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文档简介
天津市大港区名校2024届中考一模数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.如图,I是∆ABC的内心,AI向延长线和△ABC的外接圆相交于点D,连接BI,BD,DC下列说法中错误的一项是()A.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合B.线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI熏合C.∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合D.线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合2.体育测试中,小进和小俊进行800米跑测试,小进的速度是小俊的1.25倍,小进比小俊少用了40秒,设小俊的速度是米/秒,则所列方程正确的是()A. B.C. D.3.小明乘出租车去体育场,有两条路线可供选择:路线一的全程是25千米,但交通比较拥堵,路线二的全程是30千米,平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%,因此能比走路线一少用10分钟到达.若设走路线一时的平均速度为x千米/小时,根据题意,得A.25x-C.30(1+80%)x-4.如图,⊙O的半径OA=6,以A为圆心,OA为半径的弧交⊙O于B、C点,则BC=()A.6 B.6 C.3 D.35.已知方程的两个解分别为、,则的值为()A. B. C.7 D.36.如图,在△ABC中,DE∥BC,∠ADE=∠EFC,AD∶BD=5∶3,CF=6,则DE的长为()A.6 B.8 C.10 D.127.如图1是2019年4月份的日历,现用一长方形在日历表中任意框出4个数(如图2),下列表示a,b,c,d之间关系的式子中不正确的是()A.a﹣d=b﹣c B.a+c+2=b+d C.a+b+14=c+d D.a+d=b+c8.如果关于x的方程没有实数根,那么c在2、1、0、中取值是()A.; B.; C.; D..9.如图,将木条a,b与c钉在一起,∠1=70°,∠2=50°,要使木条a与b平行,木条a旋转的度数至少是()A.10° B.20° C.50° D.70°10.如图,在平面直角坐标系xOy中,△由△绕点P旋转得到,则点P的坐标为()A.(0,1) B.(1,-1) C.(0,-1) D.(1,0)11.如图,是的直径,弦,,,则阴影部分的面积为()A.2π B.π C. D.12.下列图形中,可以看作是中心对称图形的是()A. B. C. D.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13.若a2﹣2a﹣4=0,则5+4a﹣2a2=_____.14.﹣|﹣1|=______.15.如图,以AB为直径的半圆沿弦BC折叠后,AB与相交于点D.若,则∠B=________°.16.如图,点C在以AB为直径的半圆上,AB=8,∠CBA=30°,点D在线段AB上运动,点E与点D关于AC对称,DF⊥DE于点D,并交EC的延长线于点F.下列结论:①CE=CF;②线段EF的最小值为;③当AD=2时,EF与半圆相切;④若点F恰好落在BC上,则AD=;⑤当点D从点A运动到点B时,线段EF扫过的面积是.其中正确结论的序号是.17.已知扇形的弧长为,圆心角为45°,则扇形半径为_____.18.若一个圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm,圆心角为120°的扇形,则该圆锥的侧面面积为______cm(结果保留π).三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19.(6分)如图,AC是⊙O的直径,BC是⊙O的弦,点P是⊙O外一点,连接PA、PB、AB、OP,已知PB是⊙O的切线.(1)求证:∠PBA=∠C;(2)若OP∥BC,且OP=9,⊙O的半径为3,求BC的长.20.(6分)如图,四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=CD,CE⊥AD,垂足为E,求证:AE=CE.21.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以AC为直径作⊙O,交AB于D,过点O作OE∥AB,交BC于E.(1)求证:ED为⊙O的切线;(2)若⊙O的半径为3,ED=4,EO的延长线交⊙O于F,连DF、AF,求△ADF的面积.22.(8分)(1)解方程:x2﹣5x﹣6=0;(2)解不等式组:.23.(8分)如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A()和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.(1)B点坐标为,并求抛物线的解析式;(2)求线段PC长的最大值;(3)若△PAC为直角三角形,直接写出此时点P的坐标.24.(10分)观察下列算式:①1×3-22="3"-4=-1②2×4-32="8"-9=-1③3×5-42="15"-16=-1④……(1)请你按以上规律写出第4个算式;(2)把这个规律用含字母的式子表示出来;(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗?并说明理由.25.(10分)由于雾霾天气趋于严重,我市某电器商城根据民众健康需求,代理销售某种家用空气净化器,其进价是200元/台.经过市场销售后发现:在一个月内,当售价是400元/台时,可售出200台,且售价每降低10元,就可多售出50台.若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务.完成下列表格,并直接写出月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式及售价x的取值范围;售价(元/台)月销售量(台)400200250x(2)当售价x(元/台)定为多少时,商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大?最大利润是多少?26.(12分)如图所示,在△ABC中,AB=CB,以BC为直径的⊙O交AC于点E,过点E作⊙O的切线交AB于点F.(1)求证:EF⊥AB;(2)若AC=16,⊙O的半径是5,求EF的长.27.(12分)某同学报名参加学校秋季运动会,有以下5个项目可供选择:径赛项目:100m、200m、1000m(分别用A1、A2、A3表示);田赛项目:跳远,跳高(分别用T1、T2表示).该同学从5个项目中任选一个,恰好是田赛项目的概率P为;该同学从5个项目中任选两个,求恰好是一个径赛项目和一个田赛项目的概率P1,利用列表法或树状图加以说明;该同学从5个项目中任选两个,则两个项目都是径赛项目的概率P2为.
