抛物线的简单几何性质一

关于抛物线的简单几何性质一定义：在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.抛物线的定义及标准方程准线方程焦点坐标标准方程图形xFOylxFOylxFOylxFOyly2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)y2=2px(p>0)x2=-2py(p>0)一、温故知新第2页,共23页，2024年2月25日，星期天范围1、由抛物线y2=2px（p>0）有所以抛物线的范围为二、探索新知如何研究抛物线y2=2px（p>0）的几何性质?抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。第3页,共23页，2024年2月25日，星期天对称性2、关于x轴对称即点(x,-y)

也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.则(-y)2=2px若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，第4页,共23页，2024年2月25日，星期天顶点3、定义：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点。在y2=2px(p>0)中，令y=0,则x=0.即：抛物线y2=2px(p>0)的顶点（0，0）.只有一个注:这与椭圆有四个顶点,双曲线有两个顶点不同。第5页,共23页，2024年2月25日，星期天离心率4、P(x,y)抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率。由定义知，抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.

下面请大家得出其余三种标准方程抛物线的几何性质。第6页,共23页，2024年2月25日，星期天

归纳：抛物线的几何性质图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x轴y轴1第7页,共23页，2024年2月25日，星期天特点：1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;思考：抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P(x,y)P越大,开口越开阔第8页,共23页，2024年2月25日，星期天y2=2pxxyo·FlAB过焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线截得的线段AB叫做抛物线的通径，长度为2pP越大，开口越阔补充（1）通径：（标准方程中2p的几何意义）利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图。第9页,共23页，2024年2月25日，星期天补充（1）通径：|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：（标准方程中2p的几何意义）第10页,共23页，2024年2月25日，星期天总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１；抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；抛物线的通径为2P,2p越大，抛物线的张口越大.1、范围：2、对称性：3、顶点：4、离心率：5、通径：第11页,共23页，2024年2月25日，星期天

因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），解:所以设方程为：又因为点M在抛物线上：所以：因此所求抛物线标准方程为：

例１：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，），求它的标准方程.三、典例精析坐标轴当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m≠0)(x2=2my(m≠0)),可避免讨论第12页,共23页，2024年2月25日，星期天变式：求顶点在坐标原点，对称轴

为坐标轴，并且经过点M（２，）

的抛物线的标准方程。或第13页,共23页，2024年2月25日，星期天练习１：顶点在坐标原点，焦点在y轴上，并且经过点M（4,２)的抛物线的标准方程为()第14页,共23页，2024年2月25日，星期天练习2：顶点在坐标原点，对称轴是X轴，点M（-5,)到焦点距离为6,则抛物线的标准方程为()或D第15页,共23页，2024年2月25日，星期天例2、斜率为1的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。第16页,共23页，2024年2月25日，星期天xyOFABB’A’例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法一:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1设则第17页,共23页，2024年2月25日，星期天xyOFABB’A’例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y2=4x解法二:由题意可知,第18页,共23页，2024年2月25日，星期天分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．变式：过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．第19页,共23页，2024年2月25日，星期天证明：如图．

所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜

=2｜EH｜第20页,共23页，2024年2月25日，星期天

练习:1.已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是______________.2.过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为_________3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B,且|AB|=,求直线AB的方程y2=8xX=3第21页,共23页，2024年2月25日，星期天四、归纳总结抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,