北师大版 2024-2025学年四年级数学上册典型例题系列专题05圆锥的体积(原卷版+解析)

2024-2025学年苏教版数学六年级寒假学习精讲练讲义专题05圆锥的体积1.推导出圆锥体积的计算公式。2.会运用圆锥的体积计算公式计算圆锥的体积。3.培养观察、比较、分析、综合的能力以及初步的空间观念。知识点：圆锥体积的计算方法根据书本上的实验可以得到结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，或者说圆锥的体积是圆柱的三分之一。用字母表示为V圆柱=3V圆锥或者V圆锥=1/3V圆柱。相关公式：只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。①已知半径和高，V圆锥=1/3πr²h②已知直径和高，V圆锥=1/3π(d÷2)²h③已知周长和高，V圆锥=1/3π(C÷2π)²h知识点2：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法：①按底面的直径分割，这样分割的横截面是长方形或者是正方形，如果横截面是正方形说明圆柱的底面直径和高相等。②按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。圆锥横截面的分割方法：①按圆锥的高分割，这样分割的横截面是等腰三角形。②按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。知识点01：圆锥的体积【典例讲解】（2023•成华区）如图，长方形硬纸片长15cm，宽5cm。以长边所在直线为轴旋转一周，请你想象旋转后所形成的图形，再从下面两个问题中任选一个问题解答：①旋转后形成的图形，它的底面周长是多少？②把旋转后形成的图形，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少？【思路点拨】①旋转后形成的图形是圆柱，圆柱底面半径是5cm，高是15cm，底面周长是2×3.14×5＝31.4（5cm），据此解答。【规范解答】解：我选择①题解答。（答案不唯一）2×3.14×5＝3.14×10＝31.4（cm）答：它的底面周长是31.4cm。【考点评析】本题考查的是圆柱和圆锥的底面周长和体积，熟记公式是解答关键。【变式训练1-1】（2023秋•哈尔滨期末）下列说法：①把化成百分数是1.25%。②比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。③等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积等于圆柱体积的。④一件商品进价600元，商场先按进价提价10%，然后再降价10%销售，商场不赔不赚。其中结论正确的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【变式训练1-2】（2023•锦州）一个圆锥体和一个圆柱体的底面半径之比是3：2，高之比是2：3，则它们体积之比是（）A．1：2 B．4：9 C．2：1 D．3：2【变式训练1-3】（2023•湘阴县）丽丽在家中找到一个底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯，在杯中装了一部分水，然后在水中放入一个底面直径为8厘米、高为12厘米的圆锥形铅锤，之后又将铅锤从水中取出。她运用学习过的知识算出了取出铅锤后水下降的高度，你知道水下降了多少厘米吗？【变式训练1-4】（2023•昆明）计算下图的体积。知识点02：组合图形的体积【典例讲解】（2023春•宁乡市月考）如图所示，在密闭的玻璃容器（圆柱部分的高大于10厘米）中装有一些水，水面到底部的高度是10厘米，如果把这个容器倒过来，那么水面到底部的高度是（）厘米。A．4 B．6 C．8 D．10【思路点拨】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此可以求出圆锥容器中的水倒入圆柱形容器中的水深，再加上原来圆柱形容器的水深即可。【规范解答】解：10﹣6＝4（厘米）4+6×＝4+2＝6（厘米）答：如果把这个容器倒过来，那么水面到底部的高度是6厘米。故选：B。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。【变式训练2-1】（2023春•雁江区期中）如图①是一个直立于水平面的几何体（下底面是圆，单位：cm），将这样三个相同几何体拼成图②所示的新几何体，则该几何体体积是cm3？【变式训练2-2】（2023•枣强县）求如图形的体积。