抛物线及其标准方程-同步作业2020-2021学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

PAGE二十六抛物线及其标准方程(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知抛物线的标准方程为y2=ax,则其焦点坐标为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE2.抛物线y=QUOTEx2的准线方程是 ()A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-23.点M(5,3)到抛物线y=ax2准线的距离为6,那么抛物线的方程是 ()A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2 D.y=QUOTEx2或y=-QUOTEx24.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.4二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知抛物线的方程为x=QUOTEy2,则该抛物线的准线方程是.

6.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上的一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-QUOTE,那么|PF|=.

三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.8.如图所示,抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴上,准线l与圆x2+y2=1相切.(1)求抛物线C的方程.(2)若点A,B都在抛物线C上,且=2,求点A的坐标.(15分钟·30分)1.(5分)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为 ()A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y2.(5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,其准线与双曲线QUOTE-QUOTE=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= ()A.3 B.4 C.6 D.83.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4QUOTEx的焦点,P为C上一点,若|PF|=4QUOTE,则△POF的面积为 ()A.2 B.2QUOTE C.2QUOTE D.44.(5分)以椭圆QUOTE+QUOTE=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为.

5.(10分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上两点A,B,且AB⊥y轴,OA⊥OB,△AOB的面积为16,求抛物线C的方程.1.已知抛物线y=QUOTEx2与双曲线QUOTE-x2=1(a>0)有共同的焦点F,O为坐标原点,P在x轴上方且在双曲线上,则·的最小值为.

2.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M到定点AQUOTE和焦点F的距离之和的最小值等于5,求抛物线的方程. 二十六抛物线及其标准方程(25分钟·50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.已知抛物线的标准方程为y2=ax,则其焦点坐标为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.抛物线的标准方程为y2=ax,则其焦点坐标为QUOTE.2.抛物线y=QUOTEx2的准线方程是 ()A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2【解析】选A.因为y=QUOTEx2,所以x2=4y,所以抛物线的准线方程是y=-1.3.点M(5,3)到抛物线y=ax2准线的距离为6,那么抛物线的方程是 ()A.y=12x2 B.y=12x2或y=-36x2C.y=-36x2 D.y=QUOTEx2或y=-QUOTEx2【解析】选D.分两类a>0,a<0可得y=QUOTEx2,y=-QUOTEx2.4.抛物线y=2x2的焦点到准线的距离为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.4【解析】选C.根据题意,抛物线的方程为y=2x2,其标准方程为x2=QUOTEy,其中p=QUOTE,则抛物线的焦点到准线的距离p=QUOTE.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知抛物线的方程为x=QUOTEy2,则该抛物线的准线方程是.

【解析】x=QUOTEy2,焦点在x轴上,且QUOTE=9,所以抛物线的准线方程是x=-9.答案:x=-96.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上的一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-QUOTE,那么|PF|=.