参考答案一、选择题(本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1、D【解析】解:∵I是△ABC的内心,∴AI平分∠BAC,BI平分∠ABC,∴∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI,故C正确,不符合题意;∴=,∴BD=CD,故A正确,不符合题意;∵∠DAC=∠DBC,∴∠BAD=∠DBC.∵∠IBD=∠IBC+∠DBC,∠BID=∠ABI+∠BAD,∴∠DBI=∠DIB,∴BD=DI,故B正确,不符合题意.故选D.点睛:本题考查了三角形的内切圆和内心的,以及等腰三角形的判定与性质,同弧所对的圆周角相等.2、C【解析】
先分别表示出小进和小俊跑800米的时间,再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可.【详解】小进跑800米用的时间为秒,小俊跑800米用的时间为秒,∵小进比小俊少用了40秒,方程是,故选C.【点睛】本题考查了列分式方程解应用题,能找出题目中的相等关系式是解此题的关键.3、A【解析】若设走路线一时的平均速度为x千米/小时,根据路线一的全程是25千米,但交通比较拥堵,路线二的全程是30千米,平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%,因此能比走路线一少用10分钟到达可列出方程.解:设走路线一时的平均速度为x千米/小时,25故选A.4、A【解析】试题分析:根据垂径定理先求BC一半的长,再求BC的长.解:如图所示,设OA与BC相交于D点.∵AB=OA=OB=6,∴△OAB是等边三角形.又根据垂径定理可得,OA平分BC,利用勾股定理可得BD=所以BC=2BD=.故选A.点睛:本题主要考查垂径定理和勾股定理.解题的关键在于要利用好题中的条件圆O与圆A的半径相等,从而得出△OAB是等边三角形,为后继求解打好基础.5、D【解析】
由根与系数的关系得出x1+x2=5,x1•x2=2,将其代入x1+x2−x1•x2中即可得出结论.【详解】解:∵方程x2−5x+2=0的两个解分别为x1,x2,∴x1+x2=5,x1•x2=2,∴x1+x2−x1•x2=5−2=1.故选D.【点睛】本题考查了根与系数的关系,解题的关键是根据根与系数的关系得出x1+x2=5,x1•x2=2.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键.6、C【解析】∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∵∠ADE=∠EFC,∴∠B=∠EFC,△ADE∽△EFC,∴BD∥EF,,∴四边形BFED是平行四边形,∴BD=EF,∴,解得:DE=10.故选C.7、A【解析】
观察日历中的数据,用含a的代数式表示出b,c,d的值,再将其逐一代入四个选项中,即可得出结论.【详解】解:依题意,得:b=a+1,c=a+7,d=a+1.A、∵a﹣d=a﹣(a+1)=﹣1,b﹣c=a+1﹣(a+7)=﹣6,∴a﹣d≠b﹣c,选项A符合题意;B、∵a+c+2=a+(a+7)+2=2a+9,b+d=a+1+(a+1)=2a+9,∴a+c+2=b+d,选项B不符合题意;C、∵a+b+14=a+(a+1)+14=2a+15,c+d=a+7+(a+1)=2a+15,∴a+b+14=c+d,选项C不符合题意;D、∵a+d=a+(a+1)=2a+1,b+c=a+1+(a+7)=2a+1,∴a+d=b+c,选项D不符合题意.故选:A.【点睛】考查了列代数式,利用含a的代数式表示出b,c,d是解题的关键.8、A【解析】分析:由方程根的情况,根据根的判别式可求得c的取值范围,则可求得答案.详解:∵关于x的方程x1+1x+c=0没有实数根,∴△<0,即11﹣4c<0,解得:c>1,∴c在1、1、0、﹣3中取值是1.故选A.点睛:本题主要考查了根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键.9、B【解析】