【变式训练2-3】（2023•市南区）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，图1是一种木制玩具陀螺，可以看作是一个近似的圆锥和圆柱组合起来的立体图形。玩具陀螺中底面直径和总高度的比约是1：1.2，这样的陀螺转起来更稳定。图2是这个玩具陀螺的直观图，其中B、C分别是上、下底面的圆心，并且AC：AB＝3：1。制作这个陀螺需要多少立方厘米的木料？【变式训练2-4】（2023•黄州区）把一个棱长是6分米的正方体木料削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方分米？一．选择题（共4小题）1．（2023•北票市）一个圆锥的体积是24dm3，它的底面积是12dm2，它的高是（）dm。A． B．96 C．6 D．182．（2023•莆田）我国古代数学名著《九章算术》中记载的圆锥体积计算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一。”也就是用底面周长的平方乘高，再除以36。这种计算方法，圆周率近似值取3。一个圆锥形的沙堆，底面周长30米，高2米。用这种方法算出的沙堆体积是（）立方米。A．50 B．25 C． D．3．（2023•播州区）一个圆锥和一个圆柱的体积和底面积都相等，圆锥的高是24厘米，那么圆柱的高是（）厘米。A．24 B．72 C．8 D．124．（2023•德宏州）圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，它的体积（）A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的一半 D．扩大到原来的4倍二．填空题（共5小题）5．（2023•昆都仑区）淘气用一个边长分别是3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形像如图这样快速旋转，这个三角形扫过的空间是立方厘米。6．（2023•锦州）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是厘米。7．（2023•武进区）如图，将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，所得立体图形的体积是立方厘米，如果以直角边BC为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是立方厘米。8．（2023•永川区）有一张长方形硬纸板（如图），如果将它沿图中虚线剪开，把其中一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，能够形成一个立体图形，这个立体图形的体积最小是立方厘米。9．（2023•朝阳区模拟）如图所示是一个扇形，这个扇形的弧长是18.84厘米；把这个扇形围成圆锥后，它的体积是31.4立方厘米，围成的这个圆锥的高是厘米。（π取3.14）三．判断题（共4小题）10．（2023•遵化市）一个圆锥体高不变，底面半径扩大原来的2倍，这个圆锥的体积也扩大到原来的2倍．（判断对错）11．（2023•开州区）圆锥的高是圆柱的3倍，它们的体积一定相等．．（判断对错）12．（2023春•瑞金市期中）圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积就扩大到原来的9倍．．（判断对错）13．（2023•石河子）一个圆锥底面周长是31.4厘米，高是4厘米，它的体积是314立方厘米。（判断对错）四．计算题（共3小题）14．（2023•萧山区模拟）计算体积。（单位：米）15．（2023•潼南区）求出下面组合体的体积。（单位：cm）。16．（2023春•沙河市期中）求如图所示图形的体积。（单位：cm）五．应用题（共10小题）17．（2023•洛龙区）积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是3cm、高是6cm的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？（π取3.14）（2023•孟津县）一桶16升的溶液，要分装在开口直径8厘米、高15厘米的圆锥形杯子里。至少需要几个这样的杯子？19．（2023•随州）一个装满稻谷的粮囤，如图，上面是圆锥，下面是圆柱。已知圆柱的底面周长是6.28米，圆柱的高是3米，圆锥的高是0.6米，如果每立方米稻谷重100千克，那么这囤稻谷有多少千克？（π取3.14）20．（2023•洞头区）一个圆锥形金属铸件的底面半径2厘米，高3厘米，把它完全浸没在底面半径是4厘米的圆柱形玻璃槽内（玻璃槽足够高），水面上升多少厘米？