比例线段及有关定理

关于比例线段及有关定理2四条线段成比例：

(1)定义：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段.

如a=9cm,b=6cm,c=6cm,d=4cm.

则a,b,c,d叫作成比例线段.(2)名称：在比例线段a:b=c:d中，a、d叫作比例的外项，b、c叫比例的内项,d叫第四比例项.

若比例内项相同，即a:b=b:d，则b叫a、d的比例中项.一、Whatisit第2页,共36页，2024年2月25日，星期天3比例的性质：

(1)比例的基本性质：

a:b=c:dad=bc.a:b=b:cb2=ac.

(2)合比性质、分比性质：

合分比定理：

如则类似地还有

如果，则

一、Whatisit第3页,共36页，2024年2月25日，星期天(3)等比性质：如则推广：如果

，则其中，m不全为0，、、、…、从到中任取qie，不过是个纸老虎一、Whatisit第4页,共36页，2024年2月25日，星期天(4)黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比。其值为，近似为0.618

一条线段有两个黄金分割点一、WhatisitCAB第5页,共36页，2024年2月25日，星期天黄金比例何谓其“黄金”

据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非常好听，他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数理的方式表达出来。开普勒称其为“神圣分割”也有人称其为“金法”。

计算黄金分割最简单的方法，是计算斐波那契数列1，1，2，3，5，8，13，21，……第二位起相邻两数之比，第6页,共36页，2024年2月25日，星期天

一个很能说明问题的例子是五角星。五角星是非常美丽的，中国的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。黄金比例何谓其“黄金”多么美丽的图形啊！虽然完全无法理解第7页,共36页，2024年2月25日，星期天黄金比例何谓其“黄金”但这就是人们的审美方式…………

这个数字在自然界和人们生活中到处可见：它在造型艺术中具有美学价值，在工艺美术和日用品的比例设计中，采用这一比值能够引起人们的美感。

建筑物中某些线段的比就科学采用了黄金分割，无论是古埃及的金字塔，还是巴黎圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，都有与0.618有关的数据。

就连植物界也有采用黄金分割的地方，如果从一棵嫩枝的顶端向下看，就会看到叶子是按照黄金分割的规律排列着的。

在很多科学实验中，选取方案常用一种0.618法，即优选法，它可以使我们合理地安排较少的试验次数找到合理的配方和合适的工艺条件。。第8页,共36页，2024年2月25日，星期天

在艺术创作中，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的0.618处。黄金矩形的长宽之比为黄金分割率。黄金分割率和黄金矩形能够给画面带来美感，《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸也符合黄金矩形，《最后的晚餐》同样也应用了该比例布局。艺术家们认为弦乐器的琴马放在琴弦的0.618处，能使琴声更加柔和甜美。第9页,共36页，2024年2月25日，星期天黄金比例何谓其“黄金”

黄金分割与人的关系相当密切。地球表面的纬度范围是0—90°，对其进行黄金分割，则34.38°—55.62°正是地球的黄金地带。无论从平均气温、年日照时数、年降水量、相对湿度等方面都是具备适于人类生活的最佳地区。说来也巧，这一地区几乎囊括了世界上所有的发达国家。人体美学观察受到种族、社会、个人各方面因素的影响，牵涉到形体与精神、局部与整体的辩证统一，只有整体的和谐、比例协调，才能称得上一种完整的美。人体有14个黄金点，你知道在哪里么？第10页,共36页，2024年2月25日，星期天黄金比例何谓其“黄金”

一个健壮中年男子，两臂微斜上举，两腿叉开，以他的头、足和手指各为端点，正好外接一个圆形。同时在画中清楚可见叠着另一幅图像：男子两臂平伸站立，以他的头、足和手指各为端点，正好外接一个正方形。这就是名画《维特鲁威人》，出自文艺复兴艺术巨匠达芬奇之手。从图中看到从人体中能找到三角形、四边形、五边形、等边三角形、圆形

第11页,共36页，2024年2月25日，星期天“永远吃不完”的巧克力

一块成黄金比例的巧克力经过多次黄金分割和位移得到一个等比例的黄金比例图形。这块小的巧克力再进行分割，无穷无尽啊。咋会这样？障眼法么？第12页,共36页，2024年2月25日，星期天※如何用尺规作出黄金分割点：（1）作出线段BA的中点C（2）过A作线段BA的垂线，在垂线上截取线段AD，使AD=AC（3）联结BD，在BD上截取DE=DA，在线段AB上截取BF=BE，则点F为线段BA的黄金分割点一、WhatisitFBA第13页,共36页，2024年2月25日，星期天※黄金三角形什么是黄金三角形？所谓黄金三角形是一个等腰三角形，其腰与底的长度比为黄金比证明：角平分线定理？一、Whatisit第14页,共36页，2024年2月25日，星期天二、平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

l1∥l2∥l3.证明？第15页,共36页，2024年2月25日，星期天二、平行线分线段成比例定理1平行线分线段成比例定理：推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.2三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.3预备定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.

