2017新课标全国卷II卷理数空白(后附详细解析)

篙()

A.l+2zB.l-2zC.2+iD.2-z

2.设集合Z={1,2,4},2=卜,-4=+团=0}.若AIB={1},则3=()

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：''远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三

百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层

灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

4.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面

将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（）

A.90〃B.637rC.42〃D.367r

'2i+3y-3<0

5.设x,y满足约束条件2-3y+320,则z=2x+y的最小值是()

y+3>0

A.-15B.-9C.1D.9

6.安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式

共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

7.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀,

2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：

我还是不知道我的成绩.根据以上信息，则（）

A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

8.执行右面的程序框图，如果输入的a=-1,则输出的5=（）（开:台）

A.2B.3C.4D.5

|S=0,K=l|

%否

|S=S、+a-K

a=~a

「K=K+1|

（开始）

22

9.若双曲线C:^-£=1(a>0,6>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+V=4所截得的弦长为

2,则。的离心率为()

A.2B.73C.41D.—

3

10.已知直三棱柱NBC-4>G中,450=120。，AB=2,BC=CR=1,贝!|异面直线阳与

8G所成角的余弦值为()

B.巫

rM

55

11.若％=-2是函数/。)=(/+仆一l)e1的极值点，则/(x)的极小值为()

A.-lB.-2e-3C.5e-3D.l

12.已知“比■是边长为2的等边三角形尸为平面/8C内一点，则PA(PB+PC)的最小值是)

34

A.-2B.——C.——D.-1

23

13.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示

抽到的二等品件数，则。（才）=.

14.函数行）=sK+限。呜］）的最大值是

〃1

15.等差数列｛%｝的前〃项和为S“，%=3,$4=10,则£不=

16.已知尸是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上一点,斤/的延长线交），轴于点N茬M为FN

的中点，则|利=.

17.(12分)AABC的内角AB,C的对边分别为a,4c,已知sin(A+C)=8sin20.

2

(1)求cos8

(2)若a+c=6,A43C面积为2,求。

18.(12分)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取100

个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)某频率直方图如下：

新养殖法

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记力表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg,新养殖

法的箱产量不低于50kg，估计/的概率;

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

<50kg>50kg

旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)

附：

RKN20.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n(ad-bc')2

(a+与(c+d)(a+c)(b+d)

19.(12分)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面三角形BCD,

AB=BC=-AD,ABAD=ZABC=90°,E是PO的中点.

2

(1)证明：直线CE〃平面布5

(2)点例在棱PC上，且直线与底面ABC。所成锐角为45°,

求二面角M-AB-D的余弦值.

20.(12分)设。为坐标原点，动点闻在椭圆C:工+》2=i上，过闻做x轴的垂线，垂足为N.

2

UUUiUUU1

点户满足NP=&NM.

(1)求点P的轨迹方程；

ULIUULBI

(2)设点Q在直线x=-3上,且°P'Q=1.证明:过点p且垂直于0Q的直线|过C的左焦点

F.

21.(12分)已知函数/(x)=ax3-ax-x\nx,/(x)>0.

(1)求a;

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点与，且e-2</(x0)<27.

22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】

在直角坐标系X”中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标

方程为"cos。=4.

(1)例为曲线G上的动点，点。在线段0M上,且满足OM.OP=16,求点。的轨迹G的直角

坐标方程；

(2)设点/的极坐标为(2,鸟，点8在曲线G上,求△046面积的最大值.

3

23.（10分）【选修4-5：不等式选】已知a>0,Z?>0,/+03=2,证明：

(1)(〃+》)(/4-^)>4;(2)a+h<2.

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标n）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.（5分）（2017•新课标口）生_=（）

1+i

A.l+2iB.1-2iC.2+iD.2-i

【解答】解：9=”尸=1zgj_=2-i,

故选D.

2.（5分）（2017•新课标n）设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若

AAB={1},则B=（）

A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}

【解答】解:集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0）.

若ACB={1},贝！］leAfilGB,

可得1-4+m=0,解得m=3,

即有B={x|x2-4X+3=0}={1,3}.

故选：C.

3.（5分）（2017•新课标口）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：

''远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思

是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2

倍，则塔的顶层共有灯（）

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，

•.•宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，

•••从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，

又总共有灯381盏，

.,.381=?（色）=127a,解得a=3,

1-2

则这个塔顶层有3盏灯，

故选B.