（2023•莱阳市）从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形状，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了1.5厘米。求这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计）（2023•新荣区）一个底面周长是36厘米的正方体容器中，盛有6厘米深的水。把一个高是6厘米的圆锥形铁块完全没入容器里的水中，现在容器里的水深7厘米。这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？23．（2023•温江区）2023年5月30日9时31分，搭载神舟十六号载人飞船的长征二号F遥十六运载火箭在酒泉卫星发射中心发射升空，整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。右图是实验小学科学小组制作的火箭整流罩的模型，如果整流罩本身的厚度忽略不计，该整流罩的容积是多少立方分米？24．（2023春•襄汾县校级月考）求如图物体的体积。（单位：厘米）25．（2023•江宁区）长征二号F遥十三运载火箭整流罩的底面直径为3.2米。科技馆存放着按一定比例制作的长征二号F遥十三运载火箭的整流罩模型（如图）。（1）科技馆制作整流罩模型的比例是多少？（2）该整流罩模型的体积是多少？（3）如果用一个长方体玻璃盒来存放这个模型，制作这个玻璃盒至少要多少平方分米的玻璃？26．（2023•如皋市）在一个无盖的圆柱形薄铁皮桶里，放入一个圆锥形铁块，然后装满水，铁块浸没在水中。以下是相关信息，请结合这些信息提出一个三步或三步以上计算的问题，并解答。（结果可以保留π）①桶的底面直径是6分米。②铁块的底面直径为3分米。③取出铁块后，水面距离桶沿0.3分米。我的问题：？解答：2024-2025学年苏教版数学六年级寒假学习精讲练讲义专题05圆锥的体积1.推导出圆锥体积的计算公式。2.会运用圆锥的体积计算公式计算圆锥的体积。3.培养观察、比较、分析、综合的能力以及初步的空间观念。知识点：圆锥体积的计算方法根据书本上的实验可以得到结论：等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥的3倍，或者说圆锥的体积是圆柱的三分之一。用字母表示为V圆柱=3V圆锥或者V圆锥=1/3V圆柱。相关公式：只需要在圆柱的相关公式前面乘以三分之一。①已知半径和高，V圆锥=1/3πr²h②已知直径和高，V圆锥=1/3π(d÷2)²h③已知周长和高，V圆锥=1/3π(C÷2π)²h知识点2：圆柱和圆锥的横截面理解掌握：★圆柱横截面的分割方法：①按底面的直径分割，这样分割的横截面是长方形或者是正方形，如果横截面是正方形说明圆柱的底面直径和高相等。②按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。圆锥横截面的分割方法：①按圆锥的高分割，这样分割的横截面是等腰三角形。②按平行于底面分割，这样分割的横截面是圆。知识点01：圆锥的体积【典例讲解】（2023•成华区）如图，长方形硬纸片长15cm，宽5cm。以长边所在直线为轴旋转一周，请你想象旋转后所形成的图形，再从下面两个问题中任选一个问题解答：①旋转后形成的图形，它的底面周长是多少？②把旋转后形成的图形，削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少？【思路点拨】①旋转后形成的图形是圆柱，圆柱底面半径是5cm，高是15cm，底面周长是2×3.14×5＝31.4（5cm），据此解答。【规范解答】解：我选择①题解答。（答案不唯一）2×3.14×5＝3.14×10＝31.4（cm）答：它的底面周长是31.4cm。【考点评析】本题考查的是圆柱和圆锥的底面周长和体积，熟记公式是解答关键。【变式训练1-1】（2023秋•哈尔滨期末）下列说法：①把化成百分数是1.25%。②比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变。③等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积等于圆柱体积的。④一件商品进价600元，商场先按进价提价10%，然后再降价10%销售，商场不赔不赚。其中结论正确的是（）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②③④【思路点拨】①分数化为百分数，用分子除以分母得到小数，再把小数的小数点向右移动2位，再加上百分号；②根据比的基本性质判断即可；③根据等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍判断；④商品进价600，加价10%后的价格是600+600×10%＝660（元），再降价10%，此时的售价是660×（1﹣10%）＝594（元），594＜600，所以商场赔钱了，据此解答即可。