机械工程图学-基本立体的投影

内容提要：本章主要介绍基本立体在三面投影体系中的投影特性、作图方法及其表面上点、线的投影，并进一步介绍平面与基本立体相交形成的截交线的性质和作图方法。3.1概述3.2基本平面立体的投影3.3基本回转体的投影3基本立体的投影

3基本立体的投影工程中实际使用的工程形体，不论其形状和结构如何复杂，一般都可以看成是由一些简单的几何形体按照不同的方式组合而成的，这些形状规则、简单的几何形体可称为基本立体。基本立体是构成工程形体的基本要素，也是绘图、读图时进行形体分析的基本单元。3.1.1基本立体的分类3.1.2截交的基本概念

3.1概述3.1概述常见的基本立体平面立体回转体柱、锥、台、球等几何体是组成机件的基本立体。所有表面均为平面的立体称为平面立体，如棱柱、棱锥、棱台等。部分或全部表面为曲面的立体，称为曲面立体。机械工程中所用的曲面立体，绝大部分都是回转体，如圆柱、圆锥、圆球等。3.1.1基本立体的分类

3.1概述—3.1.1基本立体的分类

（a）正三棱柱（e）正四棱锥图3-1基本平面立体1.基本平面立体（c）正五棱柱（b）正四棱柱（d）正六棱柱（f）四棱台

3.1概述—3.1.1基本立体的分类图3-2回转体的形成动线AB称为母线。母线在回转面上的任意位置称为素线。母线上任意一点的轨迹都是圆，称为纬圆。比相邻纬圆都大的圆称为赤道圆。比相邻纬圆都小的圆称为喉圆。2.回转体的形成定线OO称为回转轴线。

3.1概述—3.1.1基本立体的分类

3.1概述—3.1.1基本立体的分类3.基本回转体

图3-3基本回转体

3.1概述—3.1.1基本立体的分类平面与立体相交（用平面截切立体）称为截交，该平面称为截平面，截平面与立体表面形成的交线称为截交线，由截交线围成的平面图形称为截断面（可简称截面或断面）。3.1.2截交的基本概念图3-4截交的基本概念

3.1概述—3.1.2截交的基本概念

3.1概述—3.1.2截交的基本概念

（1）共有性：截交线既在截平面上，又在立体表面上，因此，截交线一定是截平面与立体表面的共有线，截交线上的点一定是截平面与立体表面的共有点。（2）封闭性：单个截平面与立体表面形成的截交线一定是封闭的平面图形。截交线的性质：

3.1概述—3.1.2截交的基本概念

3.2基本平面立体的投影3.2.1棱柱的投影3.2.2棱锥的投影1.棱柱的三面投影图3.平面与棱柱相交2.棱柱表面上点和线的投影1.棱锥（棱台）的三面投影图3.平面与棱锥相交2.棱锥表面上点和线的投影

3.2基本平面立体的投影1.棱柱的三面投影（1）正六棱柱的三面投影①上、下底面水平投影重合并反映实形，正面及侧面投影积聚为两条相互平行的直线。

②前、后两个棱面为正平面，正面投影反映实形，水平投影及侧面投影积聚为一直线。

③其他四个棱面均为铅垂面，其水平投影均积聚为直线，正面投影和侧面投影均为类似形。

投影特性：3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

正六棱柱投影的作图步骤：先画各投影的中心线、对称线，再画正六棱柱的水平投影正六边形（特征投影），最后根据投影规律画出其他两个投影。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

图3-5正六棱柱的三面投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

①画基准线②画“特征投影（正六边形）④检查、整理、加深图线，完成作图③画其他投影（2）正五棱柱的三面投影图3-6正五棱柱的三面投影先画前前

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

判别棱柱投影轮廓线的可见性时应注意：（1）投影图中所有的外形轮廓线均为可见；不可见不可见不可见可见可见（2）两相交表面的交线，若有一个表面可见，则交线可见，若两个表面均为不可见，则交线为不可见，应画成虚线。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

2.棱柱表面上点和线的投影点的投影的可见性：若点所在表面的投影为可见（不可见），则点的投影也为可见（不可见）；若点所在表面（或棱线）的投影有积聚性，则认为点在具有积聚性的表面（或棱线）上的投影均为可见。已知立体表面上点的一个投影求其他两个投影的问题，称为立体的表面取点。求作基本平面立体表面上的点和线的三面投影，实际上就是求平面上点和线的投影，归根结底是求平面上点的投影问题。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

【例3-1】已知正六棱柱表面上点A、B、C、D的一个投影，试求作其另外两个投影。（a）题图图3-7正六棱柱表面上点的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

