机械工程图学-投影理论的基础知识

内容提要：本章主要介绍正投影法及其投影特性，三面投影图的形成及其投影规律，求作点、直线和平面的三面投影的相关知识和方法，此外，还简要介绍了轴测图及其他投影图的基础知识。2.1投影法2投影理论的基础知识2.2三投影面体系2.3点、直线和平面的投影2.4轴测图及其他投影图简介

2投影理论的基础知识

光源投影面光线物体影子投射中心S投射线投影面形体图2-1投影法（b）形体的投影（中心投影法）投影(图)（a）物体的影子（自然界）2.1投影法2.1.1投影法及其分类

2.1投影法—2.1.1投影法及其分类

投影法的分类

2.1投影法—2.1.1投影法及其分类

图2-2投影法分类表1.中心投影法

投射线汇交于一点的投影法（投射中心位于有限远处）称为中心投影法。采用中心投影法绘制的投影图，立体感较强，但可度量性较差。2.平行投影法

投射线相互平行的投影法（投射中心位于无限远处）称为平行投影法。投射中心S投射线投影面形体中心投影法投影(图)

2.1投影法—2.1.1投影法及其分类

形体投影面投射方向投射线投影(图)投射方向形体投影面投射线投影(图)（a）斜投影法（b）正投影法图2-3平行投影法投影法中心投影法平行投影法斜投影法（投射线倾斜于投影面）正投影法（投射线垂直于投影面）利用中心投影法和斜投影法都只能得到单面投影图，而利用正投影法既能得到单面正投影图（正轴测图和标高图），又能得到多面正投影图。

2.1投影法—2.1.1投影法及其分类

投影形成的三要素

形体、投射方向（或投射中心）、投影面。投影（图）形成的三要素：投射中心S投射线投影面形体投影(图)投射方向形体投影面投射线投影(图)正投影（图）形成的要素需要几个？

2.1投影法—2.1.1投影法及其分类

2.1.2正投影法的投影特性

2.1投影法—2.1.2正投影法的投影特性

其表2-1

正投影法的投影特性

类似形：与原平面图形类似，保持定比性不变，即边数相等，凹凸、曲直状态相同，平行关系不变。

空间的点、直线、面用大写字母表示，其投影用相应的小写字母表示。表2-1

正投影法的投影特性（续）

2.1投影法—2.1.2正投影法的投影特性

平行投影法只具有“平行性”、“从属性”和“定比性”。2.2三面投影体系

2.2三面投影体系单面正投影无法完整地表示空间形体。

将空间形体用正投影法投射到多个互相垂直的投影面上，可得到多面正投影（图）。

图2-4分角

第一角投影（第一角画法）

第三角投影（第三角画法）

由三个互相垂直的平面组成的投影面体系称为三面投影体系。XOZ面：称为正投影面，也称V面。XOY面：称为水平投影面，也称H面。

YOZ面：称为侧投影面，也称W面。（a）三面投影体系的立体图（b）三面投影体系的展开图（c）三面投影体系展开去掉投影面边框

2.2三面投影体系—2.2.1三面投影体系的建立

2.2.1三面投影体系的建立图2-5三面投影体系的建立三面投影图的形成2.2.2三面投影图的形成及投影规律

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

（a）三面投影图的立体图（b）三面投影图的展开图（c）三面投影图V面投影：即从前往后投射，在V面上所得的投影，反映长和高（x、z）；H面投影：即从上往下投射，在H面上所得的投影，反映长和宽（x、y）；W面投影：即从左往右投射，在W面上所得的投影，反映宽和高（y、z）。

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

1.三面投影图的形成

展开

去掉投影轴图2-6三面投影图的形成及投影规律三面投影图的投影规律：（d）坐标及方位（e）三面投影图的方位（f）投影规律正面投影与水平投影都表示形体的长（即具有相同的x坐标），称为长对正；正面投影与侧面投影都表示形体的高（即具有相同的z坐标），称为高平齐；水平投影与侧面投影都表示形体的宽（即具有相同的y坐标），称为宽相等。左右左右长对正xxyyzz下上下上高平齐后前后前宽相等