4.（5分）（2017•新课标口）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画

出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该

几何体的体积为（）

A.90nB.63nC.42nD.36n

【解答】解：由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的

一半，

V=n*32x10-l.*n*32x6=63n,

2

故选：B.

‘2x+3y-340

5.（5分）（2017•新课标口）设x,y满足约束条件2x-3yi-3>0,则z=2x+y

.y+3》0

的最小值是（）

A.-15B.-9C.1D.9

‘2x+2y-340

【解答】解：X、y满足约束条件2x-3y+3>0的可行域如图：

z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，

由yT解得A（-6,-3）,

（2x-3jH-3=0

则z=2x+y的最小值是:-15.

故选：A.

6.（5分）（2017•新课标口）安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1

项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（）

A.12种B.18种C.24种D.36种

【解答】解：4项工作分成3组，可得：c2=6,

安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，

可得：6XA,=36种.

故选：D.

7.（5分）（2017•新课标口）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语

竞赛的成绩.老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙

的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我

的成绩.根据以上信息，则（）

A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩

【解答】解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说话，

甲不知自己的成绩

一乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知

道自己的成绩）

一乙看到了丙的成绩，知自己的成绩

一丁看到甲、丁中也为一优一良，丁知自己的成绩，

故选：D.

8.（5分）（2017•新课标II）执行如图的程序框图,如果输入的a=-1,则输

出的S=()

A.2B.3C.4D.5

【解答】解：执行程序框图，有S=0,k=l,a=-1,代入循环,

第一次满足循环,S=-1,a=l,k=2;

满足条件，第二次满足循环,S=1,a=-1,k=3;

满足条件,第三次满足循环,S=-2,a=l,k=4;

满足条件，第四次满足循环,S=2,a=-1,k=5;

满足条件，第五次满足循环,S=-3,a=l,k=6;

满足条件，第六次满足循环,S=3,a=-1,k=7;

7W6不成立，退出循环输出，S=3;

故选：B.

22

9.（5分）（2017•新课标口）若双曲线C:J-。=1（a>0,b>0）的一条

a2b2

渐近线被圆（X-2）2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为（）

A.2B.V3C.V2D.也

3

22

【解答】解:双曲线C:2r-。=1（a>0,b>0）的一条渐近线不妨为:bx+ay=0,

a2b2

圆（x-2）2+y2=4的圆心（2,0）,半径为：2,

22

双曲线C:^-^=l（a>0,b>0）的一条渐近线被圆（x-2）2+y2=4所截

a2b2

得的弦长为2,

可得圆心到直线的距离为：序正行J料2，

Va+b

22

解得：生产\,可得e2=4,即e=2.

C

故选：A.

10.（5分）（2017•新课标n）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ZABC=120°,

AB=2,BC=CCi=l,则异面直线ABi与BQ所成角的余弦值为（）

A.返B.2ZIEC.JUD.返

2553

【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB,BBi和BiCi的中点，

则ABi、BQ夹角为MN和NP夹角或其补角

（因异面直线所成角为（0,工］）,

2

可知MN=1ABI=2Z1,

22

NP=lBCi=返；

22

作BC中点Q,则△PQM为直角三角形；

VPQ=1,MQ=XAC,

2

△ABC中，由余弦定理得

AC2=AB2+BC2-2AB・BC・cosNABC

=4+1-2X2X1X(-1)

2

=7,

AC=Vy,

・,.MQ=1L；

2

在△MQP中，MP=4^不声率;

在APIVIN中，由余弦定理得

除）哙-亨）［叵

COSZMNP=MNWZPM1=

2-MH-NP2X坐X孚5

又异面直线所成角的范围是（0,工J,

2

，ABi与BCi所成角的余弦值为叵.

5

11.(5分)(2017•新课标口)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex1的

极值点，则f(x)的极小值为()

A.-IB.-2e-3C.5e-3D.1

【解答】解：函数f(x)=(x2+ax-De-1,

可得f'(x)=(2x+a)ex-x+(x2+ax-1)ex-1,

x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e-i的极值点，

可得:-4+a+(3-2a)=0.

解得a=-1.

可得f'(x)=(2x-l)exl+(x2-x-l)exl,

=(x2+x-2)ex」，函数的极值点为:x=-2,x=l,

当x<-2或x>l时，f，(x)>0函数是增函数，xw(-2,1）时,函数是减

函数，

x=l时，函数取得极小值:f(1)=(I2-1-1)e1-x=-1.

