人教版九年级数学上册同步压轴题专题09几何旋转综合问题（原卷版+解析）

专题09几何旋转综合问题类型一、三角形中的旋转问题例．如图，已知等边中，点D、E、F分别为边、、的中点，M为直线上一动点，为等边三角形(点M的位置改变时，也随之整体移动)．(1)如图1，当点M在点B左侧时，请你连结，并判断与有怎样的数量关系？点F是否在直线上？请写出结论，并说明理由；(2)如图2，当点M在上时，其它条件不变，(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若点M在点C右侧时，请你判断(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由．【变式训练1】如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点(不与点，重合)，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．(1)证明：；(2)如图2，连接，，交于点．①证明：在点的运动过程中，总有；②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．(1)当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为；②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为(用含a的式子表示)．(2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．【变式训练3】如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．(1)如图1，猜想∠QEP=°；(2)如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；(3)如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．【变式训练4】两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．(1)如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；(2)如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；(3)如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，(1)中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【变式训练5】在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．(1)如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD的大小为_________；(2)如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；(3)已知∠BAC的大小为m()，若∠CBD的大小与(2)中的结果相同，请直接写出的大小．类型二、四边形中的旋转问题例．如图1，在ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；(2)如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC(点C、F不重合)，并说明理由．【变式训练1】在正方形的边上任取一点，作交于点，取的中点，连接、，如图，易证

且．将绕点逆时针旋转，如图，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．将绕点逆时针旋转，如图，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．【变式训练2】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点.分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°<<360°)得到正方形，如图2．①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．【变式训练3】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°(1)将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1)，求证：BE+DF=EF；(2)若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N(如图2)，求证：(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变(如图3)，直接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系．【变式训练4】在▱ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F(1)在图1中证明CE=CF；(2)若∠ABC=90°，G是EF的中点(如图2)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC=120°，FGCE，FG=CE，分别连接DB、DG(如图3)，求∠BDG的度数．专题09几何旋转综合问题类型一、三角形中的旋转问题例．如图，已知等边中，点D、E、F分别为边、、的中点，M为直线上一动点，为等边三角形(点M的位置改变时，也随之整体移动)．(1)如图1，当点M在点B左侧时，请你连结，并判断与有怎样的数量关系？点F是否在直线上？请写出结论，并说明理由；(2)如图2，当点M在上时，其它条件不变，(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若点M在点C右侧时，请你判断(1)的结论中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请直接写出结论：若不成立，请说明理由．