC.一3一iD.—3+i

3.为了解学生参加知识竞赛的情况，随机抽样了甲、乙两个小组各100名同学的成绩，得到如图的两个频

率分布直方图，记甲、乙的平均分分别为辱、石，标准差分别为叫、S乙，根据直方图值计甲、乙小组的

4.己知各项均为正数的等比数列{%}的前3项和为14,4=2,则数列{a,,}的公比等于()

A.4B.3C.2D.1

5.执行如图所示的程序框图，若输入N=5,则输出S=()

/输入A/

1,5=0

S+内|每7

J+；।（蠢）

I

6.在AABC中，点。满足而=3丽，则（）

uun1uur3uir—•2—■1―-

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4433

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

4433

7.已知Q4为球。的半径，M为线段04上的点，且A〃=2M。，过M且垂直于。4的平面截球面得到

圆若圆M的面积为8%,则Q4=（）

A.2A/2B.3C.26D.4

8.抛物线有一条性质为：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已

知抛物线C:：/=4x,在抛物线内，平行于x轴的光线射向C,交。于点尸，经尸反射后与C交于点Q,

则IPQI的最小值为（）

A.]B.2C.4D.8

9.在棱长为2的正方体ABCD-ABCQI中，M是棱A4的中点，G在线段与M上，且

则三棱锥M-AAG的体积为（）

10.2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，

神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气

阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度V满足公式：v=wlnh+^-^|,其中M为火箭推进剂

质量，〃?为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，W为火箭发动机喷流相对火箭的速度.当M=3加时，

n=5.544千米/秒.在保持卬不变的情况下，若加=25吨，假设要使丫超过第一宇宙速度达到8千米/秒，

则M至少约为（结果精确到1，参考数据：e2«7,389.In2«0.693）（）

A135吨B.160吨C.185吨D.210吨

11.经过双曲线C:3-今=im＞0/＞0）右焦点R的直线/与C的两条渐近线4，4分别交于A,B两点，

a~b-

,umiuu

若/_L/i，且BF=3E4,则该双曲线的离心率等于（）

A.—B.冬生C.y/2D.2

23

12.若函数/（刈=/一4%+。111%有两个极值点，设这两个极值点为再，％，且芭＜Z，则（）

A%（G（1,2）B.Xj+x2＜2C.f（x,）＜-3D.f（Xj）＞-3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x＞y

13.已知x,＞满足＜x+y-2M0,则z=x+2），的最大值为.

y2-1

14.抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各2个，抽奖规则为：每次从中随机抽取2个小球,

按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值5元的奖品，每个白球获得价值1元的奖品，黑

球不能获得奖品.抽奖一次，所得奖品的价值为6元的概率是.

15已知数列｛。“｝满足q=1,an+an+l=n,贝|]4（）=.

16.已知函数/（%）=sin（ox+-0（。＞0）在区间[°，方）上有且仅有4个零点，则3的取值范围是

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.如图，四棱锥尸一ABCD的底面是平行四边形，平面ABC。，ADLBD＞M是P4的中点.

(1)证明：PC〃平面瓦加；

⑵若PD=AD=BD，求直线AB与平面BDM所成角的大小.

18.在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向.2016年4月，为促进新能源汽车

发展，实施差异化交通管理政策，公安部启用新能源汽车专用号牌.2020年11月，国务院办公厅印发《新

能源汽车产业发展规划(2021-2035年)》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产

业高质量可持续发展.下表是2016年至2020年新能源汽车年销量(单位：十万辆)情况：

年份20162017201820192020

年份编号X12345

年销量y57121214

(1)完成下表;

年份编号x12345

Xj-X

y-9

(2)试建立年销量》关于年份编号x的线性回归方程y^bx+a.

(3)根据(2)中的线性回归方程预测2023年新能源汽车的年销量.

°可(y-9)

参考公式：右=上—------------，a=y-bx.

可2

1=1

19.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,。，且满足①C=2B；@bcosA^acosB；

③〃-c2=a2--Jlac-

(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；

(2)若。为线段AB上一点，且NBCD=L/B,CD=4,求△BCD的面积.