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

2.三面投影图的投影规律是工程图学中最基本的原理！图2-6三面投影图的形成及投影规律（续）作立体的三面投影图举例（a）立体图（b）三面投影图

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

。本节课的重点：正投影法的投影特性；三面投影图的投影规律（长对正、高平齐、宽相等）。本节课的难点：

正确判断三面投影图中的左右、上下、前后方位。

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

形成投影的三要素是哪三个？在正投影法中哪两个要素合并成了一个？在正投影法中，由于投射方向垂直于投影面，这两个投影形成的要素就合并成了一个。

形体、投射方向和投影面是投影形成的三要素。简述平行投影法和正投影法的投影特性。工程图样主要采用什么投影法？

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

平行投影法:“平行性”、“从属性”、“定比性”。

平行性：空间相互平行的直线（平面），其投影（积聚性投影）一定相互平行。

从属性：直线（平面）或曲线上点（点、线）的投影必在该直线（平面）或曲线的投影上。

定比性：点分直线的比（空间两平行直线长度的比），投影后保持不变。简述平行投影法和正投影法的投影特性。工程图样主要采用什么投影法？

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

正投影法：还有“实形性”、“积聚性”、“类似性”。正投影法

实形性：直线（平面图形）平行于投影面，其投影反映直线的实长（反映平面图形的实形）。

积聚性：直线、平面、柱面垂直于投影面，则其投影分别积聚为点、直线、曲线。

类似性：当直线、平面倾斜于投影面时，直线投影的长度缩短；平面的投影为平面图形的类似形（投影图，与原平面图形保持定比性不变，表现为边数相等，凸凹、曲直状态相同，平行关系不变）。

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

什么叫分角？什么叫第一角画法？

简述三面投影体系中三个投影面的名称和将其展开到一个平面上的方法。用水平和铅垂的两投影面将空间分成的四个区域，并按顺序编号，称为分角。将物体置于第一分角内，即物体处于观察者与投影面之间进行投射，然后按规定展开投影面，称为第一角投影，也称为第一角画法（简称E法）。正投影面（V面）、水平投影面（H面）、侧投影面（W面）。

V面保持不动，使H面绕OX轴向下旋转90°，W面绕OZ轴向右旋转90°。

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

正面投影与水平投影都表示形体的长（即具有相同的X坐标），称为“长对正”；

投影规律：长对正、高平齐、宽相等（简称“三等规律”）。

正面投影与侧面投影都表示形体的高（即具有相同的Z坐标），称为“高平齐”；简述三面投影图的形成、名称及投影规律。

形成：将空间形体置于三面投影体系中并向三个投影面投射，就可以得到形体的三面投影图。

名称：形体在V面上的投影（图）称为正面（V面）投影，在H面上的投影（图）称为水平（H面）投影，在W面上的投影（图）称为侧面（W面）投影。

水平投影与侧面投影都表示形体的宽（即具有相同的Y坐标），称为“宽相等”。

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

不画投影轴和45°斜线。在实际的三面投影图中画不画投影轴和45°斜线？为什么？三面投影图与三根投影轴之间的距离只是表示形体与三个投影面之间的距离，而改变形体与三个投影面之间的距离，并不会影响三个投影图的形状、大小及其相互之间的投影关系。

45°斜线是为了画Y坐标即保证“宽相等”、便于初学者作图而设置的，待作图熟练后即可用直尺或分规直接量取。

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

左右左右长对正xxyyzz下上下上高平齐后前后前宽相等在哪两个投影图中可以表示空间形体的“前、后”方位？图中的哪一边表示“前”？在水平投影图与侧面投影图可以表示空间形体的“前、后”方位；水平投影图中的下边、侧面投影图的右边表示“前”。作业《机械工程图学基础教程习题集》

P7、

P8

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

。作业《机械工程图学基础教程习题集》

P7、

P8

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

。作业《机械工程图学基础教程习题集》

P7、

P8

2.2三面投影体系—2.2.2三面投影图的形成及投影规律

1.点的三面投影WVHOXZYHaxaza

ayayaa″YWXVAYOWZaaYaZaXa″a′H

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影2.3点、直线和平面的投影2.3.1点的投影

空间点的位置，可由直角坐标值来确定，一般采用以下的书写形式：A(x、y、z)。x、y、z即为点到各投影面的距离。

空间的点用大写字母表示，如Α；其投影用相应的小写字母表示，如a表示点A的水平（H）投影;a′表示点A的正面（V）投影;a″表示点A的侧面（W）投影。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影图2-7点的三面投影XVYOWZaaYaZaXa″a′HZAYAXAA

Aa′=aax=a

az=ay0=yA——A点到V面的距离

Aa=a

ax=a

ay=az0=zA——A点到H面的距离

Aa″=aay=a

az=ax0=xA——A点到W面的距离

2.点的投影规律（1）点的各投影连线分别垂直于相应的投影轴。

（2）点的每一个投影到投影轴的距离，均反映空间点到相邻投影面的距离。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影即a′a