【解析】如图,∠AFE=60°,因为点F(2,0),所以点E(-2,0),则QUOTE=tan60°,即|AE|=4QUOTE,所以点P的坐标为(6,4QUOTE),故|PF|=|PA|=6+2=8.答案:8三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知动圆M与直线y=2相切,且与定圆C:x2+(y+3)2=1外切,求动圆圆心M的轨迹方程.【解析】设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等,则动圆圆心的轨迹是以C(0,-3)为焦点,y=3为准线的一条抛物线,其方程为x2=-12y.8.如图所示,抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点F在y轴上,准线l与圆x2+y2=1相切.(1)求抛物线C的方程.(2)若点A,B都在抛物线C上,且=2,求点A的坐标.【解析】(1)依题意,可设抛物线C的方程为x2=2py(p>0),其准线l的方程为y=-QUOTE.因为准线l与圆x2+y2=1相切,所以圆心(0,0)到准线l的距离d=0-QUOTE=1,解得p=2.故抛物线C的方程为x2=4y.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则QUOTE由题意得F(0,1),所以=(x2,y2-1),=(x1,y1),因为=2,所以(x2,y2-1)=2(x1,y1)=(2x1,2y1),即QUOTE代入②得4QUOTE=8y1+4,即QUOTE=2y1+1,又QUOTE=4y1,所以4y1=2y1+1,解得y1=QUOTE,x1=±QUOTE,即点A的坐标为QUOTE或QUOTE.(15分钟·30分)1.(5分)若点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,则点P的轨迹方程为 ()A.y2=8x B.y2=-8x C.x2=8y D.x2=-8y【解析】选C.由题意知点P到点F(0,2)的距离比它到直线y+4=0的距离小2,因此点P到点F(0,2)的距离与到直线y+2=0的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,y=-2为准线的抛物线,其方程为x2=8y.2.(5分)抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,其准线与双曲线QUOTE-QUOTE=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p= ()A.3 B.4 C.6 D.8【解析】选C.如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD=QUOTEp,所以B点坐标为QUOTE,又点B在双曲线上,故QUOTE-QUOTE=1,解得p=6.3.(5分)O为坐标原点,F为抛物线C:y2=4QUOTEx的焦点,P为C上一点,若|PF|=4QUOTE,则△POF的面积为 ()A.2 B.2QUOTE C.2QUOTE D.4【解题指南】由|PF|=4QUOTE及抛物线的定义求出点P的坐标,进而求出面积.【解析】选C.抛物线C的准线方程为x=-QUOTE,焦点F(QUOTE,0),由|PF|=4QUOTE及抛物线的定义知,P点的横坐标xP=3QUOTE,从而yP=±2QUOTE,所以S△POF=QUOTE|OF|·|yP|=QUOTE×QUOTE×2QUOTE=2QUOTE.4.(5分)以椭圆QUOTE+QUOTE=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为.

【解析】因为椭圆的方程为QUOTE+QUOTE=1,所以右顶点为(4,0).设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则QUOTE=4,即p=8,所以抛物线的标准方程为y2=16x.答案:y2=16x5.(10分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上两点A,B,且AB⊥y轴,OA⊥OB,△AOB的面积为16,求抛物线C的方程.【解析】不妨设点A在第一象限且A(m,n),则B(-m,n),可得n2=2pm,AB⊥y轴,且OA⊥OB,即△AOB为等腰直角三角形,则OA的斜率为1,即m=n,△AOB的面积为16,可得QUOTE·2m·n=16,解得m=n=4,p=2,所以抛物线C的方程为x2=4y.1.已知抛物线y=QUOTEx2与双曲线QUOTE-x2=1(a>0)有共同的焦点F,O为坐标原点,P在x轴上方且在双曲线上,则·的最小值为.

【解析】抛物线y=QUOTEx2,即x2=8y的焦点为F(0,2).所以a2=22-12=3,故双曲线的方程为QUOTE-x2=1.设P(x,y),因为点P在x轴上方,故由双曲线的性质可得y≥QUOTE.=(x,y),=(x,y-2),·=x2+y(y-2)=x2+y2-2y=QUOTE+y2-2y-1=QUOTEy2-2y-1=QUOTE-1=QUOTE-QUOTE.因为y=QUOTE<QUOTE,故函数t=QUOTE-QUOTE在[QUOTE,+∞)上单调递增,当y=QUOTE时,取得最小值,最小值为QUOTE×(QUOTE)2-2×QUOTE-1=3-2QUOTE.所以·的最小值为3-2QUOTE.答案:3-2QUOTE2.已知抛物线y2=2px(p>0)上的一点M到定点AQUOTE和焦点F的距离之和的最小值等于5,求抛物线的方程.【解析】抛物线的准线为l:x=-QUOTE.①当点A在抛物线内部时,42<2p·QUOTE,即p>QUOTE时,过M作MA＇⊥l,垂足为A＇,则|MF|+|MA|=|MA＇|+|MA|.当A,M,A＇共线时,(|MF|+|MA