【规范解答】解：①把化成百分数是125%，说法错误；②比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0除外），比值不变，说法正确；③等底等高的圆锥和圆柱，圆锥的体积等于圆柱体积的，说法正确；④一件商品进价600元，商场先按进价提价10%，然后再降价10%销售，商场赔钱了，原说法错误。其中结论正确的是②和③。故选：B。【考点评析】本题考查的是所学知识的综合应用，灵活运用所学的知识是解答本题的关键。【变式训练1-2】（2023•锦州）一个圆锥体和一个圆柱体的底面半径之比是3：2，高之比是2：3，则它们体积之比是（）A．1：2 B．4：9 C．2：1 D．3：2【思路点拨】分析题意，设圆锥体的底面半径是3，高是2，则圆柱体的底面半径是2，高是3；再根据圆锥和圆柱的体积公式计算，然后写出它们的体积之比，最后化简即可得到答案。【规范解答】解：设圆锥体的底面半径是3，高是2。则圆柱体的底面半径是2，高是3。圆锥体的体积为：×π×32×2＝3π×2＝6π圆柱体的体积为：π×22×3＝4π×3＝12π6π：12π＝1：2答：它们的体积之比是1：2。故选：A。【考点评析】本题主要考查比的应用，需结合圆锥和圆柱的体积公式求解。【变式训练1-3】（2023•湘阴县）丽丽在家中找到一个底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯，在杯中装了一部分水，然后在水中放入一个底面直径为8厘米、高为12厘米的圆锥形铅锤，之后又将铅锤从水中取出。她运用学习过的知识算出了取出铅锤后水下降的高度，你知道水下降了多少厘米吗？【思路点拨】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，求出圆锥体铅锤的体积，用圆锥体铅锤的体积除以圆柱形玻璃杯的底面积即可。【规范解答】解：×3.14×（8÷2）2×12÷[3.14×（20÷2）2]＝×3.14×16×12÷[3.14×100]＝200.96÷314＝0.64（厘米）答：杯里的水下降0.64厘米。【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。【变式训练1-4】（2023•昆明）计算下图的体积。【思路点拨】根据长方体的体积公式：V＝abh，圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：20×3×3＝60×3＝180（立方厘米）×3.14×（12÷2）2×15＝×3.14×36×15＝565.2（立方分米）答：长方体的体积是180立方厘米，圆锥的体积是565.2立方分米。【考点评析】此题主要考查长方体的体积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。知识点02：组合图形的体积【典例讲解】（2023春•宁乡市月考）如图所示，在密闭的玻璃容器（圆柱部分的高大于10厘米）中装有一些水，水面到底部的高度是10厘米，如果把这个容器倒过来，那么水面到底部的高度是（）厘米。A．4 B．6 C．8 D．10【思路点拨】因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以当圆柱与圆锥的体积相等，底面积也相等时，圆柱的高是圆锥高的，据此可以求出圆锥容器中的水倒入圆柱形容器中的水深，再加上原来圆柱形容器的水深即可。【规范解答】解：10﹣6＝4（厘米）4+6×＝4+2＝6（厘米）答：如果把这个容器倒过来，那么水面到底部的高度是6厘米。故选：B。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。【变式训练2-1】（2023春•雁江区期中）如图①是一个直立于水平面的几何体（下底面是圆，单位：cm），将这样三个相同几何体拼成图②所示的新几何体，则该几何体体积是188.4cm3？【思路点拨】三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体，底面的直径都是4，将它们拼成如图2的新几何体，新几何体的体积＝一个圆柱体的体积加半个圆柱体的体积，新圆柱体的高是4+6+4＝14cm，半个圆柱体的高是6﹣4＝2cm，如图所示：。