⊥OX，

a′a″⊥OZ，

aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影

【例2-1】根据空间点C的两个投影c′，c″，试求作其水平投影c。（a）题图（b）作图过程

图2-8作点的投影图3．投影面和投影轴上的点的投影

点的一个坐标为零，则点在投影面上，如图中的A点在V面上，B点在H

面上。

点的两个坐标为零，则点在投影轴上，如图中的C点在OX轴上。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影

图2-9投影面和投影轴上的点的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影

【例2-2】如图2-10所示，根据空间点A、B、C、D的两个投影，试求其第三面投影。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影图2-10根据点的两面投影求其第三面投影4．两点的相对位置

两点在空间具有上下、前后、左右的位置关系。判断方法：X坐标大的在左；Y坐标大的在前；Z坐标大的在上。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影图2-11两点的相对位置

（1）b′在a′之左（b在a之左），说明B点在A点之左。（2）b′在a′之下（b″在a″之下），说明B点在A点之下。

（3）b″在a″之前（b在a之前），说明B点在A点之前。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影图2-11两点的相对位置5.重影点当空间两点位于某投影面的同一条投射线上（即某两个坐标相同）时，这两点在该投影面上的投影就重合成一点，称为对该投影面的重影点。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影本节课的重点：点的投影规律、相对位置

。

本节课的难点：重影点的判定

。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影若空间的点用某个大写字母表示，则其三个投影分别用什么符号表示？简述点的投影规律。

（1）点的各投影连线分别垂直于相应的投影轴，即

a′a⊥OX，a′a″⊥OZ，aaYH⊥OYH，a″aYW⊥OYW若空间的点用大写字母A、B、C、……表示，则其水平投影用a、b、c、……表示；正面投影用a′、b′、c′、……表示；侧面投影用a″、b″、c″、……表示

。（2）点的每一个投影到投影轴的距离，均反映空间点到相邻投影面的距离。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影

（c）对于空间的A、B两点，若xA＞xB、yA＜yB、zA

＜zB，则A点在B点对V面的重影点的哪两个坐标相同？若A、B两点的W面投影为b″（a″），则A点在B点的哪一方？两点位于V面的同一条投射线上，X坐标和Z坐标分别相同（xA=

xB，zA=

zB），只有Y坐标不同。

（a）之左、前、下。（b）之右、后、上。（c）之左、后、下。（d）之右、前、上。A点在B点的右方。作业《机械工程图学基础教程习题集》P9

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.1点的投影2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影（a）两个端点的投影图只要能作出直线上任意两个不重合的点（通常是直线的两个端点）的三面投影，那么连接两点的同面投影，就可得到直线的三面投影。（b）直线的投影图图2-12直线的投影投影面倾斜线与三个投影面都倾斜的直线对H面的倾角α

对V面的倾角β

对W面的倾角γ投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）垂直于某一投影面而与其余两投影面平行正平线（平行于Ｖ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）特殊位置直线1.各种位置直线的投影特性

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影直线与投影面倾斜的程度，可用直线与投影面之间的倾角表示。图2-13直线的投影及直线与投影面的夹角对H面的倾角α

对V面的倾角β

对W面的倾角γ若直线平行（垂直）于投影面，则倾角为0°（90°）。只平行于某一投影面的直线。（1）投影面平行线正平线实长水平线实长侧平线实长水平线侧平线正平线

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-14投影面平行线投影面平行线的投影特性：

（1）在所平行的投影面上，投影反映实长。（投影与投影轴之间的夹角表示直线与另外两个投影面之间的实际倾角）

（2）在另外两个投影面上，投影均平行于相应的投影轴，呈水平或铅垂状态。正平线实长水平线实长侧平线实长可简单地记为一实长、二平行。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影（2）投影面垂直线垂直于一个投影面的直线。投影特性:

（1）在所垂直的投影面上，投影积聚成一点。如直线AB的水平面投影a（b）。

（2）在另外两个投影面上，投影均垂直于相应的投影轴，呈铅垂或水平状态，且反映实长。如直线AB的正面投影a′b′⊥OX,侧面投影a″b″⊥OY。●●●侧垂线正垂线铅垂线一积聚、二垂直。必平行于另外两个投影面。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-15投影面垂直线