要使木条a与b平行,那么∠1=∠2,从而可求出木条a至少旋转的度数.【详解】解:∵要使木条a与b平行,∴∠1=∠2,∴当∠1需变为50º,∴木条a至少旋转:70º-50º=20º.故选B.【点睛】本题考查了旋转的性质及平行线的性质:①两直线平行同位角相等;②两直线平行内错角相等;③两直线平行同旁内角互补;④夹在两平行线间的平行线段相等.在运用平行线的性质定理时,一定要找准同位角,内错角和同旁内角.10、B【解析】试题分析:根据网格结构,找出对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心.试题解析:由图形可知,对应点的连线CC′、AA′的垂直平分线过点(0,-1),根据旋转变换的性质,点(1,-1)即为旋转中心.故旋转中心坐标是P(1,-1)故选B.考点:坐标与图形变化—旋转.11、D【解析】分析:连接OD,则根据垂径定理可得出CE=DE,继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积,代入扇形的面积公式求解即可.详解:连接OD,∵CD⊥AB,∴(垂径定理),故即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积,又∵∴(圆周角定理),∴OC=2,故S扇形OBD=即阴影部分的面积为.故选D.点睛:考查圆周角定理,垂径定理,扇形面积的计算,熟记扇形的面积公式是解题的关键.12、A【解析】分析:根据中心对称的定义,结合所给图形即可作出判断.详解:A、是中心对称图形,故本选项正确;B、不是中心对称图形,故本选项错误;C、不是中心对称图形,故本选项错误;D、不是中心对称图形,故本选项错误;故选:A.点睛:本题考查了中心对称图形的特点,属于基础题,判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合.二、填空题:(本大题共6个小题,每小题4分,共24分.)13、-3【解析】试题解析:∵即∴原式故答案为14、2【解析】
原式利用立方根定义,以及绝对值的代数意义计算即可求出值.【详解】解:原式=3﹣1=2,故答案为:2【点睛】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.15、18°【解析】
由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD,根据在同圆和等圆中,相等的圆周角所对的弧相等可得,再由和半圆的弧度为180°可得的度数×5=180°,即可求得的度数为36°,再由同弧所对的圆周角的度数为其弧度的一半可得∠B=18°.【详解】解:由折叠的性质可得∠ABC=∠CBD,∴,∵,∴的度数+的度数+的度数=180°,即的度数×5=180°,∴的度数为36°,∴∠B=18°.故答案为:18.【点睛】本题考查了折叠的性质:折叠是一种对称变换,它属于轴对称,折叠前后图形的形状和大小不变,位置变化,对应边和对应角相等.还考查了圆弧的度数与圆周角之间的关系.16、①③⑤.【解析】试题分析:①连接CD,如图1所示,∵点E与点D关于AC对称,∴CE=CD,∴∠E=∠CDE,∵DF⊥DE,∴∠EDF=90°,∴∠E+∠F=90°,∠CDE+∠CDF=90°,∴∠F=∠CDF,∴CD=CF,∴CE=CD=CF,∴结论“CE=CF”正确;②当CD⊥AB时,如图2所示,∵AB是半圆的直径,∴∠ACB=90°,∵AB=8,∠CBA=30°,∴∠CAB=60°,AC=4,BC=.∵CD⊥AB,∠CBA=30°,∴CD=BC=.根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:点D在线段AB上运动时,CD的最小值为.∵CE=CD=CF,∴EF=2CD.∴线段EF的最小值为.∴结论“线段EF的最小值为”错误;③当AD=2时,连接OC,如图3所示,∵OA=OC,∠CAB=60°,∴△OAC是等边三角形,∴CA=CO,∠ACO=60°,∵AO=4,AD=2,∴DO=2,∴AD=DO,∴∠ACD=∠OCD=30°,∵点E与点D关于AC对称,∴∠ECA=∠DCA,∴∠ECA=30°,∴∠ECO=90°,∴OC⊥EF,∵EF经过半径OC的外端,且OC⊥EF,∴EF与半圆相切,∴结论“EF与半圆相切”正确;④当点F恰好落在上时,连接FB、AF,如图4所示,∵点E与点D关于AC对称,∴ED⊥AC,∴∠AGD=90°,∴∠AGD=∠ACB,∴ED∥BC,∴△FHC∽△FDE,∴FH:FD=FC:FE,∵FC=EF,∴FH=FD,∴FH=DH,∵DE∥BC,∴∠FHC=∠FDE=90°,∴BF=BD,∴∠FBH=∠DBH=30°,∴∠FBD=60°,∵AB是半圆的直径,∴∠AFB=90°,∴∠FAB=30°,∴FB=AB=4,∴DB=4,∴AD=AB﹣DB=4,∴结论“AD=”错误;⑤∵点D与点E关于AC对称,点D与点F关于BC对称,∴当点D从点A运动到点B时,点E的运动路径AM与AB关于AC对称,点F的运动路径NB与AB关于BC对称,∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分,∴S阴影=2S△ABC=2×AC•BC=AC•BC=4×=,∴EF扫过的面积为,∴结论“EF扫过的面积为”正确.故答案为①③⑤.考点:1.圆的综合题;2.等边三角形的判定与性质;3.切线的判定;4.相似三角形的判定与性质.17、1【解析】