故选：A.

12.（5分）（2017•新课标n）已知4ABC是边长为2的等边三角形，P为平

面ABC内一点，则钝・（PB+PC）的最小值是（）

A.-2B.-2c.-AD,-1

23

【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，

则A(0,代)，B(-1,0),C(l,0),

设P(x,y),则包=(-x,V3-y),PB=(-1-x,-y),pc=(1-x,

-y),

WJPA,(PB+PC)=2x2-2Vsy+2y2=2[x2+(y-返)2-W]

24

.•.当x=0,y=退时，取得最小值2X(-2)=-2,

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.(5分)(2017•新课标口)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每

次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则DX=_

1.96.

【解答】解：由题意可知，该事件满足独立重复试验，是一个二项分布模型，其

中,p=0.02,n=100,

贝!]DX=npq=np(1-p)=100X0.02X0.98=1.96.

故答案为：1.96.

14.(5分)(2017•新课标口)函数f(x)=sin2x+«cosx-2(xe[0,2L])

42

的最大值是1.

【解答】解：f(x)=sin2x+V3cosx-^-=1-Cos2x+V3cosx-3,

44

令cosx=t且te[0,1],

则f(t)=-t2+通+L=-(t-返)2+1,

42

当t=1时，f(t)max=1；

2

即f(x)的最大值为1,

故答案为:1

15.(5分)(2017•新课标口)等差数列｛an｝的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,

一n12n

则

kE=lSSk~n4p-

【解答】解：等差数列｛an｝的前n项和为Sn,a3=3,S4=10,S4=2(a2+a3)=10,

可得a2=2,数列的首项为1,公差为1,

Sn=gi+L-!,_1_=————-9(----—),

2Snn(n+1)nn+1

则Vj^2[l(1-J^)=

22334nn+1n+1n+1

故答案为：_?2_.

n+1

16.(5分)(2017•新课标口)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点，M是C上

一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则|FN|=6.

【解答】解：抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),M是C上一点，FM的延长

线交y轴于点N.若M为FN的中点，

可知M的横坐标为：1,则M的纵坐标为：±2&,

IFN|=21FM|=27(1-2)2+(±2V2-0)2=6-

故答案为：6.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤.第17~

21题为必做题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据

要求作答.(一)必考题：共60分.

17.(12分)(2017•新课标口)AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,

c,已知sin(A+C)=8sin2A.

(1)求cosB;

(2)若a+c=6,AABC面积为2,求b.

【解答】解：(1)sin(A+C)=8sin2l,

2

.".sinB=4(1-cosB),

Vsin2B+cos2B=l,

16(1-cosB)2+cos2B=1,

...(17cosB-15)(cosB-1)=0,

/.cosB=l^-;

17

(2)由(1)可知sinB=A,

17

VSAABc=^ac*sinB=2,

2

/.ac=lZ-,

2

/.b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-2X.lLxl^.

217

=a2+c2-15=(a+c)2-2ac-15=36-17-15=4,

：.b=2.

18.（12分）（2017•新课标口）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方

法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单

位：kg）,其频率分布直方图如图：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件''旧养殖法的箱产量低于

50kg,新养殖法的箱产量不低于50kg”,估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖

方法有关：

箱产量V50kg箱产量2

50kg

旧养殖法

新养殖法

（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精

确到0.01）.

附：

P(K2^k)0.0500.0100.001

K3.8416.63510.828

2

K2=____n(ad-bc)/______

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解答】解：(1)记B表示事件''旧养殖法的箱产量低于50kg”,C表示事件''新

养殖法的箱产量不低于50kg”,

由P(A)=P(BC)=P(B)P(C),

贝U旧养殖法的箱产量彳氐于50kg:(0.012+0.014+0.024+0.034+0,040)X5=0.62,

故P(B)的估计值0.62,

新养殖法的箱产量不彳氐于50kg:(0.068+0.046+0.010+0.008)X5=0.66,

故P(C)的估计值为，

则事件A的概率估计值为P(A)=P(B)P(C)=0.62X0.66=0.4092;

••.A发生的概率为0.4092;

(2)2X2列联表:

箱产量V50kg箱产量250kg总计

旧养殖法6238100

新养殖法3466100

总计96104200

贝［j|<2=200(62X66-38X34)2弋］5705

…100X100X96X104

由15,705>6,635,

.♦.有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

(3)由题意可知：方;:标=5X(37.5X0.004+42.5X0.020+47.5X

0.044+52.5X0.068+57.5X0.046+62.5X0.010+67.5X0,008),

=5X10.47,

=52.35(kg).