【答案】(1)相等，在，理由见解析；(2)成立，证明见解析；(3)成立．【详解】解：(1)EN=MF，点F在直线NE上，理由如下：如图1，连接DE、DF、EF，NF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，，又∵点D、E、F分别为边、、的中点，∴DE、DF、EF为等边△ABC的中位线，，∴DE=DF=EF，∴∠FDE=∠DFE=60°∵D、F分别是AB、BC的中点，∴，∴△DBF是等边三角形，∴∠BDF=60°，∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，∴∠MDN-∠BDN=∠BDF-∠BDN，即∠MDB=∠NDF，在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN，∵∠ABC=60°，∴∠DBM=120°，∴∠NFD=120°，∴∠NFD+∠DFE=120°+60°=180°，∴N、F、E三点共线，∴F在直线NE上；∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠FDE+∠NDF=∠MDN+∠NDF，∴∠MDF=∠NDE，在△DMF和△DNE中，∵DF=DE，∠MDF=∠NDE，DM=DN，∴△DMF≌△DNE，∴MF=NE，(2)成立，理由如下：如图2，连接DF，NF，EF，∵△ABC是等边三角形且D、F分别是AB、BC的中点，∴，，∴△DBF是等边三角形，∴∠BDF=∠DBF=60°，∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=60°，DM=DN，∴∠MDN=∠BDF=60°，DB=DF，∴∠MDN-∠FDM=∠BDF-∠FDM，即∠MDB=∠NDF，在△DMB和△DNF中，∵DM=DN，∠MDB=∠NDF，DB=DF，∴△DMB≌△DNF，∴∠DBM=∠DFN=60°，BM=FN，∴∠DFN=∠FDB=60°，∴NF∥BD，∵E，F分别为边AC，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线，，∴EF∥BD，，∴F在直线NE上，BF=EF，∴MF=EN；(3)MF与EN相等的结论仍然成立，理由如下：如图3，连接DF、DE，EF，∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，又∵点D、E、F分别为边、、的中点，∴DE、DF、EF为等边△ABC的中位线，，∴DE=DF=EF，∴△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°，∵△DMN是等边三角形，∴∠MDN=∠FDE=60°，DM=DN，∴∠EDM+∠NDE=∠EDM+∠FDM，∴∠NDE=∠FDM，在△DNE和△DMF中，∵DE=DF，∠NDE=∠FDM，DN=DM，△DNE≌△DMF，∴MF=NE．【变式训练1】如图1，在等腰直角三角形中，．点，分别为，的中点，为线段上一动点(不与点，重合)，将线段绕点逆时针方向旋转得到，连接，．(1)证明：；(2)如图2，连接，，交于点．①证明：在点的运动过程中，总有；②若，当的长度为多少时，为等腰三角形？【答案】(1)见详解；(2)①见详解；②当的长度为2或时，为等腰三角形【详解】解：(1)∵线段绕点A逆时针方向旋转得到，∴AH=AG，∠HAG=90°，∵在等腰直角三角形中，，AB=AC，∴∠BAH=90°-∠CAH=∠CAG，∴；(2)①∵在等腰直角三角形中，AB=AC，点，分别为，的中点，∴AE=AF，是等腰直角三角形，∵AH=AG，∠BAH=∠CAG，∴，∴∠AEH=∠AFG=45°，∴∠HFG=∠AFG+∠AFE=45°+45°=90°，即：；②∵，点，分别为，的中点，∴AE=AF=2，∵∠AGH=45°，为等腰三角形，分3种情况：(a)当∠QAG=∠QGA=45°时，如图，则∠HAF=90°-45°=45°，∴AH平分∠EAF，∴点H是EF的中点，∴EH=；(b)当∠GAQ=∠GQA=(180°-45°)÷2=67.5°时，如图，则∠EAH=∠GAQ=67.5°，∴∠EHA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠EHA=∠EAH，∴EH=EA=2；(c)当∠AQG=∠AGQ=45°时，点H与点F重合，不符合题意，舍去，综上所述：当的长度为2或时，为等腰三角形．【变式训练2】如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°．若固定△ABC，将△DEC绕点C旋转．(1)当△DEC统点C旋转到点D恰好落在AB边上时，如图2．①当∠B=∠E=30°时，此时旋转角的大小为；②当∠B=∠E=α时，此时旋转角的大小为(用含a的式子表示)．(2)当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小杨同学猜想：△BDC的面积与△AEC的面积相等，试判断小杨同学的猜想是否正确，若正确，请你证明小杨同学的猜想．若不正确，请说明理由．【答案】(1)①60°；②2α；(2)小杨同学猜想是正确的．证明见解析．【详解】解：(1)①∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴∠CAD=90°﹣30°=60°．∵CA=CD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=60°，∴旋转角为60°．故答案为：60°．②如图2中，作CH⊥AD于H．∵CA=CD，CH⊥AD，∴∠ACH=∠DCH．∵∠ACH+∠CAB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACH=∠B，∴∠ACD=2∠ACH=2∠B=2α，∴旋转角为2α．故答案为：2α．(2)小杨同学猜想是正确的．证明如下：过B作BN⊥CD于N，过E作EM⊥AC于M，如图3，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°，∴∠1=∠3．