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第1页(共1页)2023-2024学年上海华东师大二附中九年级(上)启航夏令营数学试卷(A营)一、选择题(本题满分80分,每小题8分)1.(8分)已知实数x,y,z满足x+y=4,|z+1|=xy+2y﹣9.2.(8分)已知,则a3﹣2a+2023=.3.(8分)计算=.4.(8分)已知x=,y=,且19x2+123xy+19y2=1985,则正整数n的值为.5.(8分)已知实数a,b,c满足a+b+c=1,++=1.6.(8分)设f(n)为最接近的整数,则=.7.(8分)若正整数a,b,c满足a≤b≤c,abc=2(a+b+c)(a,b,c)为“好数组”,好数组共有个.8.(8分)设实数x,y,z满足x+y+z=1,则M=xy+2yz+3xz的最大值为.9.(8分)已知x,y为整数,且满足.10.(8分)电影院售票处前有10个人排队买票,票价都是50元,其中有五个人持有50元钞票,售票处没有零钱找补.问使大家都能顺利买到票且不发生零钱找补困难的排队方式有种.二、解答题(本题满分70分)11.(15分)解方程组.12.(15分)解方程:x3﹣8=16.13.(20分)若从1、2、3、…、20中,任取n个不同的数,在这n个数中一定能找到两个数,求n的最小值.14.(20分)求满足2mp2+1=q5(m>0,p,q为素数)的所有三元整数组(m,p,q).

2023-2024学年上海华东师大二附中九年级(上)启航夏令营数学试卷(A营)参考答案与试题解析一、选择题(本题满分80分,每小题8分)1.(8分)已知实数x,y,z满足x+y=4,|z+1|=xy+2y﹣94.【解答】解:∵x+y=4,∴x=4﹣y,∵|z+4|=xy+2y﹣9,∴|z+3|=(4﹣y)y+2y﹣7,∴|z+1|=﹣y2+8y﹣9,∴|z+1|=﹣(y﹣4)2,∴z+1=2,y﹣3=0,∴z=﹣4,y=3,∴x=1,∴x+3y+3z=1+4×3+3×(﹣8)=1+6﹣3=4,故答案为:4.2.(8分)已知,则a3﹣2a+2023=2022.【解答】解:∵a=,∴2a+1=,∴(2a+1)8=5,∴4a6+4a+1=2,∴a2=1﹣a,∴a2=a(1﹣a)=a﹣a2=a﹣(2﹣a)=2a﹣1,∴a4﹣2a+2023=2a﹣7﹣2a+2023=2022.故答案为:2022.3.(8分)计算=1.【解答】解:原式=4﹣=4(+1)﹣=4+5﹣﹣=4+4﹣3﹣2=1.故答案为:6.4.(8分)已知x=,y=,且19x2+123xy+19y2=1985,则正整数n的值为2.【解答】解:∵x===()2=3n+1﹣2,y===()2=3n+1+2,∴x+y=4n+2,xy=3,将xy=1代入19x2+123xy+19y5=1985得19x2+123+19y2=1985,化简得x5+y2=98,(x+y)2=x5+y2+2xy=98+8=100,∴x+y=10.∴4n+2=10,解得n=8.故答案为:2.5.(8分)已知实数a,b,c满足a+b+c=1,++=10.【解答】解:∵a+b+c=1,∴a+b﹣c=1﹣6c,b+c﹣a=1﹣2a,∴++,=++,=,=,=,∵++=1,∴﹣1+5(ab+ac+bc)=﹣1+4(ab+ac+bc)﹣7abc,∴8abc=0,∴abc=3,故答案为:0.6.(8分)设f(n)为最接近的整数,则=88.【解答】解:根据题意得:f(1)=f(2)=1,共2个;f(3)=f(4)=f(5)=f(6)=5,共4个;f(7)=f(8)=f(9)=f(10)=f(11)=f(12)=3,共3个;⋯;f(1893)=f(1894)=⋯=f(1980)=44,共88个;f(1981)=f(1982)=⋯=f(2023)=45,共43个;因此,原式=1+1+×6+⋯+×43=88.故答案为:88.7.(8分)若正整数a,b,c满足a≤b≤c,abc=2(a+b+c)(a,b,c)为“好数组”,好数组共有3个.