2

20.已知椭圆C:9+y2=i左、右顶点分别为4、4,下、上顶点分别为用、B2.记四边形A田儿与

的内切圆为E.

(1)求E的方程；

⑵过点加(加,0)(加>0)作E的切线/交C于4、8两点，求|A8|的最大值.

21.设函数/,(X)=/-orlnx,oeR.

(1)若a=1,求曲线y=fW在点(1,7(D)处的切线方程；

(2)若存在％使得/(与)<一6(“+6)成立，求”的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域

内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

,、{x-tcosa

22.已知圆C的方程为(x—+(y—1)2=9,直线/的参数方程为《.为参数，0WQ<%).以

y=rsina

原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)设/与C交于A,B两点,当|。4|+|08|=2近时，求/的极坐标方程.

［选修4-5：不等式选讲］

23.已知/(X)=|x-21+1x—31.

⑴解不等式/(元)之3；

12

(2)记/(幻的最小值为加，若〃，Z?都是正数，且一+一=加，证明：a^2h>9.

ab

答案与解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合人={—2,T,0,l,2},B={x|-l<x<3},则ADB=()

A.{-2,-1,0,1}B.{0,1,2,3}C.{-1,0,1,3}D.{-1,0,1,2)

［答案］D

［解析］

［分析］由交集的定义直接求解即可

［详解］因为A={-2,-1,0,1,2},B={%|-1<%<3),

所以408={-1,0,1,2},

故选：D

2.已知复数z满足iz=l+3i,则z=()

A.3+iB.3—iC.—3—iD.—3+i

［答案］B

［解析］

［分析］直接根据复数的除法运算即可得出答案.

［详解］解：因为iz=l+3i,

所以z=1*°'=-i(l+3i)=3-i.

故选：B.

3.为了解学生参加知识竞赛的情况，随机抽样了甲、乙两个小组各100名同学的成绩，得到如图的两个频

率分布直方图，记甲、乙的平均分分别为膈、石，标准差分别为s甲、坛，根据直方图值号甲、乙小组的

平均分及标准差，下列描述正确的是()

［答案］A

［解析］

［分析］先由频率分布直方图计算平均数，再由集中程度比较标准差的大小.

［详解］因为=0.12x1.5+0.64x2.5+0.12x3.5+0.08x4.5+0.04x5.5=2.78

%乙=0.15x1.5+0.2x2.5+0.27x3.5+0.23x4.5+0.15x5.5=3.53,所以无日<&.

又甲组的数据比乙组更集中，所以s甲<s乙.

故选：A

4.己知各项均为正数的等比数列｛%｝的前3项和为14，6=2,则数列｛q｝的公比等于()

A.4B.3C.2D.1

［答案］C

［解析］

［分析］根据等比数列的前"项和公式进行求解即可.

［详解］设数列｛q｝的公比为仪4>0),因为等比数列(«„｝的前3项和为14，

而4=2,显然qN1,

所以14=—ng3-7<7+6=0ng3—g—6q+6=0

i-q

=>q(q+l)(q-1)-6(q—1)=0=>(g-1)(4?+-6)=0,

解得4=1,或q=2,或夕=一3,而qwl,<7>0,所以q=2,

故选：c

5.执行如图所示的程序框图，若输入N=5,则输出S=()

［答案］B

［解析1

［分析］模拟执行如图所示的程序框图，即可求出程序运行后输出的S的值.

［详解］解：当左=1时，满足进行循环的条件，s=o+—L=L,

1x22

当&=2时，满足进行循环的条件，S=-+—=-

22x33

213

当左=3时，满足进行循环的条件，S=—+——=-

33x44

314

当我=4EI寸，满足进行循环的条件，S=-+——=-

44x55

当k=5时，不满足进行循环的条件,

…4

故输出；"二S=—.

5

故选：B.

6.在中，点。满足4b=3。巨，则()

uun]uir3111r

A.CD=-CA+-CBB.CD=-CA+-CB

4433

―-3—1—

C.CD=-CA+-CBD.CD=-CA+-CB

4433

［答案］A

［解析］

［分析］根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得出答案.

已详解］解：CD=CA+AD=CA+^AB=CA+^(CB-CA)=-CA+^CB.