根据弧长公式l=代入求解即可.【详解】解:∵,∴.故答案为1.【点睛】本题考查了弧长的计算,解答本题的关键是掌握弧长公式:l=.18、12π【解析】根据圆锥的侧面展开图是扇形可得,,∴该圆锥的侧面面积为:12π,故答案为12π.三、解答题:(本大题共9个小题,共78分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19、(1)证明见解析;(2)BC=1.【解析】
(1)连接OB,根据切线的性质和圆周角定理求出∠PBO=∠ABC=90°,即可求出答案;
(2)求出△ABC∽△PBO,得出比例式,代入求出即可.【详解】(1)连接OB,∵PB是⊙O的切线,∴PB⊥OB,∴∠PBA+∠OBA=90°,∵AC是⊙O的直径,∴∠ABC=90°,∠C+∠BAC=90°,∵OA=OB,∴∠OBA=∠BAO,∴∠PBA=∠C;(2)∵⊙O的半径是3,∴OB=3,AC=6,∵OP∥BC,∴∠BOP=∠OBC,∵OB=OC,∴∠OBC=∠C,∴∠BOP=∠C,∵∠ABC=∠PBO=90°,∴△ABC∽△PBO,∴=,∴=,∴BC=1.【点睛】本题考查平行线的性质,切线的性质,相似三角形的性质和判定,圆周角定理等知识点,能综合运用知识点进行推理是解题关键.20、证明见解析.【解析】
过点B作BF⊥CE于F,根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D,再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等,根据全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形,根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证.【详解】证明:如图,过点B作BF⊥CE于F,∵CE⊥AD,∴∠D+∠DCE=90°,∵∠BCD=90°,∴∠BCF+∠DCE=90°∴∠BCF=∠D,在△BCF和△CDE中,∴△BCF≌△CDE(AAS),∴BF=CE,又∵∠A=90°,CE⊥AD,BF⊥CE,∴四边形AEFB是矩形,∴AE=BF,∴AE=CE.21、(1)见解析;(2)△ADF的面积是.【解析】试题分析:(1)连接OD,CD,求出∠BDC=90°,根据OE∥AB和OA=OC求出BE=CE,推出DE=CE,根据SSS证△ECO≌△EDO,推出∠EDO=∠ACB=90°即可;
(2)过O作OM⊥AB于M,过F作FN⊥AB于N,求出OM=FN,求出BC、AC、AB的值,根据sin∠BAC=,求出OM,根据cos∠BAC=,求出AM,根据垂径定理求出AD,代入三角形的面积公式求出即可.试题解析:(1)证明:连接OD,CD,∵AC是⊙O的直径,∴∠CDA=90°=∠BDC,∵OE∥AB,CO=AO,∴BE=CE,∴DE=CE,∵在△ECO和△EDO中,∴△ECO≌△EDO,∴∠EDO=∠ACB=90°,即OD⊥DE,OD过圆心O,∴ED为⊙O的切线.(2)过O作OM⊥AB于M,过F作FN⊥AB于N,则OM∥FN,∠OMN=90°,∵OE∥AB,∴四边形OMFN是矩形,∴FN=OM,∵DE=4,OC=3,由勾股定理得:OE=5,∴AC=2OC=6,∵OE∥AB,∴△OEC∽△ABC,∴,∴,∴AB=10,在Rt△BCA中,由勾股定理得:BC==8,sin∠BAC=,即,OM==FN,∵cos∠BAC=,∴AM=由垂径定理得:AD=2AM=,即△ADF的面积是AD×FN=××=.答:△ADF的面积是.【点睛】考查了切线的性质和判定,勾股定理,三角形的面积,垂径定理,直角三角形的斜边上中线性质,全等三角形的性质和判定等知识点的运用,通过做此题培养了学生的分析问题和解决问题的能力.22、(1)x1=6,x2=﹣1;(2)﹣1≤x<1.【解析】