【规范解答】解：新几何体的体积＝一个圆柱体的体积加半个圆柱体的体积，新圆柱体的高是4+6+4＝14（cm）半个圆柱体的高是6﹣4＝2（cm）圆柱体底面的半径4÷2＝2（cm）根据圆柱体的体积公式V＝π×半径2×高，得：新几何体的体积＝π×22×14+π×22×2×＝56×3.14+4×3.14＝60×3.14＝188.4（cm3），答：应为188.4cm3故答案为：188.4。【考点评析】本题的关键是理解新几何体的体积等于一个圆柱体的体积加半个圆柱体的体积，然后弄清这两个物体的高和底面半径，代入公式解决问题。【变式训练2-2】（2023•枣强县）求如图形的体积。【思路点拨】组合图形的体积等于圆柱体积加上圆锥的体积。利用体积公式V柱＝πr2h，V锥＝πr2h，计算即可。【规范解答】解：3.14×（6÷2）2×6+3.14×（6÷2）2×6×＝3.14×（6÷2）2×6×（1+）＝3.14×（6÷2）2×6×＝226.08（立方厘米）答：组合图形的体积是226.08立方厘米。【考点评析】本题主要利用规则图形的体积公式计算组合图形的体积。【变式训练2-3】（2023•市南区）陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，图1是一种木制玩具陀螺，可以看作是一个近似的圆锥和圆柱组合起来的立体图形。玩具陀螺中底面直径和总高度的比约是1：1.2，这样的陀螺转起来更稳定。图2是这个玩具陀螺的直观图，其中B、C分别是上、下底面的圆心，并且AC：AB＝3：1。制作这个陀螺需要多少立方厘米的木料？【思路点拨】玩具陀螺中底面直径和总高度的比约是1：1.2，陀螺中底面直径是6厘米，用6乘1.2求出总高度，即AC的高度，又因为AC：AB＝3：1，即AC是AB的3倍，用AC除以3就是AB的高度，也就是圆锥的高，再用总高度减去圆锥的高就是圆柱的高，根据圆柱的体积＝底面积×高，圆锥的体积＝底面积×高解答即可。【规范解答】解：6×1.2＝7.2（厘米）7.2÷3＝2.4（厘米）7.2﹣2.4＝4.8（厘米）6÷2＝3（厘米）3.14×32×4.8+×3.14×32×2.4＝28.26×4.8+3.14×7.2＝135.648+22.608＝158.256（立方厘米）答：制作这个陀螺需要158.256立方厘米的木料。【考点评析】熟练掌握按比例分配的方法以及圆柱的体积、圆锥体积的计算方法是解题的关键。【变式训练2-4】（2023•黄州区）把一个棱长是6分米的正方体木料削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方分米？【思路点拨】通过观察图形可知，把这个正方体木料削成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：×3.14×（6÷2）2×6＝3.14×9×6＝56.52（立方分米）答：这个圆锥的体积是56.52立方分米。【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。一．选择题（共4小题）1．（2023•北票市）一个圆锥的体积是24dm3，它的底面积是12dm2，它的高是（）dm。A． B．96 C．6 D．18【思路点拨】根据圆锥的体积公式：V＝Sh，那么h＝3V÷S，据此解答即可。【规范解答】解：24×3÷12＝72÷12＝6（分米）答：它的高是6分米。故选：C。【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。2．（2023•莆田）我国古代数学名著《九章算术》中记载的圆锥体积计算方法是：“下周自乘，以高乘之，三十六而一。”也就是用底面周长的平方乘高，再除以36。这种计算方法，圆周率近似值取3。一个圆锥形的沙堆，底面周长30米，高2米。用这种方法算出的沙堆体积是（）立方米。A．50 B．25 C． D．【思路点拨】由题意，“下周自乘，以高乘之，三十六而一。”意思就是用底面周长的平方乘高，再除以36，可以得到这个圆锥的体积。【规范解答】解：302×2÷36＝900×2÷36＝1800÷36＝50（立方米）答：沙堆体积是50立方米。故选：A。【考点评析】本题考查了小数的理解分析能力，解决问题的能力。3．（2023•播州区）一个圆锥和一个圆柱的体积和底面积都相等，圆锥的高是24厘米，那么圆柱的高是（）厘米。A．24 B．72 C．8 D．12【思路点拨】如果圆柱与圆锥的高相等，也是24厘米，体积则是与它等底等高的圆锥体积的3倍，如果圆柱体积缩小到原来的与圆锥体积相等，底面积不变，根据圆柱底面积不变，圆柱的高与体积成正比例可知，圆柱的高也应缩小到原来。【规范解答】解：24×＝8（厘米）所以圆柱的高是8厘米。故选：C。【考点评析】解答此题的关键是掌握“等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍”以及“圆柱底面积不变，圆柱的高与体积成正比例”。