故选：A.

7.已知Q4为球。的半径，M为线段04上的点，且A〃=2M。，过M且垂直于。4的平面截球面得到

圆若圆M的面积为8%,则Q4=()

A.2A/2B.3C.26D.4

［答案］B

［解析］

［分析］如图所示，由题得设球的半径为R，解方程六=1六+(2&)2即得解.

9

［详解］解：如图所示，由题得乃xBA/2=84,3加=20.

设球即半径为R,则M0=』R,0B=R,

3

所以A?=！R2+(20)2,.R=3=QA.

9

故选：B

8.抛物线有一条性质为：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已

知抛物线C：V=4x,在抛物线内，平行于x轴的光线射向C,交。于点p,经P反射后与C交于点。，

则IPQI的最小值为（）

A.1B.2C.4D.8

［答案］C

［解析］

［分析］根据抛物线的性质可知，反射线PQ必过抛物线的焦点F,可设直线PQ的方程为X=my+1,

P（N，X），Q（X2，%），联立，消》,利用韦达定理求得x+%，X%，再根据弦长公式结合二

次函数得性质即可得出答案.

［详解］解：根据抛物线的性质可知，反射线PQ必过抛物线的焦点尸，

由抛物线。：丁=4%，得焦点尸（1,0）,

可设直线PQ即方程为x=my+\,P（再,y）,Q（W，%），

2

y=4x2

联立〈，消X整理得y2—4my—4=0,

x=my+1

则M+%=4m,yty2=-4,

所以|=V1+w2,+yj-4）,］%=+16）=41+〃/）,

所以当小2=0,即加=0时，|PQ|取得最小值，最小值为4.

故选：C.

9.在棱长为2的正方体ABC。-A万GA中，A/是棱AA的中点，G在线段与M上，且"GJ•旦M,

则三棱锥M-AAG的体积为()

4121

A.—B.-C.—D.—

1551515

［答案］C

［解析］

［分析1如图，建立空间直角坐标系，设前=2月M，然后根据列方程求出4的值，从而可

确定出点G的位置，进而可求出三棱锥M-4AG的体积

［详解］如图，以4为原点，分别以A耳,AA，4A所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则

B,(2,0,0),D］(0,2,0),M(0,0,1),所以府=(-2,0,1),

设配=2印W,则郎=(-240,4),所以G(2—240,九)，

所以床=(2—2/1,—2"),

UllUIULIU1U

因为所以2G-gM=0，

4

所以一2(2—2/l)+0x(—2)+几=0,解得

所以G(|,0,£|,

2

所以点G到平面A的距离为4=:,

所以^M-\DXG~二，d

=1X1X2XU=2

32515

故选：c

10.2021年10月16日0时23分，长征二号F遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，

神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空.在不考虑空气

阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v满足公式:,其中M为火箭推进剂

质量，加为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，卬为火箭发动机喷流相对火箭的速度.当朋=3加时，

丫=5.544千米/秒.在保持卬不变的情况下，若加=25吨，假设要使v超过第一宇宙速度达到8千米/秒,

则M至少约为(结果精确到1，参考数据：e?37.389，In2ao.693)()

A.135吨B.160吨C.185吨D.210吨

［答案］B

［解析］

［分析］根据所给条件先求出卬，再由v=8千米/秒列方程求解即可.

［详解烟为当M=3帆时，u=5.544,

5.5445.544

所以卬=

In421n2

由v=winI1+—j=纯m（i+竺）=8,

Im）21n225

得in1+葛

»2,

所以l+—Mze2,=7.389,

25

解得"=159.725a160（吨），

即M至少约为160吨.

故选：B

22

11.经过双曲线C邑-4=1（。>0/>0）右焦点厂的直线/与c的两条渐近线4，，2分别交于A,8两点,

ab~

UUUUli

若/_L/「且3尸=3必，则该双曲线的离心率等于（）

A.旦B.马色C.^2D,2

23

［答案］A

［解析］

［分析］求双曲线的渐近线，并求直线/与渐近线交点坐标，再由向量方程可得解.