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影Z

YHaOXabbaYWb

（2）三个投影的长度都小于实长。投影特性:HaγaAb

VBbWβa

b

ZXOY（3）投影面倾斜线与三个投影面都倾斜的直线。（1）三个投影都倾斜于投影轴。（3）投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的实际倾角。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影也称为“一般位置直线”。（a）立体图图2-16投影面倾斜线（一般位置直线）

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影（b）投影图

【例2-3】如图2-17（a）、（c）所示，已知直线AB和CD的两面投影，试求作第三面投影，并指出直线AB、CD各属于哪一种位置的直线。（c）题图（d）作图结果（a）题图（b）作图结果

先求出a″和b″，连接a″、b″，即为直线AB的第三面投影。AB为正平线。

作出CD的侧面投影c″（d″），由于c″（d″）积聚成一点，可知CD是侧垂线。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-17根据直线的两面投影求其第三面投影2.投影面倾斜线的实长及其对投影面的倾角直角三角形法

在直角三角形ABB0中，一条直角边AB0=ab（直线的投影），

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影空间问题分析斜边AB即为其实长，AB与AB0的夹角即为AB对H面的倾角α。

另一条直角边BB0为两端点A、B的Z坐标之差（zB-

zA），【例2-4】试求投影面倾斜线AB的实长和对H面的倾角α。

方法1：以水平投影为直角边，过b（或a）作ab的垂线，在此垂线上量取bb0=zB-zA，则ab0即为投影面倾斜线AB的实长，∠b0ab即为α角。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-18求作投影面倾斜线的实长及其对H面的倾角α方法2：过a′作OX轴的平行线与b′b

相交于b0′（b′b0′=zB-zA

），量取b0′a0′=ab，则b′a0′也是所求直线AB的实长，∠b′a0′

b0′即为α角。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-18求作投影面倾斜线的实长及其对H面的倾角α

【例2-5】试求投影面倾斜线AB对V面、W面的倾角β、γ。

以正面投影为直角边，过a′（或b′）作a′b′的垂线，在此垂线上量取a′a0′=

yA-

yB，则b′a0′即为投影面倾斜线AB的实长,∠a0′

b′a′即为β角。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-19求作投影面倾斜线对V面、W面的倾角β、γ按照同样的分析和作图过程，还可求出AB对W面的倾角γ。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影只要掌握了直角三角形各元素表示的空间关系，就能根据直线的实长、倾角、投影长度和端点的坐标差这四个元素中的任意两个已知元素，作出直角三角形，求出其余的两个未知元素。由上述作图过程可以总结出直角三角形法的作图规律。利用直角三角形法，不仅可以由直线的已知投影求出其实长和倾角，也可反过来运用，由已知的直线的实长或倾角求出其投影。

【例2-6】已知直线AB的水平投影ab和A点的正面投影a′，α角为30º，试求作直线的正面投影a′b′。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-20求作直线AB的正面投影在H面投影中作直角三角形abb0，则直角边bb0反映AB两端点至H面的距离差，即Z坐标之差，将其量到V面投影中，即可作出a′b1′（有两个解，另一个为a′b2′）。

【例2-7】已知直线CD的水平投影cd

和实长（22mm）以及C点的正面投影c′，试求作直线CD的正面投影。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-21求作直线CD的正面投影作出直角三角形cdd0，其中斜边cd0=22mm，直角边dd0即为所求的Z坐标之差，将其量到V面投影中，即可求得D点的正面投影d1′、d2′（有两个解），从而作出直线CD的正面投影。3.直线上点的投影直线上点的投影特性即：AK:KB=ak:kb=a′k′:k′b′=a″k″:k″b″“从属性”：直线上的点的三面投影，必在该直线的同面投影上。“定比性”：点分直线的比，投影后保持不变。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影图2-22直线上点的投影

点S的三面投影中，有一个（s″）不在直线AB的同名投影（a″b″）上，则点S肯定不在直线AB上。【例2-8】判断点S是否在直线AB上。（a）题图（b）判断方法1（c）判断方法2

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影用定比性作出第三面投影图2-23判断点S是否在直线AB上本节课的重点：各种位置直线的投影特性及作图。

直线上点的投影特性及其判定与作图。本节课的难点：

利用直线的投影求其实长及真实倾角的直角三角形法。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

特殊位置直线有哪几种？各有什么投影特性？一般位置直线又有什么投影特性？

1.投影面平行线：水平线、正平线、侧平线在所平行的投影面上，投影反映实长，投影与投影轴之间的夹角表示直线与另外两个投影面之间的实际倾角；在另外两个投影面上，投影均平行于相应的投影轴。一实长、二平行

