机械工程图学-基本立体的投影（圆锥）

上节课的重点：

平面与圆柱相交的截交线。上节课的难点：平面与圆柱相交的截交线的求法。

3.3基本回转体的投影—3.3.1圆柱的投影

圆柱面上什么样的点称为特殊点、一般点？如何求作特殊点、一般点的投影？若点的一个投影位于转向线或中心线上，则称为特殊点，否则称为一般点。求作一般点的投影时，可利用圆柱面的积聚性作图。而求作特殊点的投影时，除了可利用圆柱面的积聚性之外，还可以利用转向线的投影特性直接作图。

平面截切圆柱有哪几种情况？其截交线分别是什么形状？在平面与回转体的截交线上，什么样的点称为特殊点？由于平面与圆柱轴线相对位置的不同，可形成三种截交线——圆、椭圆、矩形（与圆柱面的截交线为两条平行的直线）。截交线上有些共有点能大致确定截交线的形状和范围，其投影也很容易求出，这样的共有点就称为特殊点，包括截平面与回转面的转向线或中心线的交点，以及截交线上最高（低）、最左（右）、最前（后）等极限位置的点。求作平面与回转体截交线上一般点的投影时，需要采用什么方法？辅助平面法

3.3基本回转体的投影—3.3.1圆柱的投影

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3.3基本回转体的投影—3.3.1圆柱的投影

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3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

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3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

圆锥的形成：圆锥体是由圆锥面和地面所围成。圆锥面可以看成是由直线SA绕与它相交的轴线SO旋转一周而形成。SA称为圆锥的母线，圆锥面上通过顶点S的任一直线称为素线。3.3.2圆锥的投影

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

3.3基本回转体的投影圆锥的投影：圆锥轴线垂直于H面，底面为水平面，其水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚为一直线。1.圆锥的三面投影图图3-29圆锥的三面投影

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

投影特性：（1）水平投影为圆（为圆锥面的投影，没有积聚性；也是底圆的投影）。（2）正面和侧面投影为对称的、完全相同的等腰三角形。绘图步骤

（1）先绘出圆锥的对称中心线、轴线。（2）在水平投影面上绘出圆锥底圆，其正面投影和侧面投影积聚为直线。（3）再按圆锥体高度画出正面转向轮廓线和侧面转向轮廓线。圆锥投影的可见性应如何判断？

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

2.圆锥表面上点和线的投影辅助线辅助素线法辅助平面法（纬圆法）由于圆锥面的三个投影都没有积聚性，因此，除了投影位于转向线或中心线上的特殊点之外，要求作圆锥面上一般点的投影，必须要先作适当的辅助线。通过实例说明这两种方法的应用。

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

用辅助素线法求作圆锥面上一般点的投影。图3-30求作圆锥面上一般点的投影

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

过锥顶S和点K作辅助素线SG的三面投影，再根据直线上点的投影规律，由k′作出k、k″。

判别可见性，由k′的位置及可见性可知，点K在右前半圆锥面上，所以k可见，（k″）不可见。用辅助平面法（纬圆法）求作圆锥面上一般点的投影。图3-30求作圆锥面上一般点的投影

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

过点K作一辅助水平面，与圆锥面的交线是一个水平圆（纬圆），即在正面投影中过k′作水平线1′2′，则1′2′即为纬圆的正面投影（也就是纬圆的直径），其侧面投影则积聚为3″4″；在水平投影中，以s为圆心、1′2′为直径作圆，即为纬圆的水平投影。由于点K在纬圆上，故可根据纬圆的三面投影由k′作出k、（k″）。（1）作圆锥的W面投影（2）作特殊点A、B、C、D（3）作一般点E（用素线法）（4）作一般点E（用辅助平面法）（作图结束）辅助平面辅助素线（a）求特殊点

（b）用素线法求一般点（c）用辅助平面法求一般点【例】求作圆锥表面上点的投影。

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

abca´´(c´´)b´´d(d´´)【例】求作圆锥表面上线的投影。（a）作图过程先求作线上若干点的投影

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

（b）作图结果

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

【例3-16】已知圆锥表面上的曲线SAB的正面投影，试求作其水平投影和侧面投影。图3-31圆锥表面上线的投影

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

为求作圆锥面上曲线的投影，可先求作曲线上若干点的投影，然后顺次连接同面投影即可。

SA段为圆锥素线的一部分（因s′a′过锥顶），其投影为直线。

AB段为一正垂面与圆锥的交线——椭圆的一部分。（1）先求曲线上若干点的投影。（在AB段上选取点C、D、E

）

（2）判别可见性并顺次连线。

图3-31圆锥表面上线的投影（续）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

3.平面与圆锥相交由于平面与圆锥轴线相对位置的不同，可形成五种截交线：圆、椭圆、抛物线、双曲线、三角形（与圆锥面的截交线为两条相交的直线）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

（1）截平面垂直于圆锥轴线，截交线为圆。

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

（2）截平面倾斜于圆锥轴线，截交线为椭圆。

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

（1）求截交线上的特殊点；

（2）求一般点；

（3）判断可见性，顺次光滑连接各点；

（4）整理轮廓线。作图步骤

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

作图结果

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

（3）截平面平行一条素线，截交线为抛物线+直线。

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

=

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

（4）截平面平行于轴线，截交线为双曲线+直线。

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

11’1”2”(3”)4”(5”)4’5’2’3’2453作图过程

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

作图结果

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

（5）截平面过锥顶，截交线为三角形。

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

【例3-17】试求作圆锥被正平面P截切后截交线的投影。因正平面P与圆锥的轴线平行，故截交线为双曲线，且其正面投影反映实形，水平投影积聚在PH上（侧面投影也积聚为直线）。图3-32求作圆锥被正平面P截切后截交线的投影