22

［详解］双曲线C:二一［=1渐近线为：y=±-x,焦点厂（c,o），

ab-b

设直线/方程：x="+j

h

y=­xbe

则由列方程组《a可得以

a-bt

x=ty+c

同理可得丁8=一一”一

a+bt

be3bc

因为砺=3百，所以

a+bta-bt

/FIa]2bhib

但'=-9'*=一"’而/=£

222

因为/_L/］,所以砥尸•&,==一1,...c-a+h

所以e=逅.

2

故选：A.

12.若函数/(乃=/一4九+alnx有两个极值点，设这两个极值点为王，马，且西<々，则()

A.x,G(1,2)B.xt+x2<2C.D./(%))>-3

［答案］D

［解析］

［分析］求导分析出函数/(%)的极大值点即可.

［详解］Qf(x)=x2-4x+alnx,

八/a2x2-4x+a

r(x)=2x-4+—=

XX

令/'(x)=0,则方程2x2-4x+a=0两根为X1,x2,且0<石</，

所以△=42-4x2a>0，a<2,

xt+x2=2,玉•尤2=；<1，所以0<玉<1,\<x2<2

%为/(x)的极大值点，即/(％)>/⑴=-3.

故选:D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

x>y

13.已知x,>满足，x+y-2W0,则z=x+2.y的最大值为

y>-1

［答案］3

［解析］

［分析］作出可行域，根据直线截距的意义，数形结合求解即可.

［详解］作出可行域，如图，

当目标函数z=x+2y过点A时，z取得最大值，

x-y=0/、

联立〈-c八，解得x=y=l,即41,1),

x+y-2=0

所以z=x+2y的最大值为Zmax=l+2xl=3.

故答案为:3.

14.抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各2个，抽奖规则为：每次从中随机抽取2个小球,

按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值5元的奖品，每个白球获得价值1元的奖品，黑

球不能获得奖品.抽奖一次，所得奖品的价值为6元的概率是.

…4

［答案不

［解析］

［分析］根据所得奖品的价值为6元可以确定红球、白球的个数，结合古典概型计算公式进行求解即可.

［详解］因为抽到每个红球获得价值5元的奖品，每个白球获得价值1元的奖品，

所以当所得奖品的价值为6元时，必有一红一白，

r1C14

因此所得奖品的价值为6元的概率为：十产=工，

_4

故答案为：一

15

15.已知数列｛%｝满足％=1,an+an+i=n,则%。=.

［答案］9

［解析］

a,+%=〃，、

［分析］根据题意可得《n+,，两式相减可得数列｛4｝的奇数项和偶数项都是以1为公差的等差

14+2+。向=〃+1

数列，求出。2,从而可得出答案.

a.+a=n

［详解］解：因为。“+。用=〃，所以《nx，，

［4+2=〃+1

两式相减得%+2-%=1，

所以数列｛4｝的奇数项和偶数项都是以1为公差的等差数列，

又生=1T=0，

所以&o=O+lx(10_l)=9.

故答案为：9.

16.已知函数/(x)=sin(/x+>0)在区间(0,葛)上有且仅有4个零点，则3的取值范围是

［答案］(三,1)

［解析］

［分析］根据函数零点定义，结合正弦型函数的性质进行求解即可.

［详解］令/(x)=sin(④r+5)一0=()n3=sin(刃％+，显然有0<⑦W1,

设g(x)=sin((yx+?］,

令啰x+?=f,因为xe(0,g5),所以re］?，?)

原问题转化为：当三《"J时，函数y=sin/,y=口有四个交点，

因为sin巳=sin也=立，所以有且〈/〈I,而0<0工1,因此且

33222

故答案为:,1)

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.如图，四棱锥P—ABCD的底面是平行四边形，平面438,AD1BD，M是Q4的中点.

(1)证明：PC〃平面以加；

(2)若=AD=89，求直线AB与平面BDM所成角的大小.

［答案1(1)证明见解析；

⑵30.

［解析］

［分析］(1)证明MO//PC.原题即得证；

(2)证明ZABM就是直线AB与平面BDM所成的角，再解三角形得解.

［小问1详解］

证明：连接AC交3。于点0,连接

因为AM=PM,AO=OC,所以MO〃PC.