（a）题图图3-7正六棱柱表面上点的投影（续）（b）A、B点的作图结果（c）C、D点的作图结果A点在左棱线上B点在前棱面上为什么D点不在右后棱面上？C点在顶面上为什么B点不在后棱面上？D点在左后棱面上

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

本节课的重点：棱柱的三面投影图及表面上点和线的投影。本节课的难点：棱柱表面上点和线的投影。什么样的立体称为平面立体？常见的基本平面立体有哪几种？什么样的棱柱称为直棱柱？什么样的棱柱称为正棱柱？所有表面都是平面的立体称为平面立体。棱柱，其次是棱锥（棱台）。

侧棱垂直于底面的棱柱称为直棱柱，其底面是特征面，若底面为正多边形，则称为正棱柱。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

试说明回转体上的母线、素线、纬圆、赤道圆、喉圆的含义。什么样的立体称为回转体？常见的基本回转体有哪几种？由回转曲面（简称回转面）或由回转曲面与平面构成的立体称为回转体。主要是圆柱，其次是圆锥和圆球。动线AB称为母线母线在回转面上的任意位置称为素线母线上任意一点的轨迹都是圆称为纬圆比相邻纬圆都大的圆称为赤道圆比相邻纬圆都小的圆称为喉圆

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

以正六棱柱为例，简述其棱线、侧面、底面的投影特性和画棱柱三面投影图的步骤。求作正棱柱表面上点的投影时，要利用其侧面的什么投影特性进行作图？截交线有哪些性质共有性、封闭性画正六棱柱三面投影的作图步骤为：①画基准线；②先画“特征投影”，再画其他投影；③检查、整理图面，并按规定线型加深图线。积聚性

试说明截交和截交线的含义。平面与立体相交（即用平面截切立体）称为截交，该平面称为截平面，截平面与立体表面形成的交线称为截交线。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

作业《机械工程图学基础教程习题集》

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3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

3.平面与棱柱相交当截平面与平面立体的底面相交时，还要求出底面与截平面的交线，最后还应补齐立体的轮廓线。（2）求出各棱线与截平面的交点，依次连接各个交点，并判断各个投影的可见性。（1）求出各侧面与截平面的交线，并判断交线各个投影的可见性。可归结为求两平面的交线和求直线与平面交点的问题，有以下两种相应的方法:3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

图3-8求作正六棱柱被正垂面截切后的投影

【例3-2】如图3-8（a）所示，已知正六棱柱被正垂面P截切（斜截）后的正面投影和水平投影，试求作其侧面投影。

截平面P与正六棱柱的六个侧面和六条棱线均相交，因此，只要求出六条棱线与截平面P的六个交点，这些交点的连线（六边形）即为截交线。

六个交点的正面投影和水平投影为已知，只需求出其侧面投影即可。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

（a）题图图3-8求作正六棱柱被正垂面截切后的投影（续）

（1）画出完整正六棱柱的侧面投影。（2）给六个交点的正面投影和水平投影编号，求出各点的侧面投影1″、2″、3″、4″、5″、6″，并按顺序连接。（3）确定各棱线的侧面投影，并判别可见性（右棱线的侧面投影为不可见）。（4）检查、整理、加深、补画棱线。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

。图3-8求作正六棱柱被正垂面截切后的投影（续）

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

。试求作正六棱柱被正垂面P截切（截切部分顶面）后的侧面投影。作图方法及步骤:（1）求棱线与截平面

的共有点（2）连线（3）根据可见性补画轮廓线1״2״1׳2׳2׳2׳2׳7׳7״5׳6׳5״6״12345673׳4׳3״4״

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

【例3-3】如图3-9（a）所示，试求作正五棱柱被正平面P和侧垂面Q截切后的三面投影图。图3-9求作正五棱柱被正平面和侧垂面截切后的投影（a）题图

当立体被两个或两个以上的截平面截切时，不仅要求出每个截平面与立体的截交线，而且还要求出截平面之间的交线。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

图3-9求作正五棱柱被正平面和侧垂面截切后的投影（续）

（b）作图步骤

（1）标出截交线上各点的侧面投影a″、b″、c″、d″、e″、g″、f

″。（2）求出各点的水平投影和正面投影。（3）按顺序连线，得到截平面P和Q截交线的正面投影；连接b′、g′，得到截P、Q交线BG的正面投影。（4）检查、整理、加深、补画棱线。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