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影特殊位置直线有哪几种？各有什么投影特性？一般位置直线又有什么投影特性？

2.投影面垂直线：正垂线、铅垂线、侧垂线在所垂直的投影面上，投影积聚成一点；在另外两个投影面上，投影均垂直于相应的投影轴，且反映实长。一积聚、二垂直一般位置直线又叫投影面倾斜线三个投影都倾斜于投影轴，其长度均小于实长；投影与投影轴的夹角不反映直线与投影面的实际倾角。三类似

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影该直线是水平线，其侧面投影应该平行于OYW轴。若直线平行于某一投影面，则它在该投影面上的投影一直线的正面投影平行于OX轴，水平投影倾斜于OX轴，那么该直线是哪一种特殊位置直线？其侧面投影应该有什么特征？

a.反映实长且平行于相应的坐标轴。

b.小于实长且平行于相应的坐标轴。

c.反映实长且倾斜于相应的坐标轴。

d.小于实长且倾斜于相应的坐标轴。C.反映实长且倾斜于相应的坐标轴。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影（a）X坐标差。（b）Y坐标差。（c）Z坐标差。（d）正面投影a′b′。已知一般位置直线AB的水平投影ab

和正面投影a′b′，用直角三角形法求其实长时，（1）若以ab为一直角边，则另一直角边应为端点A、B的（2）若以a′b′为一直角边，则（可多选）

（a）另一直角边为端点A、B的Y坐标差。（b）X坐标差。（c）斜边为AB的实长。（d）斜边与a′b′的夹角为AB对V面的倾角β

。简述直线上点的投影特性。

（1）直线上的点的三面投影，必在该直线的同面投影上。（2）点分割直线成定比。（c）（d）（b）（a）作业《机械工程图学基础教程习题集》

P10

～P13

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影作业《机械工程图学基础教程习题集》

P10

～P13

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影作业《机械工程图学基础教程习题集》

P10

～P13

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影作业《机械工程图学基础教程习题集》

P10

～P13

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.2直线的投影不在同一直线上的三点直线及线外一点abca

b

c

●●●●●●d●d

●平行两直线abca

b

c

●●●●●●相交两直线平面图形c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

XXXXX用几何要素表示平面2.3.3平面的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-24平面的表示方法

正面迹线(V面迹线）PV：平面P与V面的交线

水平迹线(H面迹线）PH：平面P与H面的交线

侧面迹线(W面迹线）PW：平面P与W面的交线用平面的迹线表示平面

WHVOpVXZYHYWpHpwpxpypzpyP

pH

pVpw平面与投影面的交线，称为平面的迹线。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影对于一般位置的平面展开用平面的迹线表示平面对于特殊位置的平面

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影（a）水平面（b）正垂面（c）铅垂面图2-24平面的表示方法（续）1.各种位置平面的投影特性垂直倾斜投影特性平面平行于投影面——投影即平面实形平面垂直于投影面——投影积聚成直线平面倾斜于投影面——投影类似原平面实形性类似性积聚性平面对一个投影面的投影特性平行

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三个投影面的位置可分为三类：投影面垂直面

投影面平行面投影面倾斜面（一般位置平面）特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜铅垂面正垂面侧垂面水平面正平面侧平面

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影（1）投影面垂直面

垂直于一个投影面而与其余两个投影面皆倾斜的平面。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

图2-25投影面垂直面的立体图

垂直于水平面的平面称为铅垂面。XYYWYHOa(d)c(b)d’b’a’c’b”a”c”d”ABCDa(d)b(c)d’b’a’c’b”a”c”d”

铅垂面

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

垂直于正面的平面称为正垂面。

正垂面ABCDd’(a’)c’(d’)abcdc″b″d″a″XYYWYHOd′

(a′

)c′

(d′)abcdc″b″d″a″

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影ABCDabcdd′b′a′c′a″(b″)

d″(c″)

侧垂面

垂直于侧面的平面称为侧垂面。XYYWYHOd″(c″)abcda″(b″)d′

b′a′

c′

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影c

c

投影面垂直面的投影特性abca

b

b

a

类似性类似性积聚性铅垂面γβ投影特性：

在所垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角就是平面与另外两投影面的夹角。在另外两个投影面上的投影为类似形。（一积聚、二类似）