又MOu平面BDM，PCZ平面BDM,

所以PC〃平面RW.

［小问2详解］

解：设？£>=45=80=1，

因为P£>_L平面A3C。，所以PDLBD,;.PB=6.

因为4)_LB。，所以A8=J5.

因为AM=PM,:.MBVAM.

因为PD=AD,AM=PM,:.AM=—,AM±DM,

2

又AMn=M,AM,BMu平面BDM,

所以AM,平面期

所以ZABM就是直线AB与平面BDM所成的角，

交

由题得sinZABMZABM=30

=4及2

所以直线A8与平面BDW所成的角为30.

18.在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向.2016年4月，为促进新能源汽车

发展，实施差异化交通管理政策，公安部启用新能源汽车专用号牌.2020年11月，国务院办公厅印发《新

能源汽车产业发展规划(2021-2035年)》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产

业高质量可持续发展.下表是2016年至2020年新能源汽车年销量(单位：十万辆)情况：

年份20162017201820192020

年份编号X12345

年销量》57121214

(1)完成下表;

年份编号X12345

X-7

(2)试建立年销量丁关于年份编号工的线性回归方程y=bx+a-,

(3)根据(2)中的线性回归方程预测2023年新能源汽车的年销量.

,S(x,.-x)(y,-y)

参考公式：方=上―------------，a=y-bx.

f--可2

/=1

［答案］(1)见解析(2)》=2.3x+3.1

⑶21.5

［解析］

［分析］(1)分别求出年份编号和年销量的平均数，完成表格即可;

(2)根据公式分别求出R。，即可得出答案；

(3)2023年的年份编号为8,将x=8代入回归方程即可的解.

［小问1详解］

--1+2+3+4+55+7+12+12+14,八

解:x=--------------=3,y=------------------=10,

55

填表如下：

年份编号x12345

xi-X-2-1012

x-y-5-3224

XJX

E(--)(-7)10+3+0+2+8ci

［小问2详解］解：g=上1F---------------------------=2,5

fa-元y4+1+0+1+4

i=\

a=y—bx=10—2.3x3=3.1,

所以年销量y关于年份编号X的线性回归方程为y=2.3X+3.1；

［小问3详解］

解：2023年的年份编号为8,

当x=8时，y=2L5，

所以预测2023年新能源汽车的年销量为21.5十万辆.

19.已知AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足①。=2B：②匕cosA=acosB；

@b2-c2-a2—yflac-

(D从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；

(2)若。为线段A8上一点，且=CD=4,求△3C0的面积.

2

［答案］(1)见详解；

(2)4.

［解析］

［分析］根据所给条件构造命题，用正弦定理或余弦定理证明；

用正弦定理及面积公式求解.

［小问1详解］

“由①②=>③”

证明：因为〃cosA=QCOS5,由正弦定理：2Rsin3cosA=2RsinAcosB,

所以sin(A—5)=。，A=B

71

因为C=2B,A+5+C=;r,所以A=—,

4

由余弦定理得：b2-c2=a2-y/2ac

“由②③二①“

jr

因为。2_02=/一缶c，由余弦定理得4=:，

4

因为力cosA=QCOSB,由正弦定理：2Rsin/cosA=2RsinAcosB，

■jrrr

所以sin（A-3）=0,A=B=-,所以。=彳，C=2B

“由①③=>②"

jr

因为从_<?=/一缶,,由余弦定理得4=一，

4

乃4

又C=23,A+B+C=TU,所以3=—，C=-

42

所以三角形ABC为等腰直角三角形，a=b

故，bcosA=acosB

［小问2详解］

由已知设AC=x，则3C=x,AB=V^x,ZA=ZB=—,ZACB=—,

42

IJI3兀

因为N3CD=—NB=上,所以NAC£>=NADC=",

288

所以08=（正—l）x,根据正弦定理得:CDBC

sin/BsinZCDB

4x

则.冗~7~~x=4^2sin—,

sinsin7t——

4I8J8

SyJBCD=-CBCDsmZBCD=2xsin-=872sin—sin-

2888

=8夜sin—cos—=4>/2sin—=4.