4．（2023•德宏州）圆锥的底面半径扩大到原来的2倍，它的体积（）A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．缩小到原来的一半 D．扩大到原来的4倍【思路点拨】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，可知：圆锥的底面半径扩大到原来的2倍的圆锥的体积为：V＝π（2r）2h，据此解答即可。【规范解答】解：[π（2r）2h]÷（πr2h）＝4r2÷r2＝4答：它的体积扩大到原来的4倍。故选：D。【考点评析】本题主要考查了圆锥的体积公式的应用。二．填空题（共5小题）5．（2023•昆都仑区）淘气用一个边长分别是3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形像如图这样快速旋转，这个三角形扫过的空间是37.68立方厘米。【思路点拨】通过观察图形可知，以直角边（4厘米）为轴旋转一周，得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方厘米）答：这个三角形扫过的空间是37.68立方厘米。故答案为：37.68。【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。6．（2023•锦州）一个圆柱形橡皮泥，底面积是12cm2，高是5cm，如果把它捏成同样底面大小的圆锥，这个圆锥的高是15厘米。【思路点拨】根据题意可知，圆柱形橡皮泥捏成圆锥形后，体积不变，根据V＝Sh，所以先求出橡皮泥的体积，然后就能求出圆锥的高，根据h＝V×3÷S解答即可。【规范解答】解：橡皮泥体积：12×5＝60（cm3）圆锥的高：60×3÷12＝15（cm）答：圆锥的高是15厘米。故答案为：15。【考点评析】此题主要考查圆柱的体积公式及有关圆锥体积公式的应用。7．（2023•武进区）如图，将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，所得立体图形的体积是37.68立方厘米，如果以直角边BC为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是50.24立方厘米。【思路点拨】根据圆锥的特征可知，将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，得到一个底面半径是3厘米，高是4厘米的圆锥；如果以直角边BC为轴旋转一周，得到一个底面半径是4厘米，高是3厘米的圆锥，根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方厘米）×3.14×42×3＝×3.14×16×3＝50.24（立方厘米）答：将直角三角形以直角边AB为轴旋转一周，所得立体图形的体积是37.68立方厘米，如果以直角边BC为轴旋转一周，那么所得立体图形的体积是50.24立方厘米。故答案为：37.68，50.24。【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。8．（2023•永川区）有一张长方形硬纸板（如图），如果将它沿图中虚线剪开，把其中一个直角三角形绕它的一条直角边旋转一周，能够形成一个立体图形，这个立体图形的体积最小是37.68立方厘米。【思路点拨】根据圆锥的特征可知，以较长的直角边为轴旋转形成圆锥的底面半径是3厘米，高是4厘米；以较段的直角边为轴旋转形成圆锥的底面半径是4厘米，高是3厘米；根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出两个圆锥的体积，然后进行比较即可。【规范解答】解：×3.14×32×4＝×3.14×9×4＝37.68（立方厘米）×3.14×42×3＝×3.14×16×3＝50.24（立方厘米）37.68＜50.24答：这个立体图形的体积最小是37.68立方厘米。故答案为：37.68。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握圆锥的特征及应用，圆锥的体积公式及应用，关键是熟记公式。9．（2023•朝阳区模拟）如图所示是一个扇形，这个扇形的弧长是18.84厘米；把这个扇形围成圆锥后，它的体积是31.4立方厘米，围成的这个圆锥的高是3厘米。（π取3.14）【思路点拨】根据题意可知，这个扇形的弧长是18.84厘米；把这个扇形围成圆锥后，这个圆锥的底面周长就是18.84厘米，根据圆的周长公式：C＝2πr，那么r＝C÷2π，据此求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把数据代入公式解答。