函数的最值与导数公开课

关于函数的最值与导数公开课0xyabf(a)f(b)

复旧知新问题一：函数极值相关概念（1）若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都小，满足f'(b)=0且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则把点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。（2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,满足f'(a)=0且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。第2页,共16页，2024年2月25日，星期天

复旧知新问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？解方程f'(x)=0。当f'(x0)=0时：（1）如果在x0附近的左侧f'(x)>0，右侧

f'(x)<0

,那么f(x0)是极大值；（2）如果在x0附近的左侧f'(x)<0，右侧f'(x)>0,那么f(x0)是极小值；第3页,共16页，2024年2月25日，星期天

观察区间[a,b]上函数y=f(x)的图象，你能找出它的极大值和极小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？

讲授新课x1极大值：f(x2)，f(x4)，f(x6)极小值：f(x1)，f(x3)，f(x5)最大值：f(a)最小值：f(x3)x2x3x4x5x6ba第4页,共16页，2024年2月25日，星期天规律总结（1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体概念；（2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一个最大值或最小值；（3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。最值特点：第5页,共16页，2024年2月25日，星期天oxyaby=f(x)y=f(x)oxyaboxyaby=f(x)oxyaby=f(x)性质探究探究问题1：开区间上的最值问题结论

在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值。若有最值，一定在极值点处取得。

如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？第6页,共16页，2024年2月25日，星期天性质探究探究问题2：闭区间上的最值问题y=f(x)abx1x2x4x3yxoaby=f(x)

如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。结论

特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单调函数，则最值则在端点处取得。yxo第7页,共16页，2024年2月25日，星期天例1.给出下列说法：（1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大值便是最大值，极小值便是最小值。（2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。（3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值；反之，若有极值，则一定有最值。（4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极值。其中说法正确的有（）牛刀小试(4)第8页,共16页，2024年2月25日，星期天

一般地，求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：

(1)求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值；

(2)计算端点处的函数值f(a),f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

提炼升华第9页,共16页，2024年2月25日，星期天典例精讲例2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3,5]上的最值。解：f'(x)=48-3x2=-3(x2-16)=-3(x-4)(x+4)令f'(x)=0，得

x=4或x=-4（舍）当-3<x<4时，f'(x)>0，函数单调递增；

当4<x<5时，f'(x)<0，函数单调递减；所以当x=4时，函数取得极大值，且极大值f(4)=128；

又f(-3)=-117,f(5)=115所以函数在区间[-3,5]

上最大值为

128，最小值为-117.

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求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2,1]上的最值解：

又f(-2)=1,f(1)=-8所以函数在区间[-2,1]

上最大值为

12,最小值为-8

巩固练习f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)，令f'(x)=0，得x=-1或x=2（舍）当-2<x<-1时，f'(x)>0，函数单调递增；当-1<x<1时，f'(x)<0，函数单调递减；所以当x=-1时，函数取得极大值，且极大值f(-1)=12；第11页,共16页，2024年2月25日，星期天课堂小结1.规律总结；（1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体概念；（2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一个最大值或最小值；（3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。2.函数存在最值的的条件;3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤.第12页,共16页，2024年2月25日，星期天课堂小结1.规律总结；2.函数存在最值的的条件;3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤.

一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。第13页,共16页，2024年2月25日，星期天课堂小结1.规律总结；2.函数存在最值的的条件;3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤.(1)求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值；(2)计算端点处的函数值f(a),f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最大值，最小