884

2

20.已知椭圆c：，+>2=1的左、右顶点分别为4、4,下、上顶点分别为用、记四边形4耳4与

B2.

的内切圆为E.

(1)求E的方程；

⑵过点〃。几0)(加>0)作E的切线/交C于48两点，求|AB|的最大值.

3

［答案］(1)/+、2=

4

(2)2

［解析］

［分析］⑴根据椭圆方程求出A2,打得坐标，从而可求得直线的方程，再利用点到直线得距离公式求出

原点到直线4&的距离，即为圆E的半径，从而可得出答案；

(2)由题意知：>—,可设直线/的方程为*="+机，根据直线/与圆E相切，可得=则

m2，产+12

2/22.&______Ip2/_1

有“2=3=，设A(x，yJ,B(w，y2)，联立《石一，消工，利用韦达定理求得X+%，%%，再

［x=ty+m

利用弦长公式结合基本不等式即可得出答案.

［小问1详解］

解：因为演为分别为椭圆的右顶点和上顶点，则为(0,0),生(0,1),

可得直线4员的方程为国+y=l，即X+0y—0=0,

则原点到直线4B,的距离d二昱,

2

则圆E的半径r=d=Y3，

2

所以圆E的方程为/+/==；

［小问2详解］

解：由题意知：m>»

2

可设直线/的方程为x=)+m,

帆石而223产+3

则-7」!==—，所以m-=--------

7^7124

设4(不凹),8(9,必)，

2

X।2_j

联立《,消x整理得（产+3）/+2加9+加2—3=0,

x=ty+m

A=4rm2-4（/+3）（〃，-3）=12（r-m2+3）=3（r+9）>0,

2tmm2-3

则y+%

|A5|=J1+产-+4»必

2tmjm2-3

=Ji+产•I一F

r+3

同2+9)

Ji+7•

於+3

3〉》

S卜+――

V厂+下+6

<V3-1+-^=—=2

\、FI+6

Q

当且仅当『=5，即时，取等号,

所以|A8|的最大值为2.

21.设函数/（x）=j?-,awR.

(1)若a=l,求曲线y=/(%)在点(1,/(D)处的切线方程;

(2)若存在/eU，e］,使得/(不)<-6(。+6)成立，求”的取值范围.

［答案］a)y=x

,1、

(2)(-oo,-e——)

e

［解析］

［分析］(1)令a=l,分别求出了⑴=1，/(1)=1,从而得到答案；

22

(2)化简得x—0nx+三坟<0,设g(x)=x—alnx+hC,对g(x)求导，利用导函数的思想分类讨

XX

论最终求出答案.

［小问1详解］

令a=l,得/(x)=x2-x］nx,尤>0

/.f'(x)-2x-\nx—l

.•./⑴=1,/⑴=1

...y=x曲线y=/(x)在点(1,/(I))处的切线方程.

［小问2详解］

/(x)<-e(«+e)

，X2-axlnx<-e(a+e)

化简得x-alnx+^^<0,

X

2

设g(x)=x-。Inx+e+"C

x

222

mil，/、，ae+tzex-ax-(e+ae)(尤一e-a)(x+e)

则g0)=1-------------=------------$----------=-----------2---------，

XXXX

Vxe［l,e］,Ax+e>(),令g'(%)=0,得到x=e+a

若e+Q<l,即。Wl—e时，g'(尤)NO,g。)在x£［l,e］上单调递增，

♦-1-e21

只需g⑴=l+e2+“e<0即可，解得〃=—e—±；

ee

若e+aNe,即。40时,g'(x)<0,g(x)在xe［l,e］上单调递减，

只需g(e)=e-a+e+a=2e<0,此时不成立；

若l<e+a<e,即1一e<a<0时，

当xe［1,e+a)时g'(x)<0,此时g(x)是单调递减,

当xe(e+a,e］时g'(x)>0,此时g(x)是单调递增,

g(x)在xe［1,e］上的最小值为g(e+a)=2e+a-aIn(e+a)

只需2e+a—aln(e+a)<0,即“+〉in(e+a)

Vl-e<a<0><o,0<ln(e+a)<l,则“+为>g(e+a)不成立,

aa

综上所述：。的取值范围为

e

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域

内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］