【规范解答】解：18.84÷3.14÷2＝3（厘米）31.4÷÷（3.14×32）＝31.4×3÷（3.14×9）＝94.2÷28.26＝3（厘米）答：围成的这个圆锥的高是3厘米。故答案为：3。【考点评析】此题主要考查圆的周长公式、面积公式、圆锥的体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。三．判断题（共4小题）10．（2023•遵化市）一个圆锥体高不变，底面半径扩大原来的2倍，这个圆锥的体积也扩大到原来的2倍．×（判断对错）【思路点拨】圆锥的体积＝×底面积×高，若“高不变，底面半径扩大到原来的2倍”，则面积扩大到22倍，体积也扩大22倍．【规范解答】解：因为圆锥的体积＝×底面积×高，如果一个圆锥体高不变，底面半径扩大到原来的2倍，这个圆锥的体积也扩大到原来的22＝4倍．故题干的说法是错误的．故答案为：×．【考点评析】此题主要考查圆锥的体积公式．11．（2023•开州区）圆锥的高是圆柱的3倍，它们的体积一定相等．×．（判断对错）【思路点拨】因为在等底、等高的情况下，圆锥体积是圆柱体积的，因此，只有圆柱、圆锥在等底的情况下，圆锥的高是圆柱的3倍，它们的体积一定相等．【规范解答】解：圆锥的高是圆柱的3倍，它们的体积一定相等是错误的．因为只有圆柱、圆锥在等底的情况下，圆锥的高是圆柱的3倍，它们的体积一定相等，这是里没有等底这一条件，所以无法比较它们的体积．故答案为：×．【考点评析】根据圆锥的体积计算公式“V＝Sh”、圆柱的体积计算公式“V＝Sh”，圆柱与圆锥底面积相等时，圆锥高是圆柱高的3倍，或圆柱与圆锥高相等时，圆锥底面积是圆柱底面积的3倍，圆柱、圆锥的体积才相等．12．（2023春•瑞金市期中）圆锥的底面半径扩大到原来的3倍，高不变，体积就扩大到原来的9倍．√．（判断对错）【思路点拨】圆锥的体积＝×底面积×高，若“高不变，底面半径扩大到原来的3倍”，则面积扩大到32倍，体积也扩大32倍．【规范解答】解：因为圆锥的体积＝×底面积×高，如果一个圆锥体高不变，底面半径扩大到原来的3倍，这个圆锥的体积也扩大到原来的32＝9倍；故答案为：√．【考点评析】此题主要考查圆锥的体积公式．13．（2023•石河子）一个圆锥底面周长是31.4厘米，高是4厘米，它的体积是314立方厘米。×（判断对错）【思路点拨】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出这个圆锥的体积，然后与314立方厘米进行比较即可。【规范解答】解：×3.14×（31.4÷3.14÷2）2×4＝×3.14×25×4≈105（立方厘米）105立方厘米≠314立方厘米因此题干中的结论是错误的。故答案为：×。【考点评析】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。四．计算题（共3小题）14．（2023•萧山区模拟）计算体积。（单位：米）【思路点拨】由图可知，组合图形由一个底面直径为2米、高为3米的圆锥体和一个棱长为2米的正方体组成，根据正方体体积公式“V＝a3”和圆锥体体积公式“V＝πr2h”，代入数据计算即可。【规范解答】解：23+×3.14×（2÷2）2×3＝8+3.14＝11.14（立方米）答：组合体的体积是11.14立方米。【考点评析】解答本题需明确组合图形的组成，熟练掌握圆锥体的体积公式和正方体的体积公式。15．（2023•潼南区）求出下面组合体的体积。（单位：cm）。【思路点拨】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。【规范解答】解：3.14×（4÷2）2×7+8×5×2＝3.14×4×7+40×2＝87.92+80＝167.92（立方厘米）答：它的体积是167.92立方厘米。【考点评析】此题主要考查圆柱、长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。16．（2023春•沙河市期中）求如图所示图形的体积。（单位：cm）【思路点拨】圆锥的体积公式：V＝πr2h，圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出它们的体积和即可。【规范解答】解：×3.14×（6÷2）2×6×2+3.14×（6÷2）2×15＝×3.14×9×6×2+3.14×9×15＝56.52×2+28.26×15＝113.04+423.9＝536.94（立方厘米）答：它的体积是536.94立方厘米。【考点评析】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。五．应用题（共10小题）17．