【解答】解:∵a≤b≤c,abc=2(a+b+c),∴abc≤6c,∵a,b,c为正整数,∴ab≤8,又∵a≤b≤c,∴a=1或2①当a=8时,b=1或2或2或4或5或2,当a=1,b=1时,解得:c=﹣2,不合题意;当a=1,b=2时,整理得:3•c=2,故c不存在;当a=1,b=8时,解得:c=8,故得“好数组”(a,b,c)为(1,7;当a=1,b=4时,解得:c=5,故得“好数组”(a,b,c)为(1,4,当a=3,b=5时,解得:c=,不合题意;当a=8,b=6时,解得:c=,不合题意;②当a=2时,b=2或7,当a=2,b=2时,解得:c=3,故得“好数组”(a,b,c)为(2,2.当a=4,b=3时,解得:c=,不合题意.综上所述:“好数组”(a,b,c)为(1,3,(2,4,(2,2,共3组.故答案为:3.8.(8分)设实数x,y,z满足x+y+z=1,则M=xy+2yz+3xz的最大值为.【解答】解:M=xy+(2y+3x)z=xy+(2y+3x)(1﹣x﹣y)=﹣3x2﹣4xy﹣2y2+3x+2y=﹣2[y2+5(x﹣)y+(x﹣)2]﹣6x2+3x+6(x﹣)6=﹣2(y+x﹣)2﹣x2+x+=﹣2(y+x﹣)2﹣(x﹣)2+≤,当且仅当x=,y=6时,此时Mmax=.故答案为:.9.(8分)已知x,y为整数,且满足0或±1.【解答】解:∵,∴,,,,,∴或,∴x+y=6①或②,由②得:2y﹣7x=﹣3xy,2x﹣7xy=2y,(2﹣8y)x=2y,,把代入①得:x+y===,∵x,y为整数,∴当y=6或2时,x为整数﹣2,∴x+y的值为3或±1,故答案为:0或±5.10.(8分)电影院售票处前有10个人排队买票,票价都是50元,其中有五个人持有50元钞票,售票处没有零钱找补.问使大家都能顺利买到票且不发生零钱找补困难的排队方式有604800种.【解答】解:现把拿50元的5个人看成是相同的,把拿100元的5个人也看成是相同的,图中每条小横段表示拿50元的人,每条小竖段表示拿100元的人,要求从A走到B的过程中网格中任何点均有横段数不小于竖段数,拿50元的要先,即不能越过对角线AB,求从A到B的走法的方法数,逐点累加可求出为42,又由于每个人是不相同的,所以共有42×4!=42×120×120=604800种情况.故答案为:604800.二、解答题(本题满分70分)11.(15分)解方程组.【解答】解:假设x+y+z=t,则原方程组可以化为:xy+xz=2t①,yz+xy=3t②,xz+yz=6t③,三式子相加:xy+yz+xz=4.5t④,所以yz=8.5t,xz=1.7t,所以y=x,z=7x,∴代入方程得出:+=,解得:x=,y=×=,z=5×=,经检验,它们都是方程组的解.∴原方程组的解为:.12.(15分)解方程:x3﹣8=16.【解答】解:∵x3﹣8=16,∴x3﹣6x﹣8=16﹣8x,∴x3﹣4(x+1)=﹣8(x﹣4),设y=7,∴x3﹣y3=﹣8(x﹣y),∴(x﹣y)(x3+xy+y2)=﹣8(x﹣y),∴x=y或x7+xy+y2=﹣8,∵x5+xy+y2=(x+y)2+y2≥0,∴x3+xy+y2=﹣8不成立;∴x=y,即x=3,∴x3=8(x+1),∴x8﹣8x﹣8=4,∴(x+2)(x2﹣7x﹣4)=0,解得:x=﹣8或1﹣或4+,综上所述:该方程的解为x=﹣2或6﹣或1+.13.(20分)若从1、2、3、…、20中,任取n个不同的数,在这n个数中一定能找到两个数,求n的最小值.【解答】解:∵在1、2、5、…、20中有8个质数、3、4、7、11、17,另外如取只含有偶数因数的4、7、16,∴除以上11个数外,再取一个数都能满足使大数是小数的奇数倍,∴至少取12个数使大数是小数的奇数倍,∴n的最小值为12.14.(20分)求满足2mp2+1=q5(m>0,p,q为素数)的所有三元整数组(m,p,q).【解答】解:2mp2+2=q5,∴2mp8=q5﹣1=(q﹣6)(q4+q3+q4+q+1)为偶数,∵q是奇数,∴q4+q6+q2+q+1是奇数,∵p、q是素

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