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第九章定积分练习题§1定积分概念习题按定积分定义证明：通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）（2）（3）（4）§2牛顿一菜布尼茨公式 1．计算下列定积分： （1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）（7）（8）2．利用定积分求极限：（1）（2）（3）（4）3．证明：若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续，且除有限个点外有F＇（x）=f(x),则有§3可积条件证明：若Tˊ是T增加若干个分点后所得的分割，则证明：若f在[a,b]上可积，.3.设f﹑g均为定义在[a,b]上的有界函数。证明：若仅在[a,b]中有限个点处则当f在[a,b]上可积时，g在[a,b]上也可积，且设f在[a,b]上有界，证明：在[a,b]上只有为其间断点，则f在[a,b]上可积。证明：若f在区间上有界，则。§4定积分的性质1.证明:若f与g都在[a,b]上可积,则其中是T所属小区间△i中的任意两点,i=1,2…,n.2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小:(1) (2)3.证明下列不等式:(1)(2);一个比较简单的,不同于9.11的证明.）※§6可积性理论补叙证明性质2中关于下和的不等式(3).证明性质6中关于下和的极限式.设试求在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断在[0,1]上是否可积.设在[a,b]上可积,且上是否可积?为什么?证明:定理9.14中的可积第二充要条件等价于“任给都有.6.据理回答:何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质?何种连续函数具有“所有下和（或上和）都相等”的性质？对于可积函数，若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论？7．本题的最终目的是要证明：若在[a,b]上可积，则在[a,b]内必定有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明：（1）若T是[a,b]的一个分割，使得S（T）s(T)<b—a，则在T中存存在某个小区间（2）存在区间使得（3）存在区间使得（4）继续以上方法，求出一区间序列说明为一区间套，从而存在而且在点x0连续。（5）上面求得的的连续点在[a,b]内处处稠密。总练习题证明：若在[0，a]上连续，二阶可导，且，则有2.证明下列命题：若在[a,b]上连续增，则F为[a,b]上的增函数。若在上连续，且（x）>0，则为上的严格增函数，如果要使在上为严格增，试问应补充定义（0）=？3、设在上连续，且证明4．设是定义的上的一个连续周期函数，周期为p证明证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。证明施瓦茨（Schwarz）不等式：若和g在[a,b]上可积，则利用施瓦茨不等式证明：（1）若在[a,b]上可积，则（2）若在[a,b]上可积，且（x）>m>0，则（3）若、g都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式：8．证明：若在[a,b]上连续，且（x）>0，则9．设为上的连续减函数，（x）>0；又设

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