图3-9求作正五棱柱被正平面和侧垂面截切后的投影（续）

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

本节课的重点：平面与棱柱相交。本节课的难点：平面与棱柱相交的截交线的求法。简述求作平面与基本平面立体（棱柱）截交线的方法和步骤。具体的方法有以下两种，可根据平面立体的形状以及截平面与立体的相对位置等具体情况灵活选用。（1）求出各侧面与截平面的交线，并判断交线各个投影的可见性。（2）求出各棱线与截平面的交点，依次连接各个交点，并判断各个投影的可见性。当截平面与平面立体的底面相交时，还要求出底面与截平面的交线，最后还应补齐立体的轮廓线。如果有两个及以上的截平面，还要画出截平面之间的交线。

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

作业《机械工程图学基础教程习题集》

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P27课堂练习P21～

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3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

课堂练习

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.1棱柱的投影

1.棱锥（棱台）的三面投影图（1）正三棱锥的三面投影投影特性：3.2.2棱锥的投影

①底面△ABC的水平投影为△abc，反映实形，其他两个投影积聚为直线;

②后侧面△SAC的侧面投影积聚为直线，其他两个投影为类似形;

③侧面△SAB和△SBC的三个投影均为类似形。

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影（a）正三棱锥的立体图

3.2基本平面立体的投影①画出棱锥底面的俯视图、主视图、左视图。②作出锥顶S的三个投影。③将S点与底面三角形的端点A、B、C的同面投影连线。abcb'c'b''(c'')a''ss's''a'正三棱锥的作图步骤：

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影（2）其他正棱锥的三面投影图图3-11其他正棱锥的三面投影注意放置的位置对投影的影响。

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影画正四棱锥三面投影图的方法和步骤。

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影（3）一般三棱锥的三面投影图图3-12一般三棱锥的三面投影

与正三棱锥一样，也是首先画出三棱锥底面△ABC的三个投影，再画出锥顶S的三个投影，然后连接SA、SB、SC各棱线即可。

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影（4）棱台的三面投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影图3-13四棱台的三面投影画棱台三面投影的步骤2.棱锥表面上点和线的投影

【例3-4】已知正三棱锥表面上点M的正面投影m′，试求作其水平投影和侧面投影。图3-14棱锥表面上点的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

一般位置表面上点的投影，可先在平面上过点的已知投影作辅助线，然后利用点从属于线的关系，求作其他两个投影。特殊位置表面上点的投影可利用平面的积聚性作图。先作线、后求点

与圆柱类比

还有别的作辅助线的方法吗？

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影图3-14棱锥表面上点的投影（续）过点M作底边AB的平行线作为辅助线。即过m′作平行于a′b′的直线。图3-14棱锥表面上点的投影（续）

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影方法二常用，方法一少用、方法三基本不用。三种方法的比较：过锥顶和已知点作辅助线过已知点作任意的辅助线m''m'm（1）SAB面是一般位置平面。（2）SAC面是侧垂面。

N点的投影如何画？

SB线是一般位置直线吗？nM

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

【例】求作三棱锥的三条棱线SA、SB、SC上的点D、E、F的另二面投影。a)题图空间分析：

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影解题过程（b）作点D、E、F的投影（c）运用定比性求点E的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

【例3-5】已知正三棱锥表面上直线KL的正面投影k′l′，试求作其水平投影和侧面投影。图3-15棱锥表面上线的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影分别求出两个端点K、L的投影、判断可见性并连接即可。3.平面与棱锥相交

【例3-6】试完成三棱锥被水平面截切后的投影。图3-16求三棱锥被水平面截切后的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影求出各棱线与截平面交点的投影并顺次连接即可。图3-16求三棱锥被水平面截切后的投影（续）

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影求四棱锥被截切后的三面投影。3

2

1

(4

)1

●2

●4

●3

●1●2●4●★空间问题分析交线的形状？3●★投影分析★求截交线★分析补画棱线的投影★检查尤其注意检查截交线投影的类似性截平面与立体的几个棱面相交？截交线在水平、侧面投影上的形状？

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影我们采用的是哪种解题方法？棱线法！

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影

【例3-7】试完成三棱锥被两个平面截切后的投影。图3-17求三棱锥被两个平面截切后的投影

3.2基本平面立体的投影—3.2.2棱锥的投影分析

三棱柱被一个水平面和一个正垂面截切，但都只切割了部分三棱锥。

（1）分别求出每个截平面与立体的截交线，再求出截平面与截平面之间的交线。（2）可采用“扩大截平面”的方法，先求出一个截平面将立体全部截切的投影，再留取截平面实际范围内的投影。图3-17求三棱柱被两个平面截切后的