定积分思想在物理学中的应用

定积分思想在物理学中的应用面积元素数学是一门高等学科，更是解决其他学科问题的有效工具，定积分作为高等数学重要的组成部分，在物理学中不仅是数学工具的应用，还是一种思维方法的应用。微分和积分是定积分的精髓，正是其告诉我们之所以可以解决很多非线性问题，本质的原因在于化曲为直了。面积元素定积分A=i=1nf(δi重要思想：分割近似，极限求和方法：微元法如果依据以前的常规函数，只能解决一些线性问题，但在实际问题中，物体的状态常常是变化的，，这时利用定积分的无限分割思想就能解决困难的物理问题。定积分在物理应用关键在于：首先对各种常用坐标系有整体概念，其次理解各种常用坐标系下的“数学微元”意义，如：微功，微压力，微引力等，进而求出变力做功、水压力、引力和转动惯量等物理问题。定积分为物理学提供的思想工具：解决速度和加速度的问题匀速直线运动，位移和速度之间的关系x=vt，但变速直线运动，物体的唯一如何求解呢？例：汽车以10m/s的速度行驶，设汽车以2m/a2<解析>现在我们知道，根据匀减速直线运动速度位移公式，就可以求得汽车走了0.025公里。但是，所谓的匀减速直线运动速度位移公式怎么来的，其实就是应用了定积分思想：把物体运动的时间无限细分。在每一份时间微元内，速度的变化量很小，可以忽略这种微小变化，认为物体在做匀速直线运动，接下来把所有时间内的位移相加，即“无限求和”，则总的位移就可以知道。现在我们明白物体在变速直线运动时的位移等于速度时间图像与时间轴所围图形的“面积”，即：<定积分求解>从开始刹车到停车的时间t=5s，所以汽车由刹车到停车行驶的位移X=0510-解决变力做功问题分析：设质点由点A移动到点B（A的坐标为a，点B的坐标为b），作用于质点上的力F是坐标x的连续函数F=F(x)则在［a,b］上任取子区间［x,x+dx］,质点从点x移动到x+dx时，力所作的功为dW=F(x)dx将微元dW从a到b求定积分，的F（x）在整个区间上所做的功为：W=a例1：一弹簧原长是10cm，把它由原长拉长6cm，计算力F克服弹力所作的功。根据胡可定律克制，力F与弹簧的伸长量x成正比，即F=kx.其中k为弹簧的弹性系数，显然力F随x的变化而变化，它是一个变力.去弹簧伸长量x为积分变量，x［0,6］，在［0,6］上任取子区间［x，x+dx］，功元素为dW=kxdx，所以功W=06kxdx=kx2(注意)如果选取伸长量为x-10，x的变化区间为［10,16］，力F为F＝k（x-10）.dF=γ﹒xsinα﹒⟹F=x0x0+bγasinα﹒xdx=γasinα［(x0=γab(2h+bsinα)得出液体侧压力函数为P=ab引力问题有万有引力定律，两质点之间的万有引力为F=G，若要计算一细长杆对一质点的引力，此时由于细杆上各点与质点的距离是变化的，不能直接用万有引力定律公式计算，必须用到定积分的思想来解决。例：设有质量为M，长度为l的均匀细杆，另有一质量为m的质点位于同一直线上，且到杆的近段距离为a，求杆对质点的引力。解：取x为积分变量，变化区间为［0，l］，任意小段［x，x+dx］近似于质点，且质量为dx，则引力微元为dF=G=G则引力为F=011==在刚体转动上的应用在刚体力学中转动惯量是一个很重要的物理量，若质点质量为m，到轴距离为r，则该质点绕轴的转动惯量为I=mr现在考虑质量连续分布的物体绕轴的转动惯量问题，一般地，如果物体的形状对称，并且质量均匀分布时，则可以用定积分来解决。转动惯量微元转动惯量微元dJ=(μdx)x2=μxJ=01μx2dx=μl3=例：一均匀细杆长为l，质量为m，试计算细杆绕过它的重点且垂直于杆的转动惯量。解：先求转动惯量微元dI，为此考虑细杆上［x,x+dx］y一段，它的质量为dx，把这一小段杆设想为位于x处的一质点，它到转动轴距离为|x|，于是得微元为dI=dx沿细杆从-到积分，得整个细杆转动惯量为I=-l2l2lmdx=|=多重积分计算不规则物体二重积分求体积V=f（ξ，η）Δσ体积元素体积元素=dσ三重积分求质量质量元素A．M=ρ(ξ,n,ς)ΔV质量元素=f(x,y)dσB．求平面非均匀薄片的质量；dm=f(x,y)dσ质量微元质量微元m=f(x,y)dxdy总结：在用定积分应用到物理问题中涉及到积分元，积分变量，积分上下限如何确定等问题，恰当地选择积分元或积分变量，能让物理问题的求解变得十分方便和简单。定积分思想在物理学中，要保证在所选取的微元内能近似处理成简单基本的物理模型，以便于分析物理问题；其次，尽量把微分元