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

图3-32求作圆锥被正平面P截切后截交线的投影（续）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

最低点A、B是正平面P与圆锥底圆的交点。

最高点E的水平投影e位于ab的中点，为了求作e′，可在水平投影中以s为圆心、se为半径作圆，再求出其正面投影，即可求得e′。利用纬圆法还可求得一般点C、D正面投影c′、d′。

【例3-18】试求作圆锥被正垂面P截切后截交线的投影。因正垂面P倾斜于圆锥的轴线，故截交线为椭圆，其正面投影积聚为直线，水平投影和侧面投影为椭圆的类似形（仍为椭圆）。图3-33求作圆锥被正垂面P截切后截交线的投影

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

图3-33求作圆锥被正垂面P截切后截交线的投影（续）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

椭圆上的特殊点有椭圆长、短轴AB、CD的端点。

长轴AB的正面投影a′b′反映AB的实长，A、B两点是圆锥正面转向轮廓线上的点，可直接由a′、b′求出a、b和a″、b″。

短轴CD为正垂线且与长轴AB垂直平分，求作a′b′的中点即得到短轴两端点的正面投影c′（d′），过c′（d′）作纬圆，求出纬圆的水平投影并在其上得到c、d，然后可求出c″、d″，图3-33求作圆锥被正垂面P截切后截交线的投影（续）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

特殊点E、F的侧面投影位于圆锥的侧面转向轮廓线上，可由e′（f

′）直接求出e″、f

″和e、f

。在截交线的积聚性投影a′b′的适当位置选取位于同一纬圆上的一般点G、H，用纬圆法由g′（h′）求出其水平投影g、h和侧面投影g″、h″。图3-33求作圆锥被正垂面P截切后截交线的投影（续）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

顺次光滑连接各点的同面投影，整理、加深，补画侧面投影的转向轮廓线，即完成作图。

【例3-19】试求作圆锥被水平面Q和正垂面P截切后截交线的投影。

水平面Q与圆锥的轴线垂直，故截交线为圆的一部分，其正面投影积聚在QV上。图3-34求作圆锥被水平面Q和正垂面P截切后截交线的投影

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

由于正垂面P过圆锥的锥顶，故截交线为两条过锥顶的直线，其正面投影与PV重合。图3-34求作圆锥被水平面Q和正垂面P截切后截交线的投影（续）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

在正面投影中延长QV投影，作直线c′d′,求出水平投影c，以s

为圆心、sc为半径作圆，根据“三等规律”，保留截平面Q范围内的部分圆弧afceb。再根据截交线的正面投影和水平投影，求出其侧面投影e″f

″。图3-34求作圆锥被水平面Q和正垂面P截切后截交线的投影（续）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

正垂面P与圆锥的截交线为直线，连接水平投影sa、sb，s″a″、s″b″。水平面Q与正垂面P交线的水平投影ab为不可见，应画成细虚线。

【例3-20】试求作同轴组合回转体被水平面P和正垂面Q截切后截交线的投影。图3-35求同轴组合回转体被水平面P和正垂面Q截切后截交线的投影

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

同轴组合回转体由若干个同轴的基本回转体组合而成，可分别求出截平面与各个回转体的截交线并将其组合起来，就是同轴组合回转体的截交线。本题的同轴组合回转体由圆锥和圆柱组成。

水平面P截切了圆锥和部分圆柱，与圆锥面的截交线为双曲线，与圆柱面的截交线为两条平行直线。

正垂面Q只截切了部分圆柱，与圆柱面的截交线是椭圆的一部分。

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

图3-35求同轴组合回转体被水平面P和正垂面Q截切后截交线的投影（续）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

水平面P截切了圆锥和部分圆柱，与圆锥面的截交线为双曲线，与圆柱面的截交线为两条平行直线。水平面P与圆锥截得的双曲线中，点A、B、C为特殊点，点Ⅰ、Ⅱ为一般点。水平面P与圆柱面截得的两条平行直线必定与双曲线位于同一平面上，其交点为B、C。

图3-35求同轴组合回转体被水平面P和正垂面Q截切后截交线的投影（续）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

正垂面Q与圆柱的截交线为椭圆的一部分，点D、E、F为椭圆上的特殊点，点Ⅲ、Ⅳ为一般点。水平面P与正垂面Q的交线DE为正垂线。图3-35求同轴组合回转体被水平面P和正垂面Q截切后截交线的投影（续）

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

圆锥与圆柱的交线为圆，其水平投影积聚为直线，由于圆的上半部被截掉一部分，而下半部为不可见，故b、c至转向线的一段要画成粗实线，而b、c之间的一段则要画成细虚线。顺次光滑连接水平投影中的各点，整理、加深，完成作图。●●●●●●●●●●●●●●●●首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系，然后分别求出这些基本回转体的截交线，并依次将其连接。【例】补画立体的水平投影。

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

作图结果

3.3基本回转体的投影—3.3.2圆锥的投影

本节课的重点：圆锥的三面投影图、圆锥表面上点和线的投影、平面与圆锥相交。本节课的难点：用素线法或纬圆法求圆锥表面上一般点的投影、用辅助平面法求圆锥截交线上一般点的投影。求作圆锥面上一般点的投影时，需要先在圆锥面上过点的已知投影作辅助线，辅助线的作法有哪几种？（1）辅助素线法：过锥顶和点的已知投影作辅助素线（直线）。（2）辅助平面法（纬圆法）：过点的已知投影作一垂