∵BN⊥CD于N，EM⊥AC于M，∴∠BNC=∠EMC=90°．∵△ACB≌△DCE，∴BC=EC，在△CBN和△CEM中，∠BNC=∠EMC，∠1=∠3，BC=EC，∴△CBN≌△CEM(AAS)，∴BN=EM．∵S△BDC•CD•BN，S△ACE•AC•EM．∵CD=AC，∴S△BDC=S△ACE．【变式训练3】如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点(点P与点A不重合)，连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．(1)如图1，猜想∠QEP=°；(2)如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；(3)如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．【答案】(1)∠QEP=60°；(2)∠QEP=60°，证明详见解析；(3)【详解】解：(1)∠QEP=60°；证明：连接PQ，如图1，由题意得：PC=CQ，且∠PCQ=60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠PCA=∠QCB，则在△CPA和△CQB中，，∴△CQB≌△CPA(SAS)，∴∠CQB=∠CPA，又因为△PEM和△CQM中，∠EMP=∠CMQ，∴∠QEP=∠QCP=60°.故答案为60；(2)∠QEP=60°.以∠DAC是锐角为例.证明：如图2，∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠ACB=60°，∵线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，∴CP=CQ，∠PCQ=60°，∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ，即∠ACP=∠BCQ，在△ACP和△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ(SAS)，∴∠APC=∠Q，∵∠1=∠2，∴∠QEP=∠PCQ=60°；

(3)连结CQ，作CH⊥AD于H，如图3，与(2)一样可证明△ACP≌△BCQ，∴AP=BQ，∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，∴∠APC=30°，∠CAH=45°，∴△ACH为等腰直角三角形，∴AH=CH=AC=×4=，在Rt△PHC中，PH=CH=，∴PA=PH−AH=－，∴BQ=−.【变式训练4】两块等腰直角三角板△ABC和△DEC如图摆放，其中∠ACB=∠DCE=90°，F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点．(1)如图1，若点D、E分别在AC、BC的延长线上，通过观察和测量，猜想FH和FG的数量关系为______和位置关系为______；(2)如图2，若将三角板△DEC绕着点C顺时针旋转至ACE在一条直线上时，其余条件均不变，则(1)中的猜想是否还成立，若成立，请证明，不成立请说明理由；(3)如图3，将图1中的△DEC绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图3，(1)中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【答案】(1)相等，垂直．(2)成立，证明见解析；(3)成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．【详解】解：(1)∵CE=CD，AC=BC，∠ECA=∠DCB=90°，∴BE=AD，∵F是DE的中点，H是AE的中点，G是BD的中点，∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，∵AD⊥BE，∴FH⊥FG，故答案为相等，垂直．(2)答：成立，证明：∵CE=CD，∠ECD=∠ACD=90°，AC=BC，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，由(1)知：FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∴FH=FG，FH⊥FG，∴(1)中的猜想还成立．(3)答：成立，结论是FH=FG，FH⊥FG．连接AD，BE，两线交于Z，AD交BC于X，同(1)可证，∴FH=AD，FH∥AD，FG=BE，FG∥BE，∵三角形ECD、ACB是等腰直角三角形，∴CE=CD，AC=BC，∠ECD=∠ACB=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，∴△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∠EBC=∠DAC，∵∠DAC+∠CXA=90°，∠CXA=∠DXB，∴∠DXB+∠EBC=90°，∴∠EZA=180°﹣90°=90°，即AD⊥BE，∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG，即FH=FG，FH⊥FG，结论是FH=FG，FH⊥FG.【变式训练5】在△ABC中，AB=AC，将线段AC绕着点C逆时针旋转得到线段CD，旋转角为，且，连接AD、BD．(1)如图1，当∠BAC=100°，时，∠CBD的大小为_________；(2)如图2，当∠BAC=100°，时，求∠CBD的大小；(3)已知∠BAC的大小为m()，若∠CBD的大小与(2)中的结果相同，请直接写出的大小．【答案】(1)30°；(2)30°；(3)为或或．【详解】解：(1)解(1)∵，，∴，∵，，∴为等边三角形，∴．又∵，∴为等腰三角形，，∴．(2)方法1：如图作等边，连接、．，．，，．，．．①，，．②，③；由①②③，得，，．，，．，，．．．④，，．⑤，⑥；由④⑤⑥，得．．．．．方法2如下图所示，构造等边三角形ADE，连接CE．∵在等腰三角形ACD中，，∴，∵，∴．可证．结合角度，可得，．在和中，，∴，∴．∵，∴．方法3如下图所示，平移CD至AE，连接ED，EB，则四边形ACDE是平行四边形．