新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg)

方法二：由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的

面积：

(0.004+0.020+0.044)X5=0.034,

箱产量低于55kg的直方图面积为：

(0.004+0.020+0.044+0,068)X5=0,68>0.5,

故新养殖法产量的中位数的估计值为：50+0.34335(kg),

0.068

新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35(kg).

19.(12分)(2017•新课标口)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边

三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1AD,ZBAD=ZABC=90°,E>PD的中

2

点.

(1)证明：直线CE〃平面PAB;

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°,求二面角M-

AB-D的余弦值.

【解答】(1)证明：取PA的中点F,连接EF,BF,因为E是PD的中点，

所以EF41AD,AB=BC=1AD,ZBAD=ZABC=90°,.,.BC^XAD,

n222

，BCEF是平行四边形，可得CE〃BF,BFc平面PAB,CFQ平面PAB,

.••直线CE〃平面PAB;

(2)解：四棱锥P-ABCD中，

侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=1\D,

2

ZBAD=ZABC=90°,E是PD的中点.

取AD的中点。，M在底面ABCD上的射影N在0C上，设AD=2，则AB=BC=1,

0P=V3,

ZPCO=60°,直线BM与底面ABCD所成角为45°,

可得：BN=MN,CN=®1N,BC=1,

3

可得：1+LBN2=BN2,BN=^1,,

322

作NQJ_AB于Q,连接MQ,

所以NMQN就是二面角M-AB-D的平面角，MQ=

V10

~2~

二面角M-AB-D的余弦值为：心=叵.

V105

2

2

20.(12分)(2017•新课标口)设。为坐标原点，动点M在椭圆C:L+y2=l

2

上，过M做x轴的垂线，垂足为N,点P满足而=&］而.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x=-3上，且而•而=1.证明：过点P且垂直于OQ的直线

I过C的左焦点F.

【解答】解：(1)设M(xo,yo),由题意可得N(xo,0),

设P(x,y),由点P满足乖=正就.

可得(X-Xo,y)=&(0,y0),

可得x-xo=O,y=727o,

即有x0=x,yo=E,

222

代入椭圆方程—+y2=i,可得埠+二=1,

222

即有点P的轨迹方程为圆x2+y2=2;

(2)证明：设Q(-3,m),P(V2cosa,后ina),(OWav2n),

OP-PQ=1,可得(v'lcosa,Vasina)•(-3-T^cosa,m-Vasina)=1,

即为-3、岳osa-2cos2a+V3nsina-2sin2a=l,

解得m=3(lW2coSa),

V2sinCL

即有Q(-3,3""cosa)),

V2sind

2

椭圆21_+y2=l的左焦点F(・1,0),

由k0Q=-唔。sa,

kPF=V2sinO_,

V2cosCI+1

由koQekpF=-1,

可得过点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F.

21.(12分)(2017•新课标n)已知函数f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)2

0.视频解析

(1)求a;

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点xo,且e-2<f(xo)<2-2.

【解答】(1)解：因为f(x)=ax2-ax-xlnx=x(ax-a-Inx)(x>0),

则f(x)20等价于h(x)=ax-a-Inx^O,

因为M(x)=a-L,且当Ovxv4寸hz(x)<0,当x>山寸Y(x)>0,

xaa

所以h(X)min=h(L),

a

又因为h(1)=a-a-lnl=0,

所以1=1,解得a=l;

a

(2)证明:由(1)可知f(x)=x2-x-xlnx,F(x)=2x-2-Inx,

令f'(x)=0,可得2x-2-lnx=O，记t(x)=2x-2-Inx,则t'(x)=2-L,

X

令(x)=0,解得：X=1,

2

所以t(x)在区间(0,1)上单调递减，在(L,+8)上单调递增,

22

所以t(x)*t(W＜。，从而t(x)=。有解，即1X)=0存在两

根Xo,X2,视频解析

且不妨设f'(X)在(0,Xo)上为正、在(xo,X2)上为负、在(X2,+8)上为

正，

所以f(x)必存在唯一极大值点X0,且2X0-2-lnxo=o,

所以f(Xo)=x02-X。-X()lnXo=