若则ED证明？F第16页,共36页，2024年2月25日，星期天中位线定理三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。反之亦得第17页,共36页，2024年2月25日，星期天※梅涅劳斯定理（梅氏定理）当直线交三边所在直线

于点

时，GFG

拓展1第18页,共36页，2024年2月25日，星期天※角平分线定理三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例

拓展2在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC

反之亦得E证明：作DE∥BC交AB于E，则AB：BC=AE：ED又∠DBC=∠DBE，DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=∠DBE∴BE=ED∴AE：ED=AE：BE=AD：DC∴AB：BC=AD：DC第19页,共36页，2024年2月25日，星期天

拓展2※角平分线定理三角形的外角平分线定理：三角形的外角平分线外分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D，则BD︰CD=AB︰AC。第20页,共36页，2024年2月25日，星期天Let’spractise.例1.已知线段a=12cm，b=1dm，c=8cm，d=15cm.(1)线段a、b、c、d是否是成比例的线段？解：∴a、b、c、d不是成比例的线段.(2)经过重新排列后，以上四条线段能否是成比例的线段？解：∵12×10=120,15×8=120,∴ab=cd.

∴a、c、d、b或a、d、c、b是成比例的线段.第21页,共36页，2024年2月25日，星期天例2：(2)已知,且,则的值是_____________14逢比设kLet’spractise.第22页,共36页，2024年2月25日，星期天三、例题和练习：例1.如图，若EF∥AB,DE∥AC,以下比例正确的有（）个.A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.C第23页,共36页，2024年2月25日，星期天例2.已知：如图梯形ABCD中，AD∥BC,AC、BD相交于O.过O作AD的平行线交AB于M，交CD于N.

求证：MO=ON.证明：∵AD∥BC,MN∥AD.MN∥BC.

在△ABC中，∵MO∥BC.

在△DBC中，∵ON∥BC.

即MO=ON.三、例题和练习：第24页,共36页，2024年2月25日，星期天例3.已知，如图，在△OCE中，BD∥CE,AD∥BE.

求证：OB是OA和OC的比例中项.证明:在△OCE中，∵BD∥CE.

在△OBE中，∵AD∥BE.

即OB2=OA·OC.

∴OB是OA和OC的比例中项.三、例题和练习：第25页,共36页，2024年2月25日，星期天例4、如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步，并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上．求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？解：∴∴

∴∴BD=30750步∴AB=753丈三、例题和练习：第26页,共36页，2024年2月25日，星期天例5.已知：如图△ABC中，D、E分别是AB、AC上两点，DE、BC的延长线相交于F.AD=CF.

求证：证明：作DN∥BC交AC于N.

则

∵AD=CF.

在△ABC中，DN∥BC.三、例题和练习：第27页,共36页，2024年2月25日，星期天例5.已知：如图△ABC中，D、E分别是AB、AC上两点，DE、BC的延长线相交于F.AD=CF.

求证：另解：直线DEF截△ABC

∵AD=CF∴∴第28页,共36页，2024年2月25日，星期天五、练习题1、如图已知，求证：===

证明：由合比性质可得

两边同时加上1，等式依然成立，通分后即第29页,共36页，2024年2月25日，星期天2、如图BD，CE是△ABC的中线，P，Q分别是BD，CE的中点，则PQ∶BC等于（）A.1∶3B.1∶4C.1∶5D.1∶6五、练习题解：连结ED，连结DQ并延长，交BC于点F

由中位线定理，EDBC

又Q为EC中点，P为BD中点，∴

∴FC=ED=BC，PQ=BF=（BC-FC)=BC∴PQ：BC=1：4FB第30页,共36页，2024年2月25日，星期天五、练习题3、在边长为8的正方形ABCD中，P为AD上一点，且AP＝5，BP的垂直平分线交AB、DC分别于E，F，Q为垂足，试求EQ：QF的值．G解：延长BP、CD交于G∵ABCD是正方形∴CG∥AB，AD=CD=AB=8∴DP=3∴

又EF垂直平分BP，∴PQ=QB∴GQ=GP+PQ=PB+PB=PB

∴EQ：QF=PB：GP=PB：PB=5：11第31页,共36页，2024年2月25日，星期天五、练习题4、在△ABC中，AC=2AB，∠A的平分线交BC于D，过D分别作AB、AC的平行线交AC、AB于F、E，FE和CB的延长线交予G，求证EF=FG。证明：由ED∥AC，及AD平分∠BAC，知故GF=2GE

因此EF=EG

第32页,共36页，2024年2月25日，星期天五、练习题*5、梯形ABCD中，AD∥BC（AD<BC），AC和BD交于M，过M作EF∥AD，交AB、CD于E、F，EC和FB交于N，过N作

GH∥AD，交AB、CD于G、H，求证：证明：

故同理故同理两式相加，整理后得证第33页,共36页，2024年2月25日，星期天五、练习题6、如图梯形