∵，∴四边形ACDE是菱形，∴，．∴，∴，∴是等边三角形，是等腰三角形，∴，，∴．∴．(3)由(1)知道，若，时，则；①由(1)可知，设时可得，，，．②由(2)可知，翻折到△，则此时，，，③以为圆心为半径画圆弧交的延长线于点，连接，，，．综上所述，为或或时，．类型二、四边形中的旋转问题例．如图1，在ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．(1)如果AB＝AC，∠BAC＝90°．①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为．②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立？并说明理由；(2)如图4，如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC(点C、F不重合)，并说明理由．【答案】(1)①垂直，相等；②成立，理由见解析；(2)45°，理由见解析【详解】解：(1)①CF与BD位置关系是垂直，数量关系是相等，理由是：如图2，∵四边形ADEF是正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，∴∠DAC+∠CAF＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，且∠B＝∠ACB＝45°，∴∠CAF＝∠BAD，∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF，∠B＝∠ACF＝45°，∴∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即∠BCF＝90°，∴BC⊥CF，即BD⊥CF；故答案为：垂直，相等；②当点D在BC的延长线上时，①的结论仍成立，理由是：如图3，由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAF＝∠BAC，∴∠DAB＝∠FAC，又∵AB＝AC，∴△DAB≌△FAC，∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ACF＝∠ABC＝45°∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；(2)当∠BCA＝45°时，CF⊥BD，理由是：如图4，过点A作AQ⊥AC，交BC于点Q，∵∠BCA＝45°，∴∠AQC＝45°，∴∠AQC＝∠BCA，∴AC＝AQ，∵AD＝AF，∠QAC＝∠DAF＝90°，∴∠QAC﹣∠DAC＝∠DAF﹣∠DAC，∴∠QAD＝∠CAF，∴△QAD≌△CAF，∴∠ACF＝∠AQD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD．【变式训练1】在正方形的边上任取一点，作交于点，取的中点，连接、，如图，易证

且．将绕点逆时针旋转，如图，则线段和有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．将绕点逆时针旋转，如图，则线段和又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．【答案】，；，．

【详解】解：，．，．证明：延长交延长线于，连．∵，，，∴四边形是矩形．∴，，由图可知，∵平分，，∴，又∵，∴为等腰直角三角形，∴，．∴．∵，，∴．∵，，∴．∵，∴，又∵，，∴．∵在与中，，∴．∴，．

∵，，，∴，∴，∴，即，∴．【变式训练2】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点.分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．(1)求证：DE⊥AG；(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°<<360°)得到正方形，如图2．①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；(注明：当直角边为斜边一半时，这条直角边所对的锐角为30度)②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由．【答案】(1)DE⊥AG(2)①当∠为直角时，α=30°或150°.②315°【详解】如图1，延长ED交AG于点H，点O是正方形ABCD两对角线的交点，，，在和中，，≌，，，，，即；在旋转过程中，成为直角有两种情况：Ⅰ由增大到过程中，当时，，在中，sin∠AGO=，，，，，即；Ⅱ由增大到过程中，当时，同理可求，．综上所述，当时，或．如图3，当旋转到A、O、在一条直线上时，的长最大，正方形ABCD的边长为1，，，，，，，此时．【变式训练3】在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°(1)将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABG(如图1)，求证：BE+DF=EF；(2)若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M、N(如图2)，求证：(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变(如图3)，直接写出线段EF、BE、DF之间的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)=2．【详解】(1)证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE(SAS)；(2)证明：设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由(1)知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a-BE=a-DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2