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定积分的性质与计算方法摘要:定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。关键词:定积分性质计算方法定积分的定义设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1],(x1,x2],(x2,x3],…,(xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0,△x2=x2-x1,…,△xn=xn-xn-1。在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点（1,2,...,n），作和式。设λ=max{△x1,△x2,…,△xn}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为:。其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。对于定积分，有这样一个重要问题：函数在[a,b]上满足怎样的条件，在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件：定理1：设在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上可积。定理2：设在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则在[a,b]上可积。例：利用定义计算定积分.解：因为被积函数在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点的取法无关。因此，为了便于计算，不妨把区间[0,1]分成n等份，分点为，;这样，每个小区间的长度取，。于是，得合式当即时，取上式右端的极限.由定积分的定义，即得所要计算的积分为

定积分的性质1、2、,3、常数可以提到积分号前.4、代数和的积分等于积分的代数和.5、定积分的可加性：如果积分区间[a,b]被c分为两个子区间[a,c]与[c,b]则有又由于性质2，若f(x)在区间D上可积，区间D中任意c（可以不在区间[a,b]上）满足条件.6、如果在区间[a,b]上，则即=0.四、分部积分法设u=u(x),均在区间[a,b]上可导，且u′，v′∈R（[a,b]),则有分部积分公式例：计算.解：结论计算的关键是迅速找到满足的函数；求导数时有现成的计算公式可用，求定积分是也可用其性质使计算简单

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