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影投影面垂直面投影特性的小结

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

一积聚、二类似（2）投影面平行面

平行于一个投影面的平面。必然同时垂直于另外两个投影面！

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

图2-26投影面平行面的立体图

①水平投影反映平面的实形。②正面投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。平行于H

面的称为水平面，其投影特性为：水平面的投影特性

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

①正面投影反映平面的实形。

②水平投影和侧面投影积聚为一条与相应轴平行的直线。正平面的投影平行于V面的称为正平面，其投影特性为：

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影①侧面投影反映平面的实形。

②正面投影和水平投影积聚为一条与相应轴平行的直线。侧平面的投影特性平行于W面的称为侧平面，其投影特性为：

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影a

b

c

a

b

c

abc积聚性积聚性实形性水平面投影特性：在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。投影面平行面的投影特性（一实形、二积聚）

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影投影面平行面投影特性的小结

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

一实形、二积聚

对三个投影面都倾斜的平面称为投影面倾斜面。

投影面倾斜面的三个投影都是小于实形的类似形，也不能反映该平面与投影面的夹角。（3）投影面倾斜面（一般位置平面）

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-27投影面倾斜面（一般位置平面）2.平面内的直线和点的投影位于平面上的直线应满足的条件：（1）平面内的直线的投影●●MNAB●M

若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。

若一直线过平面上的一点且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影在已知平面△ABC内求作任意一直线的方法：方法一是在直线AB上任取一点E（e、e′），在直线AC上任取一点F（f、f

′），连接E、F两点的同面投影e、f和e′、f

′即可。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

方法二是先在直线AB上任取一点G（g、g′），再过点G作直线GH平行于已知直线BC（即gh∥bc、g′h′∥b′c′）即可。图2-28在平面上取直线的方法（a）题图（b）作图过程及结果

【例2-9】试由△ABC的顶点A作出其中线AD的投影。先利用“定比性”在bc上作出中点d，并由d作投影连线求出d′；再连接同面投影即可。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-29求作三角形中线的投影（2）平面内的点的投影

先找出过此点且在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。【例】已知点K在平面ABC上，试求其水平投影。baca

k

b

●①c

平面内取点的方法：利用平面的积聚性求解通过在平面内作辅助线求解首先在面上取线k●d

d②●abca

b

k

c

k●

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-10】已知△ABC上点M的水平投影m，试求其正面投影m′。

先在H面投影中连接a、m并延长交bc于d。再过d作投影连线求得d′，连接a′d′，则m′一定在a′d′上，过m作投影连线，与a′d′的交点即为点M的正面投影m′。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影思路：先在平面内作线，再在线上求点。图2-30求平面内点的投影圆平面的投影特性（1）圆平面为投影面平行面时，在所平行的投影面上的投影为圆，另外两个投影分别积聚为直线，其长度就等于圆的直径。（一实形二积聚

）（2）圆平面为投影面垂直面时，在所垂直的投影面上的投影积聚成一直线，另外两个投影均为椭圆，其长轴均等于圆的直径。（一积聚二类似）（3）圆平面为一般位置平面时，其三个投影均为椭圆。（三类似

）3.圆平面的投影

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-11】

已知圆平面为铅垂面，对V面的倾角为β，直径为D，圆心O1的两个投影为o1、o1′，试求作该圆平面的两面投影。（a）立体图

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-31圆平面的投影

过O1作长度为D的直线ab与OX轴成β角，且O1位于ab的中点。作出椭圆，即为圆的正面投影。

先过O1′作长度为直径D的铅垂线c′d′，再过O1′作水平线a′b′（=cosβ）；c′d′、a′b′即分别为椭圆的长、短轴。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-31圆平面的投影4.多边形平面的投影多边形由一些点和线（主要是直线）构成，因此，作多边形的投影图，就要用到点、直线的投影特性以及在平面内作点和直线的方法。

【例2-12】

如图2-32所示，在平行四边形平面ABCD上有一燕尾形缺口ⅠⅡⅢⅣ，已知其正面投影，试求作其水平投影。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影图2-32求平面上燕尾形缺口的水平投影图2-32求平面上燕尾形缺口的水平投影由1′、4′可直接在ab上求出Ⅰ、Ⅳ两点的水平投影1、4。延长1′2′与c′d′相交于5′，求出5，连接1、5，再由2′求出2。过2作cd

的平行线，与从3′作的投影连线相交，可求得3。连接1、2、3、4，即得到燕尾形缺口的水平投影。

2.3点、直线和平面的投影—2.3.3平面的投影

【例2-13】

如图2-33（a）所示，结合立体图看懂三面投影图，并完成以下内容：（3）分析平面