（2023•洛龙区）积木是一种常见的儿童玩具，一套积木中通常有不同的颜色和形状。其中圆锥形积木是在圆柱形积木的基础上加工制作而成的。将一个底面半径是3cm、高是6cm的圆柱形积木加工制作成一个等底等高的圆锥形积木，加工制作过程中削去木料的体积是多少？（π取3.14）【思路点拨】把这个圆柱削成一个最大分圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削求部分的体积相当于圆柱体积的（1）。根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：3.14×32×6×（1）＝3.14×9×6×＝169.56×＝113.04（立方厘米）答：加工制作过程中削去木料的体积是113.04立方厘米。【考点评析】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用，圆柱的体积公式及应用，关键是熟记公式。18．（2023•孟津县）一桶16升的溶液，要分装在开口直径8厘米、高15厘米的圆锥形杯子里。至少需要几个这样的杯子？【思路点拨】根据1升＝1000毫升＝1000立方厘米进行单位换算，再根据圆锥的体积＝πrh，求出圆锥的体积，用溶液的体积除以圆锥杯子的体积即可解答，结果用“进一法”保留整数。【规范解答】解：8÷2＝4（厘米）×3.14×42×15＝15×（3.14×16）＝5×50.24＝251.2（立方厘米）16升＝16000立方厘米16000÷251.2≈64（个）答：至少需要64个这样的杯子。【考点评析】本题主要考查了学生对圆锥体积公式、容积单位换算的掌握。19．（2023•随州）一个装满稻谷的粮囤，如图，上面是圆锥，下面是圆柱。已知圆柱的底面周长是6.28米，圆柱的高是3米，圆锥的高是0.6米，如果每立方米稻谷重100千克，那么这囤稻谷有多少千克？（π取3.14）【思路点拨】根据圆锥的体积公式：V＝π（）2h，圆柱的体积公式：V＝π（）2h，把数据代入公式求出圆锥与圆柱的体积和，然后再乘每立方米稻谷的质量即可。【规范解答】解：3.14×（6.28÷3.14÷2）2×0.6+3.14×（6.28÷3.14÷2）2×3＝3.14×1×0.6+3.14×1×3＝0.628+9.42＝10.048（立方米）10.048×100＝1004.8（千克）答：这囤稻谷有1004.8千克。【考点评析】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。20．（2023•洞头区）一个圆锥形金属铸件的底面半径2厘米，高3厘米，把它完全浸没在底面半径是4厘米的圆柱形玻璃槽内（玻璃槽足够高），水面上升多少厘米？【思路点拨】用圆锥形金属铸件的体积除以圆柱形玻璃槽的底面积，即可求出水面上升多少厘米。【规范解答】解：×3.14×22×3÷（3.14×42）＝12.56÷50.24＝0.25（厘米）答：水面上升0.25厘米。【考点评析】解答本题需熟练掌握圆锥体和圆柱体体积公式，灵活计算。21．（2023•莱阳市）从古代一直到近代，匠人们打铁时，用火将铁烧红变软，然后用锤子击打成想要的形状，最后放到凉水里迅速冷却，以增加铁的硬度，这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10厘米的圆柱形铁块烧红，击打成与它底面大小相同的圆锥形状，然后完全没入一底面积为31.4平方分米的长方体容器里淬火，水面上升了1.5厘米。求这个圆锥的高是多少厘米。（损耗忽略不计）【思路点拨】根据圆柱的体积公式：V＝πr2h，圆锥的体积公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把数据代入公式解答。【规范解答】解：31.4平方分米＝3140平方厘米3140×1.5÷÷（3.14×102）＝4710×3÷（3.14×100）＝14130÷314＝45（厘米）答：这个圆锥的高是45厘米。【考点评析】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。22．（2023•新荣区）一个底面周长是36厘米的正方体容器中，盛有6厘米深的水。把一个高是6厘米的圆锥形铁块完全没入容器里的水中，现在容器里的水深7厘米。这个圆锥形铁块的底面积是多少平方厘米？【思路点拨】根据题意可知，把铁块放入容器中，上升部分水的体积就等于铁块的体积，根据正方形的周长公式：C＝4a，那么a＝C÷4，据此求出底面边长，长方体的体积公式：V＝abh，圆锥的体积公式：V＝Sh，那么S＝V÷÷h，把数据代入公式解答。【规范解答】解：36÷4＝9（厘米）9×9×（7﹣6）÷÷6＝81×1×3÷6＝243÷6＝40.5（平方厘米）答：这个圆锥形铁块的底面积