(1)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;(2)先求出不等式的解集,再求出不等式组的解集即可.【详解】(1)x2﹣5x﹣6=0,(x﹣6)(x+1)=0,x﹣6=0,x+1=0,x1=6,x2=﹣1;(2)∵解不等式①得:x≥﹣1,解不等式②得:x<1,∴不等式组的解集为﹣1≤x<1.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和解一元二次方程,能把一元二次方程转化成一元一次方程是解(1)的关键,能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解(2)的关键.23、(1)(4,6);y=1x1﹣8x+6(1);(3)点P的坐标为(3,5)或().【解析】
(1)已知B(4,m)在直线y=x+1上,可求得m的值,抛物线图象上的A、B两点坐标,可将其代入抛物线的解析式中,通过联立方程组即可求得待定系数的值.(1)要弄清PC的长,实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P点横坐标,根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标,进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出PC的最大值.(3)根据顶点问题分情况讨论,若点P为直角顶点,此图形不存在,若点A为直角顶点,根据已知解析式与点坐标,可求出未知解析式,再联立抛物线的解析式,可求得C点的坐标;若点C为直角顶点,可根据点的对称性求出结论.【详解】解:(1)∵B(4,m)在直线y=x+1上,∴m=4+1=6,∴B(4,6),故答案为(4,6);∵A(,),B(4,6)在抛物线y=ax1+bx+6上,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=1x1﹣8x+6;(1)设动点P的坐标为(n,n+1),则C点的坐标为(n,1n1﹣8n+6),∴PC=(n+1)﹣(1n1﹣8n+6),=﹣1n1+9n﹣4,=﹣1(n﹣)1+,∵PC>0,∴当n=时,线段PC最大且为.(3)∵△PAC为直角三角形,i)若点P为直角顶点,则∠APC=90°.由题意易知,PC∥y轴,∠APC=45°,因此这种情形不存在;ii)若点A为直角顶点,则∠PAC=90°.如图1,过点A(,)作AN⊥x轴于点N,则ON=,AN=.过点A作AM⊥直线AB,交x轴于点M,则由题意易知,△AMN为等腰直角三角形,∴MN=AN=,∴OM=ON+MN=+=3,∴M(3,0).设直线AM的解析式为:y=kx+b,则:,解得,∴直线AM的解析式为:y=﹣x+3①又抛物线的解析式为:y=1x1﹣8x+6②联立①②式,解得:或(与点A重合,舍去),∴C(3,0),即点C、M点重合.当x=3时,y=x+1=5,∴P1(3,5);iii)若点C为直角顶点,则∠ACP=90°.∵y=1x1﹣8x+6=1(x﹣1)1﹣1,∴抛物线的对称轴为直线x=1.如图1,作点A(,)关于对称轴x=1的对称点C,则点C在抛物线上,且C(,).当x=时,y=x+1=.∴P1(,).∵点P1(3,5)、P1(,)均在线段AB上,∴综上所述,△PAC为直角三角形时,点P的坐标为(3,5)或(,).【点睛】本题考查了二次函数的综合题,解题的关键是熟练的掌握二次函数的应用.24、⑴4×6-5⑵答案不唯一.如n(n+2)-(n+1)⑶n(n+2)-(n+1)2==-1.【解析】(1)根据①②③的算式中,变与不变的部分,找出规律,写出新的算式;(2)将(1)中,发现的规律,由特殊到一般,得出结论;(3)一定成立.利用整式的混合运算方法加以证明.25、(1)390,1-5x,y=-5x+1(300≤x≤2);(2)售价定位320元时,利润最大,为3元.【解析】
(1)根据题中条件可得390,1-5x,若销售价每降低10元,月销售量就可多售出50千克,即可列出函数关系式;根据供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台,代理销售商每月要完成不低于450台的销售即可求出x的取值.(2)用x表示y,然后再用x来表示出w,根据函数关系式,即可求出最大w.【详解】(1)依题意得:y=2
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